2022年高二數學上學期第三次月考試題 理 (I)

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1、2022年高二數學上學期第三次月考試題 理 (I) 一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分） 1. ，則的一個必要不充分條件是　　 A. B. C. D. 2. 若曲線表示橢圓，則k的取值范圍是　　 A. B. C. D. 或 3. 兩平面，的法向量分別為，若，則的值是　　 A. B. 6 C. D. 4. 已知雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為　　 A. B. C. D. 5. 已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于 A. B. 3 C. 5 D. 6. 設雙曲線的離心率是3，則其漸近線的方程為

2、　　 A. B. C. D. 7. 設x，y滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數a的值為　　 A. 2或 B. 3或 C. 或 D. 或2 8. 設是直線l的方向向量，是平面的法向量，則直線l與平面　　 A. 垂直 B. 平行或在平面內 C. 平行 D. 在平面內 9. 數列，為等差數列，前n項和分別為，，若，則　　 A. B. C. D. 10. 已知A，B為拋物線E：上異于頂點O的兩點，是等邊三角形，其面積為，則p的值為　　 A. 2 B. C. 4 D. 11. 在長方體，，則異面直線與所成角的余弦值為? ? A. B. C.

3、 D. 12. 如圖，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線l與雙曲線分別交于點，若為等邊三角形，則雙曲線的方程為? ?? A. B. ?? C. D. 二、填空題（本大題共4小題，共20.0分） 13. 若拋物線的焦點在直線上，則此拋物線的標準方程是______ ． 14. 三角形ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知，且，則三角形ABC外接圓面積為______． 15. 雙曲線的漸近線與圓相切，則此雙曲線的離心率為______． 16. 已知向量，，，，若，則的最小值______ ． 三、解答題（本大題共6小題，共72.0分） 1

4、7. 已知不等式的解集為A，不等式的解集為B． 求； 若不等式的解集為，求a、b的值． 18. 在中，內角?A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足． 求角?A的大小； 若，求的面積． 19. 橢圓E：的一個焦點，離心率． 求橢圓E的方程； 求以點為中點的弦AB所在的直線方程． 20. 如圖1，已知四邊形BCDE為直角梯形，，，且，A為BE的中點將沿AD折到位置如圖，連結PC，PB構成一個四棱錐． Ⅰ求證；Ⅱ若PA平面ABCD，求二面角的大小。 21. 已知首項是1的兩個數列，滿足． 令，求數列的通項公式； 若，求數列的前n

5、項和． 22.已知橢圓C：的左右兩個焦點分別為，，離心率為設過點的直線l與橢圓C相交于不同兩點A，B，周長為8． 求橢圓C的標準方程； 已知點，證明：當直線l變化時，總有TA與TB的斜率之和為定值． xx高二11月考數學試卷（理） 答案和解析 【答案】 1. C 2. D 3. B 4. C 5. A 6. A 7. A 8. B 9. A 10. A 11. B 12. C 13. 或?? 14. ?? 15. ?? 16.?? 17. 解：， ， 解得：， ， ， ， 解得：

6、， ， ； 由得：，2為方程的兩根， ， ．?? 18. 解：， ， ， ， 由余弦定理得，可得， 又， ． 根據正弦定理得， 又， ．?? 19. 解：設橢圓E的方程為， 由題意，又，得， ． 橢圓E的標準方程為； 設，代入橢圓E的方程得： ???，?? ， 得：， 點為AB的中點， ． 即． 點為中點的弦AB所在直線的方程為， 化為一般式方程：．?? 20. 證明：Ⅰ在圖1中，，，為平行四邊形，， ，，當沿AD折起時，，，即，， 又，平面PAB，又平面PAB，； Ⅱ以點A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立

7、空間直角坐標系， 則0，，0，，1，，0，， 1，，1，，0，， 設平面PBC的法向量為y，， 則，取，得0，， 設平面PCD的法向量b，， 則，取，得1，，設二面角的大小為， 則，二面角的大小為． ?? 21. 解：，， ， ， 首項是1的兩個數列，， 數列是以1為首項，2為公差的等差數列， ； ，， ， ， ， ， ．?? 22. 解：由題意知，，所以． 因為，所以，則． 所以橢圓C的方程為． 證明：當直線l垂直與x軸時，顯然直線TA與TB的斜率之和為0， 當直線l不垂直與x軸時，設直線l的方程為，，， ，整理得：， 恒成立， ，

8、， 由 ， 由， ， 直線TA與TB的斜率之和為0， 綜上所述，直線TA與TB的斜率之和為定值，定值為0．?? 【解析】 1. 【分析】 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據充分條件和必要條件的定義與集合的關系是解決本題的關鍵，根據必要不充分條件的定義進行判斷即可，屬于基礎題． 【解答】 解：不等式對應的集合為， 設的一個必要不充分條件對應的集合為B， 則， 則滿足條件， 故選：C． 2. 【分析】 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題曲線表示橢圓，可得，解出即可得出． 【解答】 解：曲線表示橢圓，

9、 ， 解得，且． 故選：D． 3. 解：平面，的法向量分別為， ， ， ． 故選：B． 由面面垂直的性質得，由此能求出． 本題考查兩數和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間中面面垂直的性質的合理運用． 4. 【分析】 根據雙曲線的離心率建立方程關系求出a，b的關系，然后結合橢圓離心率的定義進行求解即可． 本題主要考查雙曲線和橢圓離心率的計算，根據條件建立方程求出a，c的關系是解決本題的關鍵注意橢圓和雙曲線a，c關系的不同． 【解答】 解：在雙曲線中， 雙曲線的離心率為， ，即， 即，則在橢圓中，， 則，即， 故橢圓的離心率是， 故選C． 5.

10、 【分析】 本題考查雙曲線的簡單性質，求得的值是關鍵，考查點到直線間的距離公式，屬于基礎題由雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，先求出，再求出雙曲線的焦點坐標和漸近線方程，由此能求出結果． 【解答】 解：拋物線的焦點坐標為， 依題意，， ． 雙曲線的方程為：， 其漸近線方程為：， 雙曲線的一個焦點到其漸近線的距離等于． 故選A． 6. 解：雙曲線的離心率是3， 可得，則． 雙曲線的離心率是3，則其漸近線的方程為：． 故選：A． 利用雙曲線的離心率，這求出a，b的關系式，然后求漸近線方程． 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力． 7. 【分析】 本題主要考

11、查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法注意要對a進行分類討論作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數的幾何意義，得到直線斜率的變化，從而求出a的取值． 【解答】 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：陰影部分． 由得，即直線的截距最大，z也最大． 若，此時，此時，目標函數只在A處取得最大值，不滿足條件， 若，目標函數的斜率，要使取得最大值的最優(yōu)解不唯一， 則直線與直線平行，此時， 若，目標函數的斜率，要使取得最大值的最優(yōu)解不唯一， 則直線與直線平行，此時， 綜上或， 故選A． 8. 解：． ． 或． 故選：B． 根據

12、可知，從而得出結論． 本題考查了空間向量在立體幾何中的應用屬于基礎題． 9. 解：因為，為等差數列，且， 所以 ， 故選：A． 根據等差數列的性質和等差數列的前n項和公式化簡，結合條件求出答案即可． 本題考查等差數列的性質，以及等差數列的前n項和公式的靈活應用，屬于基礎題． 10. 解：設，， ，． 又，， ， 即． 又、與p同號，． ，即． 由拋物線對稱性，知點B、A關于x軸對稱． 不妨設直線OB的方程為：， 聯立，解得． 面積為， ， 故選A． 11. 【分析】 本題考查了向量夾角公式、數量積運算性質、異面直線所成的角，考查了推理能力與計算能力

13、，屬于中檔題． 建立空間直角坐標系，利用向量夾角公式即可得出． 【解答】 解：如圖所示，設， 則2，，0，，2，，2，， 2，，0，， ，． 故選B． 12. 【分析】 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題． 【解答】 解：根據雙曲線的定義，可得， 是等邊三角形，即 又， ， 中，，， 即， 解得， 則，， 故選C． 13. 解：當焦點在x軸上時，根據，可得焦點坐標為 拋物線的標準方程為 當焦點在y軸上時，根據，可得焦點坐標為 拋物線的標準方程為 故答案為：或 分焦點在x軸和y

14、軸兩種情況分別求出焦點坐標，然后根據拋物線的標準形式可得答案． 本題主要考查拋物線的標準方程屬基礎題． 14. 【分析】 利用余弦定理表示出，將已知等式代入求出的值，根據A為三角形內角，可求的值，再利用正弦定理即可求出外接圓半徑，利用圓的面積公式即可計算得解． 此題考查了正弦、余弦定理，以及圓的面積公式的應用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵，屬于基礎題． 【解答】 解：，且， ， 為三角形內角， ， 設三角形ABC外接圓半徑為R，根據正弦定理得：，即， 三角形ABC外接圓面積． 故答案為． 15. 【分析】 本題考查雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線的漸近線與圓的位置

15、關系的應用，考查計算能力求出雙曲線的漸近線方程，利用漸近線與圓相切，得到a、b關系，然后求解雙曲線的離心率． 【解答】 解：由題意可知雙曲線的漸近線方程之一為：， 圓的圓心，半徑為1， 雙曲線的漸近線與圓相切， 可得：， 可得，， ． 故答案為． 16. 【分析】 本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題由，可得：再利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出． 【解答】 解：，，即． ，， ，當且僅當時取等號． 的最小值是． 故答案為． 17. 通過解不等式求出集合A、B，從而求出即可；問題轉化為，2為方程的兩根

16、，得到關于a，b的方程組，解出即可． 本題考查了不等式的解法，考查集合的運算，是一道基礎題． 18. 本題考查了正弦定理余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題利用余弦定理即可得出． 根據正弦定理與三角形面積計算公式即可得出． 19. 由題意設出橢圓的標準方程，并求得c，再由離心率求得a，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求； 設出A、B的坐標，代入橢圓方程，作差求得AB所在直線的斜率，代入直線方程的點斜式得答案． 本題考查橢圓標準方程的求法，考查橢圓的簡單性質，訓練了直線與橢圓位置關系的應用，屬中檔題． 20. 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大

17、小的求法，考查實數值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的便于合理運用．Ⅰ推導出ABCD為平行四邊形，，，，，從而平面PAB，由此能證明．Ⅱ以點A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的大小 21. 本題為等差等比數列的綜合應用，用好錯位相減法是解決問題的關鍵，屬中檔題． 由，，可得數列是以1為首項，2為公差的等差數列，即可求數列的通項公式； 用錯位相減法來求和． 22. 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題． 由的周長為8，得，由，求出c，可求得b；即可求解橢圓方程． 分類討論，當直線l不垂直與x軸時，設直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理及直線的斜率公式，即可求得，即可證明直線TA與TB的斜率之和為定值．