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1、九年級數(shù)學(xué)上冊 第2章 命題與證明 第2章綜合 名師教案 湘教版
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【教學(xué)目標(biāo)】
? 1. 了解命題的概念,知道什么是命題,真命題、假命題、逆命題,能區(qū)分命題的題設(shè)和結(jié)論,會把一個命題寫成“如果……,那么……”的形式。
? 2. 了解定義、公理、定理的概念以及公理與定理的區(qū)別,能舉例將所學(xué)過的定理、公理進行說明,能較準(zhǔn)確地表達學(xué)過的定義、定理等。
? 3. 了解證明的必要性、公理的方法,綜合證明的格式,理解推理中要步步有據(jù),會根據(jù)題意畫出圖形,寫出已知、求證,并完成一個簡單命題的證明。
? 4. 通過舉反例判定一個命題是假命題,能掌握用反證法證明的思想方法。
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二. 重點、
2、難點:
? 1. 教學(xué)重點:
??? 理解證明的必要性;了解定義、命題的概念并會判斷真假命題,理解本節(jié)所給出的公理及相關(guān)定理。
? 2. 教學(xué)難點:
??? 對證明的邏輯推理過程要熟練掌握,并能較嚴(yán)密地寫出證明過程。
? 3. 思想方法:
??? 經(jīng)歷探索、猜測、證明的過程,體會證明的必要性,發(fā)展學(xué)生初步的演繹推理能力;分析、解決問題時強調(diào)轉(zhuǎn)化的思想、化難為易、轉(zhuǎn)化的方式有代換轉(zhuǎn)化,已知與未知的轉(zhuǎn)化、特殊與一般的轉(zhuǎn)化等。
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三. 主要內(nèi)容:
(一)本章知識結(jié)構(gòu)圖
???
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(二)基本內(nèi)容
? 1. 理解推理證明的必要性
? 2. 定義:
??? 對一個概念的
3、特征本質(zhì)的描述,稱為它的定義。
? 3. 命題:
??? (1)定義:判斷一件事情的句子,叫做命題。
??? (2)結(jié)構(gòu):每個命題都由條件和結(jié)論兩部分組成。
??? 命題一般可以寫作“如果……,那么……”或“若……,則……”的形式。
??? (3)分類:命題包括真命題和假命題兩類。
? 4. 公理、定理、證明:
??? 人們在長期實踐中總結(jié)出來的公認(rèn)的真命題,稱為公理。
??? 通過推理論證、判斷其為真命題,稱為定理。
??? 推理的過程叫做證明。
? 5. 命題與逆命題:
??? 兩個命題中,如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命
4、題。
??? 其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。
??? 任何一個命題都有其逆命題,但一個真命題的逆命題不一定是真命題,所以,不是所有的定理都有其逆定理。
? 6. 證明的一般步驟:
??? (1)弄清題意,能正確畫出圖形。
??? (2)根據(jù)題意和圖形,寫出“已知”和“求證”。
??? (3)條理清晰地寫出證明過程。
??? (4)檢查表達過程是否正確、完善。
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【典型例題】
? 例1. 請寫出下列命題的逆命題,并判斷是真命題還是假命題。
??? (1)直角都相等。
??? (2)如果兩個數(shù)中有一個數(shù)是正數(shù),那么這兩個數(shù)之和是正數(shù)。
??? (3)對角相等的平行
5、四邊形是矩形。
??? 分析:寫逆命題應(yīng)先弄清命題的條件和結(jié)論。
?? ?解:(1)相等的角是直角。(假命題)
??? (2)如果兩個數(shù)之和是正數(shù),那么兩個數(shù)中有一個數(shù)是正數(shù)。(真命題)
??? (3)矩形是對角相等的平行四邊形。(假命題)
?? ?說明:一個命題是真命題,它的逆命題不一定是真命題。
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? 例2. 有一次四人游泳比賽,比賽前,四名選手A、B、C、D進行預(yù)測性會談,A說:“我肯定得第一名”,B說:“我絕對不會得最末名”,C說:“我不可能是第一名,也不會得最后一名”,D說:“那只有我是最末的!”。經(jīng)過比賽成績揭曉,發(fā)現(xiàn)他們之中只有一位預(yù)測錯誤,請指出是哪一位選手?
6、
??? 分析:我們先將四人談話內(nèi)容列出表格,再來討論。
???
??? 解:從表中可看出D沒有估計錯誤。
??? 如果D預(yù)測錯誤,那么自然另有一個選手預(yù)測錯了,否則就不會出現(xiàn)最末名;如果C預(yù)測錯誤,則他在這次比賽中應(yīng)得第一名或第四名,但在此情況下,第一名和第四名已分別由A和D占據(jù);如果B預(yù)測錯誤,則他只能是第四名,這里D也成了預(yù)測者,但按條件,預(yù)測錯誤的只有一人。
??? 因此預(yù)測錯誤的只能是A,他應(yīng)是第二名或第三名。
??? 這樣,名次可能是:
??? (1)第一名:B,第二名:A,第三名:C,第四名:D;
??? (2)第一名:B,第二名:C,第三名:A,第四名:D。
7、??? 這類題型主要是訓(xùn)練同學(xué)們的邏輯推理能力,讓同學(xué)們看到邏輯推理在解決問題的價值,同時體驗到用邏輯思維方法成功的快樂。
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? 例3. 有一矩形鋼板ABNM,現(xiàn)加工成零件形狀,如圖,按規(guī)定∠ADE、∠BCE應(yīng)分別是45°和55°,檢驗工人量得∠DEC=95°,就非??隙ǖ嘏卸ㄟ@個零件不合格,你能說明這是為什么嗎?
?? ?分析:這也是一道訓(xùn)練邏輯思維的題目,零件是否合格、取決于角度之間是否相等。
??? 即若∠ADE+∠BCE=∠DEC,則零件合格,否則零件不合格。
? ??解:過E作EF∥AD
??? ∴∠ADE=∠FED
??? 又AM∥BN,∴EF∥BC
???
8、∴∠FEC=∠ECB
???
??? 現(xiàn)量得∠DEC=95°
??? ∴這個零件不合格
?
? 例4. 如圖,已知AB∥CD,EF交CD于H,交AB于I,EG⊥AB,垂足為G,若∠GHE=125°,求∠FEG的度數(shù)。
??? 分析:略
??? 解:∵AB∥CD,∠CHE=125°(已知)
??? ∴∠AIE=∠CHE=120°
??? 又EG⊥AB(已知)
??? ∴∠EGI=90°(垂直定義)
??? 又∠AIE是△EIG的一個外角
??? ∴∠AIE=∠FEG+∠EGI
???
?
? 例5. 證明:順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點得到的四邊形是
9、矩形。
??? 已知:如圖,四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點,對角線AC⊥BD。
??? 求證:四邊形EFGH是矩形。
? ??分析:要證四邊形EFGH是矩形,先需證明它是平行四邊形。
??? 由于E、F、G、H分別是各邊中點。
??? 由三角形中位線定理易證EFGH是平行四邊形,再根據(jù)AC⊥BD去證明EFGH中有一個角為直角即可。
??? 證明:∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(已知)
???
???
??? ∴四邊形EFGH是平行四邊形
??? 又∵AC⊥BD,EF∥AC
??? ∴∠1=90°
??? 又
10、EH∥BD(三角形中位線定理)
??? ∴∠2+∠1=180°
??? 即∠2=90°
??? ∴四邊形EFGH是矩形
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? 例6. 先閱讀第(1)問的題目及證明過程,然后完成(2)問的問題。
??? (1)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD+BC,E為CD中點。
??? 求證:AE⊥BE
??? 證明:過點E作EF∥BC交AB于F
??? ∵E是CD的中點
??? ∴F是AB的中點
??? ∴EF是梯形ABCD的中位線
???
???
???
???
???
?
??? (2)在第(1)題的證明過程中,第_________步(填
11、寫(1)題中證明步驟中的序號),我們用到了定理:“如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形。”
??? 現(xiàn)在請你證明這個定理(要求寫出已知、求證和證明)。
?? ?解:本題(1)中第<4>步的理由是定理“如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形?!?,證明如下:
???
??? 求證:△ACB是直角三角形。
? ??分析:略
? ??證明:∵CD是AB邊上的中線
???
???
???
???
???
??? 即∠ACB=90°
??? ∴△ACB是直角三角形
?? ?說明:這類閱讀理解題近年來越來越常見,主要考查同學(xué)們閱讀理解和自學(xué)能力,希望同學(xué)們加強這方面的訓(xùn)練。
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