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1、2022高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第一部分 思想方法研析指導(dǎo) 思想方法訓(xùn)練2 分類討論思想 理
1.已知函數(shù)f(x)=若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)成立,則實數(shù)a的取值范圍是 ( )
A.(-∞,2)
B.(-∞,4)
C.[2,4]
D.(2,+∞)
2.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若b2+c2-a2=bc,且b=a,則下列關(guān)系一定不成立的是( )
A.a=c B.b=c
C.2a=c D.a2+b2=c2
3.若a>0,且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),則p,q的大小關(guān)系是( )
2、
A.p=q
B.pq
D.當(dāng)a>1時,p>q;當(dāng)00,且x≠1,則函數(shù)y=lg x+logx10的值域為 ( )
A.R B.[2,+∞)
C.(-∞,-2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
7.設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和
3、,S3,S9,S6成等差數(shù)列,且a2+a5=2am,則m等于( )
A.6 B.7
C.8 D.10
8.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心O到平面ABC的距離為1,則SA與平面ABC所成角的大小為( )
A.30° B.60°
C.30°或60° D.45°或60°
9.已知函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,則a的值是 .?
10.已知函數(shù)f(x)=|ln x|,g(x)=則方程|f(x)+g(x)|=1實根的個數(shù)為 .?
11.已知函數(shù)f(x)=2asin2x-
4、2asin xcos x+a+b(a≠0)的定義域為,值域為[-5,1],求常數(shù)a,b的值.
12.設(shè)a>0,函數(shù)f(x)= x2-(a+1)x+a(1+ln x).
(1)求曲線y=f(x)在(2,f(2))處與直線y=-x+1垂直的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)的極值.
二、思維提升訓(xùn)練
13.若直線l過點P且被圓x2+y2=25截得的弦長是8,則直線l的方程為( )
A.3x+4y+15=0
B.x=-3或y=-
C.x=-3
D.x=-3或3x+
5、4y+15=0
14.已知函數(shù)f(x)=則方程f(x)=ax恰有兩個不同實數(shù)根時,實數(shù)a的取值范圍是(注:e為自然對數(shù)的底數(shù))( )
A.(-1,0] B.
C.(-1,0]∪ D.
15.已知a為實數(shù),函數(shù)f(x)=|x2-ax|在區(qū)間[0,1]上的最大值記為g(a).當(dāng)a= 時,g(a)的值最小.?
16.已知函數(shù)f(x)=aln x+x2(a為實數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值及相應(yīng)的x值;
(2)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求實數(shù)a的取值范圍.
17.設(shè)函數(shù)f(x)=αcos 2x+(α-1)
6、(cos x+1),其中α>0,記|f(x)|的最大值為A.
(1)求f'(x);
(2)求A;
(3)證明|f'(x)|≤2A.
思想方法訓(xùn)練2 分類討論思想
一、能力突破訓(xùn)練
1.B 解析 當(dāng)-<1時,顯然滿足條件,即a<2;當(dāng)a≥2時,-1+a>2a-5,即2≤a<4.綜上知,a<4,故選B.
2.B 解析 在△ABC中,由余弦定理得cos A=,則A=
又b=a,由正弦定理,得sin B=sin A=,則B=或B=
當(dāng)B=時,△ABC為直角三角形,選項C,D成立;
當(dāng)B=時,△ABC為等腰三角形,選項A成立,故選B.
3.C 解析 當(dāng)0
7、=logax在其定義域上均為減函數(shù),∴a3+1loga(a2+1),即p>q.
當(dāng)a>1時,y=ax和y=logax在其定義域上均為增函數(shù),∴a3+1>a2+1,
∴l(xiāng)oga(a3+1)>loga(a2+1),即p>q.
綜上可得p>q.
4.C 解析 焦點在x軸上時,,此時離心率e=;焦點在y軸上時,,此時離心率e=,故選C.
5.C 解析 不妨設(shè)|AB|=2,以AB中點O為原點,AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則A(-1,0),B(1,0),設(shè)M(x,y),則N(x,0),=(0,-y),=(x+1,0),=(1-x,0),代入
8、已知式子得λx2+y2=λ,當(dāng)λ=1時,曲線為A;當(dāng)λ=2時,曲線為B;當(dāng)λ<0時,曲線為D,所以選C.
6.D 解析 當(dāng)x>1時,y=lg x+logx10=lg x+2=2;當(dāng)0
9、=8.
8.C 解析 球心位置有以下兩種情況:球心在三棱錐內(nèi)部;球心在三棱錐外部.球心在三棱錐內(nèi)部時,三棱錐為正三棱錐,設(shè)O'為△ABC的中心,在△ABC中,可求得O'A=,所以可得OA=2,SO'=3,SA與平面ABC所成的角即為∠SAO',由tan∠SAO'=,得∠SAO'=60°.同理可得第二種情況中所成角為30°.
9 解析 當(dāng)a>1時,y=ax在區(qū)間[1,2]上遞增,故a2-a=,得a=;當(dāng)0
10、=e(舍去).
所以此時方程只有1個實根
(2)當(dāng)1
11、n 2+22-6=ln 2-2<-1.
又p(3)=ln 3+32-6=ln 3+3>1,
所以方程|p(x)|=1有2個解,即方程|ln x+x2-6|=1有2個解.
綜上可知,方程|f(x)+g(x)|=1共有4個實根.
11.解 f(x)=a(1-cos 2x)-asin 2x+a+b
=-2asin+2a+b.
∵x,∴2x+,
∴-sin1.
因此,由f(x)的值域為[-5,1],
可得
或
解得
12.解 (1)由已知x>0,f'(x)=x-(a+1)+
因為曲線y=f(x)在(2,f(2))處切線的斜率為1,
所以f'(2)=1,即2-(a+1)+=1
12、,所以a=0,
此時f(2)=2-2=0,
故曲線f(x)在(2,f(2))處的切線方程為x-y-2=0.
(2)f'(x)=x-(a+1)+
①當(dāng)00,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
若x∈(a,1),則f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
若x∈(1,+∞),則f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
此時x=a是f(x)的極大值點,x=1是f(x)的極小值點,
函數(shù)f(x)的極大值是f(a)=-a2+aln a,極小值是f(1)=-
②當(dāng)a=1時,若x∈(0,1),則f'(x)>0,若x=1,則f'(x)=0,若x∈(1,+∞),則f
13、'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,此時f(x)沒有極值點,也無極值.
③當(dāng)a>1時,若x∈(0,1),則f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
若x∈(1,a),則f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
若x∈(a,+∞),則f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,此時x=1是f(x)的極大值點,x=a是f(x)的極小值點,函數(shù)f(x)的極大值是f(1)=-,極小值是f(a)=-a2+aln a.
綜上,當(dāng)01時,f(x)的極大值是-,極小值是-a2+aln a.
二、思
14、維提升訓(xùn)練
13.D 解析 若直線l的斜率不存在,則該直線的方程為x=-3,代入圓的方程解得y=±4,故直線l被圓截得的弦長為8,滿足條件;若直線l的斜率存在,不妨設(shè)直線l的方程為y+=k(x+3),即kx-y+3k-=0,因為直線l被圓截得的弦長為8,故半弦長為4,又圓的半徑為5,則圓心(0,0)到直線l的距離為,解得k=-,此時直線l的方程為3x+4y+15=0.
14.C 解析 因為方程f(x)=ax恰有兩個不同的實數(shù)根,所以y=f(x)與y=ax的圖象有2個交點,a表示直線y=ax的斜率.當(dāng)a>0,x>1時,y'=設(shè)切點為(x0,y0),k=,所以切線方程為y-y0=(x-x0),
15、而切線過原點,所以y0=1,x0=e2,k=,所以切線l1的斜率為設(shè)過原點與y=x+1平行的直線為l2,則直線l2的斜率為,所以當(dāng)直線在l1和l2之間時,符合題意,此時實數(shù)a的取值范圍是當(dāng)a<0時,設(shè)過原點與點(1,-1)的直線為l3,其斜率為-1,則在l3的位置以O(shè)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)一直轉(zhuǎn)到水平位置都符合題意,此時實數(shù)a的取值范圍是(-1,0].綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(-1,0],故選C.
15.2-2 解析 當(dāng)a≤0時,在區(qū)間[0,1]上,f(x)=|x2-ax|=x2-ax,且在區(qū)間[0,1]上為增函數(shù),當(dāng)x=1時,f(x)取得的最大值為f(1)=1-a;
當(dāng)0
16、(x)=在區(qū)間內(nèi)遞增,在區(qū)間上遞減,在區(qū)間(a,1]上遞增,且f,f(1)=1-a,
-(1-a)=(a2+4a-4),
∴當(dāng)0
17、(x)= +2x=
當(dāng)x∈[1,e]時,2x2∈[2,2e2].
若a≥-2,則f'(x)在區(qū)間[1,e]上非負(僅當(dāng)a=-2,x=1時,f'(x)=0),
故f(x)在區(qū)間[1,e]上單調(diào)遞增,此時f(x)min=f(1)=1;
若-2e20,解得
18、,當(dāng)a≥-2時,f(x)min=1,相應(yīng)的x=1;當(dāng)-2e20,
因而a,x∈[1,e],令g(x)=(x∈[1,e]),
則g'(x)=,
當(dāng)x∈[1,e]時,x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,
從而g'(x)≥0(僅當(dāng)x=1時取等號),
所以g(x)在區(qū)間[1,e]上是增函數(shù),
故
19、g(x)min=g(1)=-1,
所以實數(shù)a的取值范圍是[-1,+∞).
17.(1)解 f'(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.
(2)解 (分類討論)當(dāng)α≥1時,
|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).
因此A=3α-2.
當(dāng)0<α<1時,將f(x)變形為
f(x)=2αcos2x+(α-1)cos x-1.
令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,則A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,
g(-1)=α,g(1)=3α-2,且當(dāng)t=時,g(t)取得極小值,極小值為g=--1=-
令-1<
20、<1,解得α<-(舍去),α>
當(dāng)0<時,g(t)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)無極值點,
|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,
所以A=2-3α.
當(dāng)<α<1時,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,
知g(-1)>g(1)>g
又-|g(-1)|=>0,
所以A=
綜上,A=
(3)證明 由(1)得|f'(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|.
當(dāng)0<時,|f'(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.
當(dāng)<α<1時,A=1,
所以|f'(x)|≤1+α<2A.
當(dāng)α≥1時,|f'(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.
所以|f'(x)|≤2A.
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