2022年高中數學 課時作業(yè)8 數列的性質和遞推公式 新人教版必修5

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1、2022年高中數學 課時作業(yè)8 數列的性質和遞推公式 新人教版必修5 1．數列1,3,6,10,15，…的遞推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n，n∈N* B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 答案　B 解析　逐項驗證可知B選項合適． 2．已知數列{an}滿足a1>0，且an＋1＝an，則數列{an}是(　　) A．遞增數列　　　　　　　　 B．遞減數列 C．常數列 D．擺動數列 答案　B 解析　由a1>0，且an＋1＝an， 則an>0，又＝<1，∴an＋

2、1

3、的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，則a3＋a5等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 6．在數列{an}中，已知an＝(c∈R)，則對于任意正整數n有(　　) A．anan＋1 D．an與an＋1的大小關系和n有關 答案　B 解析　∵an＝＝＝1＋， ∴an－an＋1＝－＝. 當c－1>0時，an>an＋1；當c－1<0時，an

4、列{}是遞增數列； ④若數列{an}是遞增數列，則數列{an·an＋1}也是遞增數列． A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析?、佗冖壅_．對于④，如an為－2，－1,0,1,2,3，…，即不合要求． 8．已知數列{an}的通項公式為an＝－2n2＋21n，則該數列中最大的項為第________項． 答案　5 解析　∵f(n)＝－2n2＋21n ＝－2(n－)2＋(n∈N*)， ∴n＝5或6時an最大． ∵a5＝55，a6＝54，∴最大項為第5項． 9．函數f(x)定義如下表，數列{xn}滿足x0＝5，且對任意的自然數均有xn＋1＝f(xn)，則x2 0

5、12＝________. x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 答案　1 解析　由題意可得x1，x2，x3，x4，x5，…的值分別為2,1,5,2,1，…，故數列{xn}為周期為3的周期數列．∴x2 012＝x3×670＋2＝x2＝1. 10．已知數列{an}的通項公式是an＝則它的前4項為________． 答案　，，， 11．數列{an}中a1＝1，a2＝3，a－an－1·an＋1＝(－1)n－1(n≥2)，那么a4＝________. 答案　33 解析　令n＝2，得a－a1·a3＝－1，∴a3＝10. 令n＝3代入，得a－a2a4＝

6、(－1)2，∴a4＝33. 12．在數列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，寫出此數列的前6項，并猜想數列的通項公式． 解析　a1＝2，a2＝3， a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5， a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9， a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17， a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33. 可猜想an＝2n－1＋1. 13．已知an＝a()n(a為常數且a≠0)，試判斷{an}的單調性．下面是一學生的解法，這種解法對嗎？如果不對給出你的結論． ∵an－an－1＝a()n－a()n－1＝－a()n<0

7、， ∴{an}是遞減數列． 解析　這種解法誤認為a>0，所以不對，對于非零實數a應討論a>0和a<0兩種情況． ∵an－an－1＝－a()n(n≥2)， ∴當a>0時，an－an－1<0. ∴an0， ∴an>an－1.∴{an}是遞增數列． 14．已知數列{an}：，－，，－， … (1)寫出數列的通項公式； (2)計算a10，a15，a2n＋1； (3)證明：數列{|an|} 是遞增數列． 解析　(1)原數列變形為：，－，，－，…，分別考查數列的分子，分母與項數n的關系以及符號相間出現，第一項為正，所以

8、數列的通項公式為an＝(－1)n＋1. (2)當n＝10，則a10＝－＝－； 當n＝15時，則a15＝；將an中n換成2n＋1時，得a2n＋1＝. (3)令bn＝|an|(n∈N*)， 則bn＝|(－1)n＋1|＝. ∵bn＋1－bn＝－＝>0. ∴bn＋1>bn.即對一切正整數n，恒有|an＋1|>|an|成立．因此數列{|an|}為遞增數列． 講評　本題求解時，若與函數的定義，函數相關的性質聯系容易理解，an＝f(n)即為函數的解析式；a10＝f(10)，即是函數在n＝10的函數值；a2n＋1＝f(2n＋1)即為函數代換，將函數中的變量n換成了2n＋1；當|an＋1|>|an

9、|時，則數列在n∈N*時為遞增數列，這與函數單調遞增定義一樣，即對一切正整數n當n＋1>n，都有|an＋1|>|an|，說明數列中每一項大于前一項，即為遞增數列． 15．數列{an}滿足a1＝1，且an＋1＋2anan＋1－an＝0. (1)寫出數列{an}的前5項； (2)由(1)寫出數列{an}的一個通項公式； (3)實數是否為這個數列中的項？若是，應為第幾項？ 解析　(1)∵a1＝1，an＋1＋2anan＋1－an＝0， ∴a2＋2a1a2－a1＝0，解得a2＝. 同理，可以解得a3＝，a4＝，a5＝. ∴數列的前5項為1，，，，. (2)由以上可得an＝. (3)令

10、＝，得n＝50.即是這個數列的第50項． ?重點班·選作題 16．已知an＝，則這個數列的前30項中最大項和最小項分別是(　　) A．a1，a30 B．a1，a9 C．a10，a9 D．a10，a30 答案　C 17．根據下列5個圖形及相應的個數的變化規(guī)律，試猜測第n個圖中有多少個點． 解析　圖(1)只有1個點，無分支；圖(2)除中間1個點外，有兩個分支，每個分支有1個點；圖(3)除中間1個點外，有三個分支，每個分支有2個點；圖(4)除中間1個點外，有四個分支，每個分支有3個點；…；猜測第n個圖中除中間一個點外，有n個分支，每個分支有(n－1)個點，故第n個圖中個數為1＋n(n－1)＝n2－n＋1. 　 設{an}是首項為1的正項數列且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求an. 解析　方法一　(累乘法)由(n＋1)a－na＋an＋1an＝0，得(an＋1＋an)(nan＋1－nan＋an＋1)＝0. 由于an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0. ∴＝. ∴an＝a1···…· ＝1××××…×＝.