11、每兩個(gè)對應(yīng)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為2.故所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為8.
15.若關(guān)于x的不等式4ax－1＜3x－4(a＞0，且a≠1)對于任意的x＞2恒成立，則a的取值范圍為( )
A. B.
C.[2，＋∞) D.(2，＋∞)
答案 B
解析 不等式4ax－1＜3x－4等價(jià)于ax－1＜x－1.
令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，當(dāng)a＞1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖1所示，由圖1知不滿足題意；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖2所示，則f(2)≤g(2)，即a2－1≤×2－1，
即a≤，所以a的取值范圍是，故選B.
考點(diǎn)四 函數(shù)與方程
12、
方法技巧 確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法
(1)解方程法.
(2)利用零點(diǎn)存在性定理.
(3)數(shù)形結(jié)合，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解.
16.函數(shù)f(x)＝＋ln的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是( )
A.(1，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(1，2)∪(2，3)
答案 B
解析 ∵f(2)＝1－ln 1＞0，
f(3)＝－ln 2＝＜0，
∴f(2)f(3)＜0.
又f(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，
故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(2，3)內(nèi).
17.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－3x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點(diǎn)的
13、集合為( )
A.{1，3} B.{－3，－1，1，3}
C.{2－，1，3} D.{－2－，1，3}
答案 D
解析 當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)＝x2－4x＋3，
由g(x)＝0，得x＝1或x＝3.
當(dāng)x＜0時(shí)，g(x)＝－x2－4x＋3，
由g(x)＝0，得x＝－2＋(舍)或x＝－2－.
∴g(x)的零點(diǎn)的集合為{－2－，1，3}.
18.函數(shù)f(x)＝|x－2|－ln x在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝|x－2|及y＝ln x的圖象，如圖.
觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有2個(gè)交點(diǎn)，即
14、函數(shù)f(x)＝|x－2|－ln x在定義域內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn).
19.已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－kx－2k有五個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)呈現(xiàn)周期性.
作函數(shù)y1＝f(x)和y2＝k(x＋2)的圖象.
直線l：y＝k(x＋2)過定點(diǎn)A(－2，0)，點(diǎn)A與點(diǎn)B(5，1)連線的斜率kAB＝＝，點(diǎn)A與點(diǎn)C(6，1)連線的斜率kAC＝＝.由圖可知，要使兩函數(shù)圖象有五個(gè)交點(diǎn)，則kAC≤k＜kAB，所以≤k＜，故選C.
20.已知函數(shù)f(x)＝－m|x|有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_____
15、___.
答案 (1，＋∞)
解析 函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程＝m|x|有且僅有三個(gè)實(shí)根.∵＝m|x|?＝|x|·(x＋2)，作函數(shù)y＝|x|·(x＋2)的圖象，如圖所示.
由圖象可知m應(yīng)滿足0＜＜1，故m＞1.
1.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1，1)，則函數(shù)g(x)＝f ＋f(x－1)的定義域?yàn)? )
A.(－2，0) B.(－2，2)
C.(0，2) D.
答案 C
解析 由題意得??0＜x＜2.故選C.
2.(xx·重慶一調(diào))奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.若f(x＋3)為偶函數(shù)，且f(1)＝1，則f(6)＋f(11)等于( )
A.－2
16、B.－1 C.0 D.1
答案 B
解析 ∵f(x＋3)是偶函數(shù)，∴f(x)關(guān)于x＝3對稱，
∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(6)＝f(0)＝0，
f(11)＝f(－5)＝－f(5)＝－f(1)＝－1，
∴f(6)＋f(11)＝－1.故選B.
3.(xx·全國Ⅰ)函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2，2]的圖象大致為( )
答案 D
解析 令f(x)＝y(tǒng)＝2x2－e|x|，f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<×4－e0＝0，因此f(x)在
17、上單調(diào)遞減，排除C，故選D.
4.已知函數(shù)f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則a＋b＋c的取值范圍是( )
A.(1，2 016) B.[1，2 016]
C.(2，2 017) D.[2，2 017]
答案 C
解析 在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖象，如圖所示.設(shè)a＜b＜c，要使得存在互不相等的a，b，c，滿足f(a)＝f(b)＝f(c)，則a，b關(guān)于直線x＝對稱，可得a＋b＝1，1＜c＜2 016，故a＋b＋c的取值范圍是(2，2 017).
解題秘籍 (1)從映射的觀點(diǎn)理解抽象函數(shù)的定義域，如函數(shù)y＝f(g(x))中，若函數(shù)y＝
18、f(x)的定義域?yàn)锳，則有g(shù)(x)∈A.
(2)利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值時(shí)，要靈活應(yīng)用性質(zhì)對函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)換.
(3)解題中要有數(shù)形結(jié)合的思想，將函數(shù)圖象、性質(zhì)有機(jī)結(jié)合.
1.函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)? )
A.(0，2) B.(0，2]
C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)
答案 C
解析 由題意可知x滿足log2x－1＞0，即log2x＞log22，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得x＞2，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?2，＋∞).
2.若函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，則使f(x)＞3成立的x的取值范圍為( )
A.(－∞，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，＋
19、∞)
答案 C
解析 ∵函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，
∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，化簡可得a＝1，
則＞3，即－3＞0，即＞0，故不等式可化為＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故選C.
3.設(shè)函數(shù)g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝則f(x)的值域是( )
A.∪(1，＋∞)
B.
C.
D.∪(2，＋∞)
答案 D
解析 由x＜g(x)，得x＜x2－2，
∴x＜－1或x＞2；
由x≥g(x)，得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.
∴f(x)＝
即f(x)＝
當(dāng)x＜－1時(shí)，f(x)＞2；當(dāng)x＞2時(shí)，f(x)＞8.
∴當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)
20、時(shí)，
函數(shù)的值域?yàn)?2，＋∞)；
當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，－≤f(x)≤0.
∴當(dāng)x∈[－1，2]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?
綜上可知，f(x)的值域?yàn)椤?2，＋∞).
4.(xx·全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是( )
A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]
答案 D
解析 ∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x).
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1).
又f(x)在(－∞
21、，＋∞)單調(diào)遞減，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3，故選D.
5.已知f(x)＝的值域?yàn)镽，那么a的取值范圍是( )
A.(－∞，－1] B.
C. D.
答案 C
解析 要使函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，
需使
∴
∴－1≤a＜.
故選C.
6.如果函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.a＞－
B.a≥－
C.－≤a＜0
D.－≤a≤0
答案 D
解析 當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝2x－3，在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(－∞，4)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a≠0時(shí)，二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝－.
因
22、為f(x)在(－∞，4)上單調(diào)遞增，
所以a＜0，且－≥4，解得－≤a＜0.
綜上所述得－≤a≤0.
7.設(shè)函數(shù)f(x)＝的圖象過點(diǎn)(1，1)，函數(shù)g(x)是二次函數(shù)，若函數(shù)f(g(x))的值域是[0，＋∞)，則函數(shù)g(x)的值域是( )
A.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
B.(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C.[0，＋∞)
D.[1，＋∞)
答案 C
解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝的圖象過點(diǎn)(1，1)，所以m＋1＝1，解得m＝0，
所以f(x)＝畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象(如圖所示)，由于函數(shù)g(x)是二次函數(shù)，值域不會(huì)是選項(xiàng)A，B，易知當(dāng)g(x)的值域是[0，＋∞)時(shí)，f(g
23、(x))的值域是[0，＋∞).故選C.
8.已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.[－1，1) B.[0，2]
C.[－2，2) D.[－1，2)
答案 D
解析 g(x)＝f(x)－2x＝要使函數(shù)g(x)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，只需g(x)＝0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以或所以g(x)＝0的三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根為x＝2(x＞a)，x＝－1(x≤a)，x＝－2(x≤a).再借助數(shù)軸，可得－1≤a＜2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1，2)，故選D.
9.若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則k＝________.
答案?。?
24、解析 ∵f(x)為奇函數(shù)，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴＝－，
∴(x＋2)(x＋k)＝(2－x)(k－x)，
即x2＋2x＋kx＋2k＝2k－kx－2x＋x2，
∴k＝－2.
10.(xx·天津)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a－1|)>f(－)，則a的取值范圍是________.
答案
解析 ∵f(x)是偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞增，
∴在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(－)＝f()，
∴f(2|a－1|)>f()，∴2|a－1|<＝，
∴|a－1|<，即－
25、數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.
答案 5
解析 方程2f 2(x)－3f(x)＋1＝0的解為f(x)＝或1.作出y＝f(x)的圖象，由圖象知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5.
12.設(shè)函數(shù)f(x)＝
(1)若a＝1，則f(x)的最小值為________；
(2)若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________________________.
答案 (1)－1 (2)∪[2，＋∞)
解析 (1)若a＝1，則f(x)＝
作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.
由圖可得f(x)的最小值為－1.
(2)當(dāng)a≥1時(shí)，要使函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，需滿足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2；當(dāng)a＜1時(shí)，要使函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，需滿足解得≤a＜1.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為∪[2，＋∞).
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