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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 題型專項(xiàng)練 中檔題保分練（一）理
1．(2018·海淀區(qū)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝，2Sn＝Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記bn＝an(n∈N*)，求{}的前n項(xiàng)和Tn.
解析：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，由2Sn＝Sn－1＋1及a1＝，得2S2＝S1＋1，即2a1＋2a2＝a1＋1，解得a2＝.又由2Sn＝Sn－1＋1，① 可知2Sn＋1＝Sn＋1，②
②－①得2an＋1＝an，即an＋1＝an(n≥2)，且n＝1時(shí)，＝適合上式，
因此數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故an＝(n
2、∈N*)．
(2)由(1)及bn＝an(n∈N*) ，可知bn＝logn＝n，
所以＝＝－，
故Tn＝＋＋…＋＝＝1－＝.
2．(2018·濱州模擬)在如圖所示的幾何體ABCDEF中，底面ABCD為菱形，AB＝2a，∠ABC＝120?，AC與BD相交于O點(diǎn)，四邊形BDEF為直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，DE＝2BF＝2a，平面BDEF⊥底面ABCD.
(1)證明：平面AEF⊥平面AFC；
(2)求二面角E-AC-F的余弦值．
解析：(1)證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以AC⊥BD，
又平面BDEF⊥底面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，
因此AC⊥平面BD
3、EF，從而AC⊥EF.又BD⊥DE，所以DE⊥平面ABCD，
由AB＝2a，DE＝2BF＝2a，∠ABC＝120?，
可知AF＝＝a，BD＝2a，
EF＝＝a，AE＝＝2a，
從而AF2＋EF2＝AE2，故EF⊥AF.
又AF∩AC＝A，所以EF⊥平面AFC.
又EF?平面AEF，所以平面AEF⊥平面AFC.
(2)取EF中點(diǎn)G，由題可知OG∥DE，所以O(shè)G⊥平面ABCD，又在菱形ABCD中，OA⊥OB，所以分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz(如圖所示)，
則 O(0,0,0)，A(a,0,0)，C(－a,0,0)，E(0，－a,2a)，F(xiàn)(0，a
4、，a)，
所以＝(0，－a,2a)－(a,0,0)＝(－a，－a,2a)，＝(－a,0,0)－(a,0,0)＝(－2a,0,0)，＝(0，a，a)－(0，－a,2a)＝(0,2a，－a)．
由(1)可知EF⊥平面AFC，所以平面AFC的法向量可取為＝(0,2a，－a)．
設(shè)平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
即令z＝，得y＝4，
所以n＝(0,4，)．
從而cos〈n，〉＝＝＝.
故所求的二面角E-AC-F的余弦值為.
3．(2018·綿陽(yáng)模擬)某校為緩解高三學(xué)生的高考?jí)毫?，?jīng)常舉行一些心理素質(zhì)綜合能力訓(xùn)練活動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的訓(xùn)練后從該年級(jí)800名學(xué)生中隨機(jī)抽
5、取100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并將其成績(jī)分為A、B、C、D、E五個(gè)等級(jí)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如圖所示(視頻率為概率)，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，回答下列問(wèn)題：
(1)試估算該校高三年級(jí)學(xué)生獲得成績(jī)?yōu)锽的人數(shù)；
(2)若等級(jí)A、B、C、D、E分別對(duì)應(yīng)100分、90分、80分、70分、60分，學(xué)校要求平均分達(dá) 90分以上為“考前心理穩(wěn)定整體過(guò)關(guān)”，請(qǐng)問(wèn)該校高三年級(jí)目前學(xué)生的“考前心理穩(wěn)定整體”是否過(guò)關(guān)？
(3)為了解心理健康狀態(tài)穩(wěn)定學(xué)生的特點(diǎn)，現(xiàn)從A、B兩種級(jí)別中，用分層抽樣的方法抽取11個(gè)學(xué)生樣本，再?gòu)闹腥我膺x取3個(gè)學(xué)生樣本分析，求這3個(gè)樣本為A級(jí)的個(gè)數(shù)ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．
解析：(1)從條形圖中可知這
6、100人中，有56名學(xué)生成績(jī)等級(jí)為B，
所以可以估計(jì)該校學(xué)生獲得成績(jī)等級(jí)為B的概率為＝，
則該校高三年級(jí)學(xué)生獲得成績(jī)?yōu)锽的人數(shù)約有800×＝448.
(2)這100名學(xué)生成績(jī)的平均分為×(32×100＋56×90＋7×80＋3×70＋2×60)＝91.3，
因?yàn)?1.3＞90，所以該校高三年級(jí)目前學(xué)生的“考前心理穩(wěn)定整體”已過(guò)關(guān)．
(3)由題可知用分層抽樣的方法抽取11個(gè)學(xué)生樣本，其中A級(jí)4個(gè)，B級(jí)7個(gè)，從而任意選取3個(gè)，這3個(gè)為A級(jí)的個(gè)數(shù)ξ的可能值為0,1,2,3.
則P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
因此可得ξ的分布列為：
ξ
7、0
1
2
3
P
則E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
4．請(qǐng)?jiān)谙旅鎯深}中任選一題作答
(選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，a＞0)，在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4sin θ .
(1)試將曲線C1與C2化為直角坐標(biāo)系xOy中的普通方程，并指出兩曲線有公共點(diǎn)時(shí)a的取值范圍；
(2)當(dāng)a＝3時(shí)，兩曲線相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|.
解析：(1)曲線C1：，消去參數(shù)t可得普通方程為(x－3)2＋(y－2)2＝a2.
曲線C2：ρ＝4sin θ，兩邊同乘ρ.可得普通方程為x2＋
8、(y－2)2＝4.
把(y－2)2＝4－x2代入曲線C1的普通方程得：a2＝(x－3)2＋4－x2＝13－6x，
而對(duì)C2有x2≤x2＋(y－2)2＝4，即－2≤x≤2，所以1≤a2≤25.故當(dāng)兩曲線有公共點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為[1,5]．
(2)當(dāng)a＝3時(shí)，曲線C1：(x－3)2＋(y－2)2＝9，
兩曲線交點(diǎn)A，B所在直線方程為x＝.
曲線x2＋(y－2)2＝4的圓心到直線x＝的距離為d＝，
所以|AB|＝2＝.
(選修4－5：不等式選講)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|.
(1)在下面給出的直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，并由圖象找出滿足不等式f(x)≤3的解集；
(2)若函數(shù)y＝f(x)的最小值記為m，設(shè)a，b∈R，且有a2＋b2＝m，試證明：＋≥.
解析：(1)因?yàn)閒(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝
所以作出圖象如圖所示，并從圖可知滿足不等式f(x)≤3的解集為[－1,1]．
(2)證明：由圖可知函數(shù)y＝f(x)的最小值為，即m＝.所以a2＋b2＝，從而a2＋1＋b2＋1＝，
從而＋＝[(a2＋1)＋(b2＋1)]＝≥＝.
當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，等號(hào)成立，
即a2＝，b2＝時(shí)，有最小值，
所以＋≥得證．
2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 題型專項(xiàng)練 中檔題保分練（一）理
