2022年高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第7講 函數(shù)的圖象講義 理（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第7講 函數(shù)的圖象講義 理（含解析） [考綱解讀]　1.掌握基本初等函數(shù)的圖象特征，能熟練地運用基本初等函數(shù)的圖象解決問題． 2.掌握作函數(shù)圖象的常用方法：①描點法；②平移法；③對稱法．(重點) 3.能運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)、解決方程解的個數(shù)或與不等式相關的問題．(難點) [考向預測]　從近三年高考情況來看，本講一直是高考中的熱點．預測2020年高考將會考查：①已知函數(shù)解析式識別函數(shù)的圖象；②利用函數(shù)圖象求函數(shù)零點的個數(shù)、解不等式或求參數(shù)的取值范圍．題型以客觀題為主，在解答題中也會用到數(shù)形結合的思想進行求解.

2、1．利用描點法作函數(shù)圖象的流程 2．變換法作圖 (1)平移變換 提醒：對于平移，往往容易出錯，在實際判斷中可熟記口訣：左加右減，上加下減． (2)對稱變換 ①y＝f(x)y＝－f(x)； ②y＝f(x)y＝f(－x)； ③y＝f(x)y＝－f(－x)； ④y＝ax(a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)． (3)翻折變換 ①y＝f(x)y＝|f(x)|； ②y＝f(x)y＝f(|x|)． (4)伸縮變換 1．概念辨析 (1)當x∈(0，＋∞)時，函數(shù)y＝f(x)與y＝f(|x|)的圖象相同．(　　) (2)函數(shù)y＝f(x)與y＝|f(

3、x)|的圖象在x軸上方的部分是相同的．(　　) (3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．(　　) (4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(π＋x)＋f(π－x)＝0，則函數(shù)f(x)的圖象關于點(π，0)中心對稱．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．小題熱身 (1)函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(　　) 答案　A 解析　因為函數(shù)f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，且值域是(－∞，0]，只有A滿足上述兩個性質(zhì)．故選A. (2)將函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移

4、1個單位長度得到(　　) A．函數(shù)y＝f(－x－1)的圖象 B．函數(shù)y＝f(－x＋1)的圖象 C．函數(shù)y＝f(－x)－1的圖象 D．函數(shù)y＝f(－x)＋1的圖象 答案　B 解析　函數(shù)y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位長度，得到函數(shù)y＝f(－(x－1))，即y＝f(－x＋1)的圖象． (3)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝logf(x)的定義域是________． 答案　(2,8] 解析　結合圖象知不等式f(x)>0的解集為(2,8]，所以函數(shù)g(x)＝log　f(x)的定義域是(2,8]． (4)如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥

5、log2(x＋1)的解集是________． 答案　(－1,1] 解析　作出函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖象，如圖所示： 其中函數(shù)f(x)與y＝log2(x＋1)的圖象的交點為D(1,1)，由圖象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1

6、如圖1所示． (2)先作出y＝x，x∈[0，＋∞)的圖象，然后作其關于y軸的對稱圖象，再將整個圖象向左平移1個單位長度，即得到y(tǒng)＝|x＋1|的圖象，如圖2所示． (3)先作出y＝log2x的圖象，再將圖象向下平移1個單位長度，保留x軸上方的部分，將x軸下方的圖象翻折到x軸上方，即得到y(tǒng)＝|log2x－1|的圖象，如圖3所示． (4)y＝的圖象如圖4所示． 條件探究　將舉例說明(4)改為y＝|x2－2x－1|，其圖象怎樣畫？ 解　y＝畫圖如圖所示． 函數(shù)圖象的畫法 (1)直接法：當函數(shù)的表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本函數(shù)時，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象

7、的關鍵點直接作出． (2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對值符號的函數(shù)，可去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象．如舉例說明(4)． (3)圖象變換法：若函數(shù)的圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出．如舉例說明(1)、(2)、(3)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 作出下列函數(shù)的圖象： (1)y＝＋1； (2)y＝x2－2x＋2，x∈(－1,2]； (3)y＝10|lg x|. 解　(1)函數(shù)圖象如圖1所示． (2)函數(shù)圖象如圖2所示． (3)y＝10|lg x|＝其圖象如圖3所示． 題型 　函數(shù)圖象的辨識 1．(2018·

8、全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝的圖象大致為(　　) 答案　B 解析　∵x≠0，f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，故不選A；∵f(1)＝e－e－1>0，∴不選D； ∵f′(x)＝ ＝， ∴當x>2時，f′(x)>0，∴不選C.因此選B. 2．已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝－f(2－x)的圖象為(　　) 答案　B 解析　解法一：由y＝f(x)的圖象知， f(x)＝ 當x∈[0,2]時，2－x∈[0,2]， 所以f(2－x)＝ 故y＝－f(2－x)＝ 圖象應為B. 解法二：當x＝0時，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；

9、 當x＝1時，－f(2－x)＝－f(1)＝－1. 觀察各選項，可知應選B. 函數(shù)圖象辨識的策略 (1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置； (2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢； (3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性； (4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復； (5)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2018·安徽安慶二模)函數(shù)f(x)＝·loga|x|(0

10、虛線是四個象限的角平分線，實線是函數(shù)y＝f(x)的部分圖象(在虛線范圍內(nèi))，則f(x)可能是(　　) A．xsinx B．xcosx C．x2cosx D．x2sinx 答案　A 解析　由圖象可知y＝f(x)為偶函數(shù)．因為f(x)＝xcosx，f(x)＝x2sinx都是奇函數(shù)，所以排除B，D.由圖象可知，在第一象限內(nèi)，y＝f(x)的圖象在直線y＝x的右下方，點(2π，4π2)在f(x)＝x2cosx的圖象上，且此點在直線y＝x的左上方，故排除C.所以f(x)可能是xsinx. 題型 　函數(shù)圖象的應用 角度1　研究函數(shù)的性質(zhì) 1．設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函

11、數(shù)，且對任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知當x∈[0,1]時，f(x)＝1－x，則下列說法： ①2是函數(shù)f(x)的周期； ②函數(shù)f(x)在(1,2)上遞減，在(2,3)上遞增； ③函數(shù)f(x)的最大值是1，最小值是0； ④當x∈(3,4)時，f(x)＝x－3. 其中所有正確說法的序號是________． 答案?、佗冖? 解析　由已知條件，得f(x＋2)＝f(x)， 故y＝f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，①正確； 當－1≤x≤0時，0≤－x≤1， f(x)＝f(－x)＝1＋x， 函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示， 當3

12、)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正確，③不正確． 角度2　解不等式 2．(1)設奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式<0的解集為(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) (2)不等式3sinx－logx<0的整數(shù)解的個數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)因為f(x)為奇函數(shù)，所以不等式 <0可化為<0，即xf(x)<0. 由已知得f(x)的大致圖象如圖所示， 所以xf(x)<0的解集

13、即原不等式的解集為(－1，0)∪(0,1)． (2)不等式3sinx－logx<0可化為3sinx

14、(x)＝|x＋a|與g(x)＝x－1的圖象，觀察圖象可知，當且僅當－a≤1，即a≥－1時，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此實數(shù)a的取值范圍是[－1，＋∞)． (2)畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 觀察圖象可知，若方程f(x)－a＝0有三個不同的實數(shù)根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a有3個不同的交點，此時需滿足0

15、用數(shù)形結合求解．如舉例說明2. 3．研究方程根的個數(shù)及參數(shù)的值(或范圍) 構造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題，在同一坐標系中分別作出兩函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合求解．如舉例說明3(2)．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結論正確的是(　　) A．f(x)是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞) B．f(x)是偶函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1) C．f(x)是奇函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－1,1) D．f(x)是奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0) 答案　C 解析　函數(shù)f(x)＝x|x|－2x的定義域是R，且f(－x)＝－x

16、|－x|－2(－x)＝－x|x|＋2x＝－f(x)， 所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)， f(x)＝x|x|－2x ＝ 如圖所示． 函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－1,1)． 2．若a＝2x，b＝，c＝logx，則“a>b>c”是“x>1”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　B 解析　由圖可知，“x>1”?“a>b>c”，但“a>b>c” “x>1”，即“a>b>c”是“x>1”的必要不充分條件．故選B. 3．(2018·安徽皖南八校三模)已知函數(shù)f(x)＝其中a>0且a≠1，若函數(shù)f(x)的圖象上有且

17、只有一對點關于y軸對稱，則a的取值范圍是________． 答案　(0,1)∪(1,4) 解析　將f(x)在y軸左側(cè)的圖象關于y軸對稱到右邊，與f(x)在y軸右側(cè)的圖象有且只有一個交點．當01時必須loga4>1，解得a<4.綜上知，a的取值范圍是(0,1)∪(1,4)． 高頻考點　高考中的函數(shù)圖象及應用問題 考點分析　高考中函數(shù)圖象問題的考查主要有函數(shù)圖象的識別、變換及應用等，多以小題形式考查，難度不大，常利用特殊點法、排除法、數(shù)形結合法等解決，所以熟練掌握高中所學的幾種基本初等函數(shù)的圖象是解決問題的前提． 1．函數(shù)圖象和解析式的對應問題 [典例1]

18、　(2018·浙江高考)函數(shù)f(x)＝2|x|sin2x的圖象可能是(　　) 答案　D 解析　因為f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin2x＝－f(x)，所以該函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，B；當x∈時，sin2x>0,2|x|sin2x>0，所以圖象在x軸的上方，當x∈時，sin2x<0,2|x|sin2x<0，所以圖象在x軸的下方． 2．函數(shù)圖象的應用 [典例2]　已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有兩個不同實根，則a的取值范圍為(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(0,1) D．(－∞，＋∞) 答案　A 解析　x≤0時，f(x)＝2－x－1， 00時，f(x)是周期函數(shù)． 若方程f(x)＝x＋a有兩個不同的實數(shù)根，則函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝x＋a有兩個不同交點，如圖所示． 故a<1，即a的取值范圍是(－∞，1)．