2022高考數(shù)學大一輪復習 第八章 解析幾何 課下層級訓練47 雙曲線（含解析）文 新人教A版

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1、2022高考數(shù)學大一輪復習 第八章 解析幾何 課下層級訓練47 雙曲線（含解析）文 新人教A版 1．(2019·江西新余摸底)雙曲線－＝1(a≠0)的漸近線方程為(　　) A．y＝±2x　　　　　　 B．y＝±x C．y＝±4x D．y＝±x A　[根據(jù)雙曲線的漸近線方程知，y＝±x＝±2x .] 2．已知雙曲線的離心率為2，焦點是(－4,0)，(4,0)，則雙曲線的方程為(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 A　[已知雙曲線的離心率為2，焦點是(－4,0)，(4,0)，則c＝4，a＝2，b2＝12，雙曲線方程為－＝1 .] 3．(2018·全國卷Ⅲ)已知

2、雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則點(4,0)到C的漸近線的距離為(　　) A．　　　 B．2　　　 C．　　　 D．2 D　[由題意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.又因為a>0，b>0，所以a＝b，漸近線方程為x±y＝0，點(4,0)到漸近線的距離為＝2.] 4．(2019·河南開封月考)已知l是雙曲線C：－＝1的一條漸近線，P是l上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若·＝0，則P到x軸的距離為(　　) A． B． C． 2 D． C　[由題意知F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，不妨設l的方程為y＝x，則可設P(x0，x0)．由·＝(－－x0，－x0)·(

3、－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故P到x軸的距離為|x0|＝2 .] 5．(2018·天津卷)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 C　[如圖，不妨設A在B的上方，則A，B.其中的一條漸近線為bx－ay＝0，則d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3． 又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝． ∴雙曲線的方程為－＝1.] 6．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一

4、條漸近線為2x＋y＝0，一個焦點為(，0)，則a＝__________；b＝__________． 1　2　[由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2． 又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.] 7．(2018·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值為__________． 2　[雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，焦點F(c,0)到漸近線的距離d＝＝b.∴b＝c，∴a＝＝c，∴e＝＝2.] 8．設雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|BF2|＋

5、|AF2|的最小值為__________． 10　[由雙曲線的標準方程為－＝1，得a＝2，由雙曲線的定義可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因為|AF1|＋|BF1|＝|AB|，當|AB|是雙曲線的通徑時，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.] 9．已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程． 解　橢圓D的兩個焦點為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，因而雙曲線中心在原點，焦點在x軸

6、上，且c＝5． 設雙曲線G的方程為－＝1(a>0，b>0)， ∴漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25， 又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r＝3． ∴＝3，得a＝3，b＝4， ∴雙曲線G的方程為－＝1． 10．已知雙曲線的中心在原點，左，右焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為，且過點(4，－)． (1)求雙曲線的方程； (2)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：1·2＝0． (1)解　∵e＝，∴可設雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵雙曲線過點(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴雙曲線的方程為x2－y2＝6． (2)證明　證法一：由(1)可知，雙

7、曲線中a＝b＝， ∴c＝2，∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)， ∴kMF1＝，kMF2＝， ∴kMF1·kMF2＝＝－． ∵點M(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3， 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，即1·2＝0． 證法二：由證法一知1＝(－3－2，－m)， 2＝(2－3，－m)， ∴1·2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2， ∵點M在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0， ∴1·2＝0． [B級　能力提升訓練] 11．(2018·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別

8、為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　) A． B．3 C．2 D．4 B　[由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝± x． 設兩漸近線夾角為2α，則有tan α＝＝，所以α＝30°． 所以∠MON＝2α＝60°． 又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對稱性，不妨設MN⊥ON，如圖所示． 在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝． 則在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan 2α＝·tan 60°＝3.] 12．(2019·湖北武漢調研)已知不等式3x2－y2>0所表示的平面區(qū)域內一點P(x，y)到直線y＝x和直線y＝－x的垂線段分別為PA，PB，若

9、△PAB的面積為，則點P軌跡的一個焦點坐標可以是(　　) A．(2,0) B．(3,0) C．(0,2) D．(0,3) A　[∵直線y＝x與y＝－x的夾角為60°，且3x2－y2>0， ∴PA與PB的夾角為120°，|PA||PB|＝·＝，S△PAB＝|PA||PB|·sin 120°＝(3x2－y2)＝，即P點的軌跡方程為x2－＝1，半焦距為c＝2，∴焦點坐標可以為(2,0)．] 13．(2017·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點．若∠MAN＝60°，則C的離心率為_________

10、_． 　[如圖，由題意知點A(a,0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為y＝x，即bx－ay＝0， ∴點A到l的距離d＝． 又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN為等邊三角形， ∴d＝MA＝b，即＝b，∴a2＝3b2， ∴e＝＝＝.] 14．已知雙曲線x2－＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線的離心率為e，若雙曲線上存在一點P使＝e，則·＝__________． 2　[由題意及正弦定理得＝＝e＝2， ∴|PF1|＝2|PF2|，由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2.又|F1F2|＝4， 由余弦定理可知 cos∠PF2F

11、1＝＝＝， ∴·＝||·||cos∠PF2F1＝2×4×＝2.] 15．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，點(，0)是雙曲線的一個頂點． (1)求雙曲線的方程； (2)經(jīng)過雙曲線右焦點F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，求|AB|． 解　(1)∵雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，點(，0)是雙曲線的一個頂點， ∴解得c＝3，b＝，∴雙曲線的方程為－＝1． (2)雙曲線－＝1的右焦點為F2(3,0)， ∴經(jīng)過雙曲線右焦點F2且傾斜角為30°的直線的方程為 y＝(x－3)． 聯(lián)立得5x2＋6x－27＝0． 設A(x1，y1

12、)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝－． 所以|AB|＝× ＝． 16．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，實軸長為2． (1)求雙曲線C的方程； (2)若直線l：y＝kx＋與雙曲線C的左支交于A，B兩點，求k的取值范圍； (3)在(2)的條件下，線段AB的垂直平分線l0與y軸交于M(0，m)，求m的取值范圍． 解　(1)設雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)． 由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1， 所以雙曲線C的方程為－y2＝1． (2)設A(xA，yA)，B(xB，yB)，將y＝kx＋代入－y2＝1， 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0． 由題意知解得