2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 5.1 空間幾何體學(xué)案 文

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1、第1講　空間幾何體 考點(diǎn)1　三視圖、直觀圖與截面圖、展開圖 　一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面，長(zhǎng)度與正視圖的長(zhǎng)度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”． [例1]　(1)[2018·全國(guó)卷Ⅰ]某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖. 圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 (2)[2019·黑龍江哈爾濱六中模擬]如圖

2、，一個(gè)直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1＝8，當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，液面高為________． 【解析】　(1)先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題圖的三視圖可知點(diǎn)M，N的位置如圖①所示． ① ?、? 圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑． ON＝×16＝4，OM＝2， ∴ |MN|＝＝＝2. 故選B. (2)設(shè)底面ABC的面積為S，當(dāng)側(cè)面AA1B1B水平放置時(shí)，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn)，則水的體積為S×8，當(dāng)?shù)酌鍭

3、BC水平放置時(shí)，設(shè)液面高為h，水的體積為Sh，則Sh＝S×8，可得h＝6. 【答案】　(1)B　(2)6 1．由直觀圖確認(rèn)三視圖的方法 根據(jù)空間幾何體三視圖的定義及畫法規(guī)則和擺放規(guī)則確認(rèn)． 2．由三視圖還原到直觀圖的思路 (1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面． (2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置． (3)確定幾何體的直觀圖形狀. 『對(duì)接訓(xùn)練』 1．[2019·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)段考]正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)(如圖)，用過點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)

4、視圖為(　　) 解析：如圖，F(xiàn)為DD1的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，E，C1的平面為平面AEC1F，該平面截去正方體的上半部分后，剩余幾何體的側(cè)視圖為C，故選C. 答案：C 2.[2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]某四面體的三視圖如圖所示，則該四面體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)與最短的棱長(zhǎng)的比值是(　　) A. B. C. D. 解析：在棱長(zhǎng)為2的正方體中還原該四面體PABC如圖所示，其中最短的棱為AB和BC，最長(zhǎng)的棱為PC.因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以AB＝BC＝2，PC＝3，所以該四面體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)與最短的棱長(zhǎng)的比值為，故選D. 答案：D 考點(diǎn)2　空間幾何體的表面積與體積 　空間幾

5、何體的幾組常用公式 (1)柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式： ①S柱側(cè)＝ch(c為底面周長(zhǎng)，h為高)； ②S錐側(cè)＝ch′(c為底面周長(zhǎng)，h′為斜高)； ③S臺(tái)側(cè)＝(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長(zhǎng)，h′為斜高)． (2)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式： ①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)； ②V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)； ③V臺(tái)＝(S＋＋S′)h(不要求記憶)． [例2]　(1)[2019·天津卷]已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為________

6、． (2)[2019·重慶一中調(diào)考]一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4 【解析】　(1)本題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與體積的計(jì)算，考查考生的空間想象能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算． 由題可得，四棱錐底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2，則圓柱底面的半徑為，易知四棱錐的高為＝2，故圓柱的高為1，所以圓柱的體積為π×2×1＝. (2)由幾何體的三視圖可知，該幾何體為半圓柱，直觀圖如圖所示，表面積為2×2＋2××π×12＋π×1×2＝4＋3π，故選D. 【答案】　(1)　(2)D 1．求解幾何

7、體的表面積及體積的技巧 (1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位的考慮，熟記公式是關(guān)鍵．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上． (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的方法，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，易于求解． 2．根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟 (1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀． (2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量． (3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解. 『對(duì)接訓(xùn)練』 3．[2019·江蘇卷]如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的體積是120，E為CC1

8、的中點(diǎn)，則三棱錐E－BCD的體積是________． 解析：本題主要考查空間幾何體的體積，考查考生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算． 因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的體積是120，所以CC1·S四邊形ABCD＝120，又E是CC1的中點(diǎn)，所以三棱錐E－BCD的體積VE－BCD＝EC·S△BCD＝×CC1×S四邊形ABCD＝×120＝10. 答案：10 4．[2019·云南昆明教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)]一個(gè)三棱柱的三視圖如圖所示，則該三棱柱的側(cè)面積為(　　) A．12 B．24 C．12＋ D．24＋2 解析：根據(jù)三視圖可知該三棱柱的直觀圖

9、如圖所示，所以該三棱柱的側(cè)面積S＝×4＝(2×2＋2)×4＝24.故選B. 答案：B 考點(diǎn)3　多面體與球 1．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑． 2．球的表面積和體積公式 ①S球表＝4πR2(R為球的半徑)； ②V球＝πR3(R為球的半徑)． [例3]　[2019·全國(guó)卷Ⅰ]已知三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA

10、＝PB＝PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為(　　) A．8π B．4π C．2π D.π 【解析】　本題主要考查三棱錐的外接球的體積，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算． 方法一　因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PB， 因?yàn)椤螩EF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE. 取AC的中點(diǎn)D，連接BD，PD，易證AC⊥平面BDP， 所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE?平面PAC，所以PB⊥平面PAC， 所以PB⊥PA，PB

11、⊥PC，因?yàn)镻A＝PB＝PC，△ABC為正三角形， 所以PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐P－ABC放在正方體中如圖所示．因?yàn)锳B＝2，所以該正方體的棱長(zhǎng)為，所以該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以三棱錐P－ABC的外接球的半徑R＝，所以球O的體積V＝πR3＝π3＝π，故選D. 方法二　設(shè)PA＝PB＝PC＝2a，則EF＝a， FC＝，∴EC2＝3－a2. 在△PEC中， cos∠PEC＝. 在△AEC中， cos∠AEC＝. ∵∠PEC與∠AEC互補(bǔ)，∴3－4a2＝1，a＝， 故PA＝PB＝PC＝. 又∵AB＝BC＝AC＝2，∴PA⊥PB⊥PC， ∴外接球的直徑

12、2R＝＝， ∴R＝，∴V＝πR3＝π×3＝π. 故選D. 【答案】　D (1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系． (2)球心與截面圓心的連線垂直圓面，其距離為d，常利用直角三角形建立量的關(guān)系，R2＝d2＋r2. 『對(duì)接訓(xùn)練』 5．[2019·河南洛陽尖子生聯(lián)考]四棱錐S－ABCD的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐的體積取得最大值時(shí)，其表面積等于8＋8，則球O的體積等于(　　) A. B. C．16π D.

13、 解析：由題意得，當(dāng)此四棱錐的體積取得最大值時(shí)，四棱錐為正四棱錐．如圖，連結(jié)AC，則球心O為AC的中點(diǎn)，連接SO，設(shè)球O的半徑為R，則AC＝2R，SO＝R，∴AB＝BC＝R.取AB的中點(diǎn)E，連接OE，SE，則OE＝BC＝R，SE＝＝R.∵該四棱錐的體積取得最大值時(shí)，其表面積等于8＋8，∴(R)2＋4××R×R＝8＋8，得R＝2，∴球O的體積為πR3＝.故選A. 答案：A 6．[2019·福建五校第二次聯(lián)考]已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的直徑為________． 解析：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，B1

14、C1的中點(diǎn)為D1，連接DD1，取其中點(diǎn)O′，連接AD，A1D1，則DA＝DB＝DC，D1A1＝D1B1＝D1C1，且DD1垂直于直三棱柱的上、下底面，所以點(diǎn)O′到直三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)O′為直三棱柱的外接球的球心O，連接OB，則球O的直徑為2BO＝2 ＝2＝13. 答案：13 課時(shí)作業(yè)11　空間幾何體 1. [2019·貴州七校聯(lián)考]如圖，四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)(長(zhǎng)方體是虛擬圖形，起輔助作用)，則四面體ABCD的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是(用①②③④⑤⑥代表圖形)(　　) A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤

15、 解析：正視圖是邊長(zhǎng)為3和4的矩形，其對(duì)角線左下到右上是實(shí)線，左上到右下是虛線，因此正視圖是①；側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為5和4的矩形，其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此側(cè)視圖是②；俯視圖是邊長(zhǎng)為3和5的矩形，其對(duì)角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是③.故選B. 答案：B 2．[2019·山東德州聯(lián)考]圓錐被一個(gè)平面截去一部分后與半球組成一個(gè)幾何體，如圖所示是該幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．5π＋4 B．10π＋4 C．14π＋4 D．18π＋4 解析：由三視圖可知該幾何體是由半個(gè)圓錐和半個(gè)球構(gòu)成的，所以幾何體的表面積為×4×2＋×π×

16、22＋×4×π×22＋×2π×＝14π＋4.故選C. 答案：C 3．某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為3π且圓心角為的扇形，此圓錐的體積為(　　) A．π B. C．2π D．2π 解析：設(shè)圓錐的母線為R，底面圓的半徑為r，扇形的圓心角為α，則S＝αR2＝××R2＝3π，解得R＝3，底面圓的半徑r滿足＝，解得r＝1，所以這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)＝＝2，故圓錐的體積V＝πr2h＝，故選B. 答案：B 4．[2019·河南鄭州一中摸底]某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 解析：由三視圖知，該幾何體是如圖所示的四棱錐

17、A－CDEF和三棱錐F－ABC的組合體，由圖知該幾何體最長(zhǎng)的一條棱為AF，AF＝＝2，故選A. 答案：A 5．[2019·安徽安師大附中摸底]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．12 B．18 C．24 D．30 解析：由三視圖知，該幾何體是一個(gè)底面為直角三角形的直三棱柱截去一個(gè)三棱錐后得到的，如圖，該幾何體的體積V＝×4×3×5－××4×3×(5－2)＝24，故選C. 答案：C 6．[2019·開封高三定位考試]某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為(　　) A．4π B．2π C. D．π 解析：

18、由題意知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體為圓柱的一部分，設(shè)底面扇形的圓心角為α，由tan α＝＝，得α＝，故底面面積為××22＝，則該幾何體的體積為×3＝2π. 答案：B 7．[2018·山東、湖北省質(zhì)量檢測(cè)]已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，E為棱BB1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱DD1上靠近D1的四等分點(diǎn)，平面A1EF交棱CC1于點(diǎn)G，則截面A1EGF的面積為(　　) A．2 B．10 C．4 D．2 解析：∵平面A1ADD1∥平面B1BCC1，∴A1F∥EG.同理，A1E∥GF，∴四邊形A1EGF為平行四邊形．如圖，連接EF，取棱DD1的中點(diǎn)K，連接EK，則EK＝＝4

19、，F(xiàn)K＝1，在Rt△FKE中，EF＝＝，在Rt△A1B1E中，A1E＝＝2，在Rt△A1D1F中，A1F＝＝，在△A1EF中，cos∠EA1F＝＝，故sin∠EA1F＝，故截面A1EGF的面積為2××2××＝4，故選C. 答案：C 8．[2019·湖南六校聯(lián)考]如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，且這個(gè)幾何體的體積為8，則x等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)底面是直角梯形的四棱錐(如圖)，體積V＝·x＝8，∴x＝4.故選D. 答案：D 9．[2019·安徽合肥調(diào)研]已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由半圓及矩形組成，

20、俯視圖由正方形及其內(nèi)切圓組成，則該幾何體的表面積為(　　) A．48＋8π B．48＋4π C．64＋8π D．64＋4π 解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半球和一個(gè)直四棱柱的組合體，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知，表面積為4×4×2－π×22＋4×2×4＋×4π×22＝64＋4π，故選D. 答案：D 10．[2019·湖南東部六校聯(lián)考]某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的四個(gè)面中，最大面的面積是(　　) A．4 B．8 C．4 D．8 解析：如圖，設(shè)該三棱錐為P－ABC，其中PA⊥底面ABC，PA＝4，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，故PB＝PC＝4，所以S△ABC

21、＝×4×2＝4，S△PAB＝S△PAC＝×4×4＝8，S△PBC＝×4×＝4，故四個(gè)面中最大面的面積為S△PBC＝4，故選C. 答案：C 11．[2019·廣東深圳調(diào)研]如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，將其沿對(duì)角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD的所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為(　　) A. B．3π C. D．2π 解析：如圖，取BD的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)O，連接AE，OD，EO，AO.因?yàn)锳B＝AD，所以AE⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面B

22、CD.因?yàn)锳B＝AD＝CD＝1，BD＝，所以AE＝，EO＝，所以O(shè)A＝.在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，所以四面體ABCD的外接球的球心為O，半徑為，所以該球的體積V＝π×3＝. 答案：A 12．[2019·河北九校聯(lián)考]已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，該三棱柱的五個(gè)面所在的平面截球面所得的圓大小相同，若球O的表面積為20π，則三棱柱的體積為(　　) A．6 B．12 C．12 D．18 解析：設(shè)球O的半徑為R，則由4πR2＝20π，得R2＝5.由題意知，此三棱柱為正三棱柱，故設(shè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，如圖，取三角形ABC的中心O

23、1，四邊形BCC1B1的中心O2，連接OO1，OA，O2B，O1A，由題意可知，在Rt△AOO1中，OO＋AO＝AO2＝R2，即2＋2＝R2＝5?、?， 又AO1＝BO2，所以AO＝BO，即2＝2＋2?、?， 由①②可得a2＝12，h＝2，所以三棱柱的體積V＝h＝6.故選A. 答案：A 13．[2019·廣東廣州調(diào)研]已知圓錐的底面半徑為1，高為2，點(diǎn)P是圓錐的底面圓周上一點(diǎn)，若一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一圈之后回到點(diǎn)P，則繞行的最短距離是________． 解析：易知圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，如圖，設(shè)展開的扇形AOA′的圓心角為α，易得半徑OA＝3，因?yàn)閳A錐的底面半徑r＝1，所以根

24、據(jù)弧長(zhǎng)公式可得2π＝3α，即扇形的圓心角α＝.連接AA′，作OH⊥AA′，交AA′于點(diǎn)H，則易得∠AOH＝，所以動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)在圓錐側(cè)面上繞一圈之后回到點(diǎn)P的最短距離為所對(duì)的弦長(zhǎng)，即AA′＝2AH＝2×OA×sin∠AOH＝2×3×＝3. 答案：3 14．[2019·陜西寶雞質(zhì)檢]已知A，B，C三點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，OA，OB，OC兩兩垂直，三棱錐O－ABC的體積為，則球O的表面積為________． 解析：設(shè)球O的半徑為R，以球心O為頂點(diǎn)的三棱錐O－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直且都等于球的半徑R，△ABC是邊長(zhǎng)為R的等邊三角形，因此根據(jù)三棱錐的體積公式，得×R2×R＝，∴R＝2，∴S

25、球＝4π×22＝16π. 答案：16π 15．[2019·河北滄州質(zhì)檢]已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC＝2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為________． 解析：如圖，過點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于O.則PO為P到平面ABC的距離． 再過O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接PC，PE，PF，則PE⊥AC，PF⊥BC. 又PE＝PF＝，所以O(shè)E＝OF， 所以CO為∠ACB的平分線， 即∠ACO＝45°. 在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1， 所以O(shè)E＝1，所以PO＝＝＝. 答案： 16．[2019·廣

26、東省七校聯(lián)考]在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則該球半徑的最大值為________． 解析：通解　由題意知，球內(nèi)切于四棱錐P－ABCD時(shí)半徑最大．設(shè)該四棱錐的內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，連接OA，OB，OC，OD，OP，則VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，即×2a×2a×2a＝××r，解得r＝(2－)a. 優(yōu)解　易知當(dāng)球內(nèi)切于四棱錐P－ABCD，即與四棱錐P－ABCD各個(gè)面均相切時(shí)，球的半徑最大．作出相切時(shí)的側(cè)視圖如圖所示，設(shè)四棱錐P－ABCD內(nèi)切球的半徑為r，則×2a×2a＝×(2a＋2a＋2a)×r，解得r＝(2－)a. 答案：(2－)a - 18 -