2022年高考數(shù)學(xué) 專題04 三角函數(shù)與三角恒等變換（第一季）壓軸題必刷題 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 專題04 三角函數(shù)與三角恒等變換（第一季）壓軸題必刷題 理 1．已知是函數(shù)圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，是與相鄰的兩個(gè)最低點(diǎn).設(shè)，若，則的圖象對(duì)稱中心可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 結(jié)合題意,繪圖 ，，所以周期，解得，所以 ，令k=0，得到 所以， 令,得對(duì)稱中心，令m=1,得到對(duì)稱中心坐標(biāo)為，故選D。 2．拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)，為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，過弦的中點(diǎn)作該拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為 A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】 設(shè)|AF|＝a，|BF|

2、＝b， 由拋物線定義，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP| 在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b． 由余弦定理得， |AB|2＝a2+b2﹣2abcos60°＝a2+b2﹣ab 配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣3ab， 又∵ab≤（ ） 2， ∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2（a+b）2（a+b）2 得到|AB|（a+b）＝|CD|． ∴1，即的最小值為1． 故選：B． 3．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和.若函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

3、和. 令， 在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)， 等價(jià)于在上有唯一解， 的圖象時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)， 故由正弦函數(shù)圖象可得或， 解得,故選D. 4．如圖，在半徑為1的扇形AOB中（O為原點(diǎn)），．點(diǎn)P（x，y）是上任意一點(diǎn)，則xy+x+y的最大值為（　?。? A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】 由題意知x=cosα，y=sinα，0≤α≤， 則xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα， 設(shè)t=sinα+cosα，則t2=1+2sinαcosα， 即sinαcosα=， 則xy+x+y=sinαcosα+sinα+cosα= t=sinα+

4、cosα=sin（α+）， ∵0≤α≤，∴≤α+≤， ∴. ∴當(dāng)t=時(shí)，xy+x+y取得最大值為：． 故選：D． 5．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在上單調(diào)，同時(shí)的圖象向左平移個(gè)單位之后與原來的圖象重合，當(dāng)，且時(shí)，，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由函數(shù)的圖像過點(diǎn)， 所以，解得， 又，所以， 所以； 的圖像向左平移各單位后為： ， 由兩圖像完全重合可得，所以，; 又因?yàn)樵趩握{(diào)， 所以， 所以，所以； 所以，其圖像對(duì)稱軸位，即，； 當(dāng)，其對(duì)稱軸為， 因?yàn)椋裕? 所以，故選C。 6．已知存在，且，使得，其中，則實(shí)數(shù)的值可能

5、為 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 由得, 所以,即， 因?yàn)?，所? 當(dāng)時(shí)，，舍去； 當(dāng)時(shí)，，舍去； 當(dāng)時(shí)，，舍去； 當(dāng)時(shí)，，選D. 7．已知函數(shù)，兩個(gè)等式：對(duì)任意的實(shí)數(shù)均恒成立，且上單調(diào)，則的最大值為 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 1.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)x均恒成立，所以，因?yàn)?，所以，所以，可以?yàn)證在上不單調(diào)， 2.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)x均恒成立，所以，因?yàn)椤に浴に?，可以?yàn)證在上單調(diào)， 所以w=1.故選A. 8．已知函數(shù)，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則的值為（ ） A．

6、 B． C． D．不能確定 【答案】A 【解析】 畫出函數(shù)在內(nèi)的圖像以及的圖像如下圖所示，令，解得，令，解得.由圖像可知關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱，故，，所以. 9．如圖，某大風(fēng)車的半徑為2米，每12秒旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)O離地面1米，點(diǎn)O在地面上的射影為A.風(fēng)車圓周上一點(diǎn)M從最低點(diǎn)O開始，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40秒后到達(dá)P點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P的高度之和為（ ） A．5米 B．(4＋)米 C．(4＋)米 D．(4＋)米 【答案】D 【解析】 以圓心為原點(diǎn)，以水平方向?yàn)閤軸方向，以豎直方向?yàn)閥軸方向， 建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示． 設(shè)∠O

7、P＝θ，運(yùn)動(dòng)t(秒)后與地面的距離為f(t)，又T＝12， ∴θ＝t，∴f(t)＝3－2cos t，t≥0， 風(fēng)車圓周上一點(diǎn)M從最低點(diǎn)O開始，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)40秒后到達(dá)P點(diǎn)， θ＝6π＋，P(，1)， ∴點(diǎn)P的高度為3－2×＝4.∵A(0，－3)，∴AP＝＝， ∴點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P的高度之和為(4＋)米，故選D． 10．已知點(diǎn)O是銳角△ABC的外心，a，b，c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，A= ，且，則λ的值為（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【答案】D 【解析】 如圖所示：O是銳角△ABC的外心， D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，且OD⊥AB，

8、OE⊥AC， 設(shè)△ABC外接圓半徑為R，則R， 由圖得，， 則 ， 同理可得，， 由得， ， 所以， 則，① 在△ABC中由正弦定理得：， 代入①得，， 則，② 由正弦定理得，、， 代入②得，2RsinCcosB+2RcosCsinB＝﹣λR； 所以2sin（C+B）＝﹣λ，即2sinλ， 解得λ，故選D． 11．設(shè)分別是的內(nèi)角的對(duì)邊，已知，設(shè)是邊的中點(diǎn)，且的面積為，則等于（ ） A．2 B．4 C．-4 D．-2 【答案】A 【解析】 ∵，， ∴由正弦定理可得：，整理可得：b2+c2﹣a2=-bc， ∴由余弦定理可得：co

9、sA=，∴由A∈（0，π），可得：A=，又的面積為，即,∴bc=4, 又=-=-=- ===-bccosA=2. 故選A. 12．已知函數(shù)，若，且，則取最大值時(shí)的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 13．已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，如果存在實(shí)數(shù)x0，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有成立，當(dāng)取最小值時(shí) A．在上是增函數(shù) B．在上是增函數(shù) C．在上是減函數(shù) D．在上是減函數(shù) 【答案】B 【解析】 因?yàn)闉楹瘮?shù)的零點(diǎn)，故. 因?yàn)槭菆D像的對(duì)稱軸，故，故，. 因，故或者，所以或者， . 因恒成立，故， 若，故，所以，故； 若

10、，則，所以，故； 所以，令，， 故，所以在上為增函數(shù)， 故選B. 14．如圖所示，已知面，于，，令，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因?yàn)镻A⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，設(shè)PD=x， 所以， 在△PBC中，根據(jù)余弦定理可得 所以 所以 所以選A 15．函數(shù)（）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù)，，，總能以，，的長邊構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 函數(shù)（）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 即 ,當(dāng)時(shí)， ，即由三

11、角函數(shù)的單調(diào)性可知在區(qū)間上， 則在區(qū)間上任取三個(gè)實(shí)數(shù)，，，總能以，，的長邊構(gòu)成三角形， 且，即 故選D. 16．如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn), 分別在軸和軸非負(fù)半軸上,點(diǎn)在第一象限,且, ,那么, 兩點(diǎn)間距離的( ) A．最大值是,最小值是 B．最大值是,最小值是 C．最大值是,最小值是 D．最大值是,最小值是 【答案】A 【解析】 設(shè)BC與x軸的夾角為（），E 為△ABC的中點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，如圖： 易知 ； 當(dāng) 時(shí)，A,O,E三點(diǎn)構(gòu)成如圖三角形，根據(jù)題意，可知， ， 則， ∴ 即 16<<32，解得； 當(dāng)時(shí)，如圖,四邊形ABOC

12、是正方形， 當(dāng) 時(shí)，A,O,E三點(diǎn)構(gòu)成如圖三角形， ∴ 同理可求得； 當(dāng)時(shí)，易求得OA=4 故OA的最大值是，最小值是4 故選A 17．已知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在區(qū)間上不單調(diào)，則的可能值有 A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè) 【答案】D 【解析】 已知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，則， 又∵ ，∴，∴， 根據(jù)題意，可知在區(qū)間上不單調(diào)， 則 ， ，即, ∴ ∵∴， 當(dāng)k=1時(shí)，可以為3；當(dāng)k=2時(shí)，可以為7，6，5；當(dāng)k=3時(shí)，可以為11,10,9,8,7,； 當(dāng)k=4時(shí)，可以為12,11,10,9；當(dāng)k=5時(shí)，可以為12

13、,11； 綜上所述，可以為3,5，6,7,8,9,10,11,12，共9個(gè) 故選D. 18．已知函數(shù)，，對(duì)任意恒有，且在區(qū)間上有且只有一個(gè)使，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 分類討論： ①.當(dāng)k=19時(shí)，，此時(shí)可使成立， 當(dāng)時(shí)，， 所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去； ②.當(dāng)k=18時(shí)，，此時(shí)可使成立， 當(dāng)時(shí)，， 所以當(dāng)或時(shí)，都成立，舍去； ③.當(dāng)k=17時(shí)，，此時(shí)可使成立， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，都成立， 綜上可得：ω的最大值為. 本題選擇C選項(xiàng). 19．已知函數(shù)，對(duì)x∈R恒有，且在區(qū)間上有且只有一個(gè)的最大值為 A．

14、 B． C． D． 【答案】B 【解析】 由題意知，,則，k ，其中k =， ，故與同為奇數(shù)或同為偶數(shù). 在上有且只有一個(gè)最大，且要求最大，則區(qū)間包含的周期應(yīng)該最多，所以，得，即，所以. 當(dāng)時(shí)，，為奇數(shù)，，此時(shí)，當(dāng)或6.5時(shí)，都成立，舍去； 當(dāng)時(shí)，，為偶數(shù)，，此時(shí)，當(dāng)或4.5π時(shí)，都成立，舍去； 當(dāng)時(shí)，，為奇數(shù)，，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立. 綜上所述，最大值為. 故選：B 20．已知雙曲線：右支上的一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于，兩點(diǎn).若點(diǎn)，分別位于第一，四象限，為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的面積為，則雙曲線的實(shí)軸長為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 可設(shè) 的面積為 由題意可得，解得① ，由，可得 即為 代入雙曲線的方程，可得，化簡得，②，由①②解得 ，所以. 故選A.