（全國(guó)通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 板塊四 考前回扣 回扣5 概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)案 文

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1、（全國(guó)通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 板塊四 考前回扣 回扣5 概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)案 文 1．牢記概念與公式 (1)古典概型的概率計(jì)算公式 P(A)＝. (2)互斥事件的概率計(jì)算公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (3)對(duì)立事件的概率計(jì)算公式 P()＝1－P(A)． (4)幾何概型的概率計(jì)算公式 P(A)＝. 2．抽樣方法 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣． (1)從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為. (2)分層抽樣實(shí)際上就是按比例抽樣，即按各層個(gè)體數(shù)占總體的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量． 3．統(tǒng)計(jì)中四個(gè)數(shù)據(jù)特征 (1)眾數(shù)：在樣本數(shù)

2、據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)． (2)中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)． (3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)， 即＝(x1＋x2＋…＋xn)． (4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 標(biāo)準(zhǔn)差： s＝. 4．線性回歸 線性回歸方程＝x＋一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，)． 5．獨(dú)立性檢驗(yàn) 利用隨機(jī)變量K2＝來(lái)判斷“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的方法稱(chēng)為獨(dú)立性檢驗(yàn)．如果K2的觀測(cè)值k越大，說(shuō)明“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的可能性越大． 1．應(yīng)用互斥事件的概率加法公式，一

3、定要注意首先確定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和． 2．正確區(qū)別互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立事件是互斥 事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件． 3．混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯(cuò)． 1．某學(xué)校有男學(xué)生400名，女學(xué)生600名．為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取男學(xué)生40名，女學(xué)生60名進(jìn)行調(diào)查，則這種抽樣方法是(　　) A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法 C．系統(tǒng)抽樣法 D．分層抽樣法 答案

4、　D 解析　總體由男生和女生組成，比例為400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，采用的抽樣方法是分層抽樣法，故選D. 2．200輛汽車(chē)通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，則時(shí)速的眾數(shù)，中位數(shù)的估計(jì)值為(　　) A．62,62.5 B．65,62 C．65,63.5 D．65,65 答案　D 解析　選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點(diǎn)即為眾數(shù)；求出從左邊開(kāi)始小矩形的面積和為0.5對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)即為中位數(shù)．最高的矩形為第三個(gè)矩形，所以時(shí)速的眾數(shù)為65；前兩個(gè)矩形的面積為(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0

5、.5－0.3＝0.2，則×10＝5，∴中位數(shù)為60＋5＝65.故選D. 3．同時(shí)投擲兩枚硬幣一次，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是(　　) A．“至少有1個(gè)正面朝上”，“都是反面朝上” B．“至少有1個(gè)正面朝上”，“至少有1個(gè)反面朝上” C．“恰有1個(gè)正面朝上”，“恰有2個(gè)正面朝上” D．“至少有1個(gè)反面朝上”，“都是反面朝上” 答案　C 解析　同時(shí)投擲兩枚硬幣一次，在A中，“至少有1個(gè)正面朝上”和“都是反面朝上”不能同時(shí)發(fā)生，且“至少有1個(gè)正面朝上”不發(fā)生時(shí)，“都是反面朝上”一定發(fā)生，故A中兩個(gè)事件是對(duì)立事件；在B中，當(dāng)兩枚硬幣恰好一枚正面朝上，一枚反面朝上時(shí)，“至少有1個(gè)正面朝上

6、”，“至少有1個(gè)反面朝上”能同時(shí)發(fā)生，故B中兩個(gè)事件不是互斥事件；在C中，“恰有1個(gè)正面朝上”，“恰有2個(gè)正面朝上”不能同時(shí)發(fā)生，且其中一個(gè)不發(fā)生時(shí)，另一個(gè)有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生，故C中的兩個(gè)事件是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件；在D中，當(dāng)兩枚硬幣同時(shí)反面朝上時(shí)，“至少有1個(gè)反面朝上”，“都是反面朝上”能同時(shí)發(fā)生，故D中兩個(gè)事件不是互斥事件．故選C. 4．采用系統(tǒng)抽樣方法從學(xué)號(hào)為1到50的50名學(xué)生中選取5名參加測(cè)試，則所選5名學(xué)生的學(xué)號(hào)可能是(　　) A．1,2,3,4,5 B．5,26,27,38,49 C．2,4,6,8,10 D．5,15,25,35,45 答案　D 解析　

7、采用系統(tǒng)抽樣的方法時(shí)，即將總體分成均衡的若干部分，分段的間隔要求相等，間隔一般為總體的個(gè)數(shù)除以樣本容量，據(jù)此即可得到答案．采用系統(tǒng)抽樣間隔為＝10，只有D答案中的編號(hào)間隔為10.故選D. 5．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿?　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　甲不輸?shù)母怕蕿椋?故選A. 6．A是圓上固定的一定點(diǎn)，在圓上其他位置任取一點(diǎn) B，連接A，B兩點(diǎn)，它是一條弦，它的長(zhǎng)度大于等于半徑長(zhǎng)度的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　在圓上其他位置任取一點(diǎn)B，設(shè)圓的半徑為R，則B點(diǎn)位置所有情

8、況對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為圓的周長(zhǎng)2πR，其中滿(mǎn)足條件AB的長(zhǎng)度大于等于半徑長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為·2πR，則弦AB的長(zhǎng)度大于等于半徑長(zhǎng)度的概率P＝＝.故選A. 7．投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則復(fù)數(shù)(m＋ni)(n－mi)為實(shí)數(shù)的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　投擲兩顆骰子，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記作(m，n)，共有6×6＝36(種)結(jié)果．(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i為實(shí)數(shù)，應(yīng)滿(mǎn)足m＝n，有6種情況， 所以所求概率為＝，故選C. 8．一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中任意取出一個(gè)球，取出后

9、不放回，然后再?gòu)拇腥我馊〕鲆粋€(gè)球，則第一次為白球、第二次為黑球的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　設(shè)3個(gè)白球分別為a1，a2，a3,2個(gè)黑球分別為b1，b2，則先后從中取出2個(gè)球的所有可能結(jié)果為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20種．其中滿(mǎn)足第一次為白球、第二次為黑球的

10、有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6種，故所求概率為＝. 9．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶(hù)家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表： 收入x(萬(wàn)元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(萬(wàn)元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得線性回歸方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶(hù)年收入為15萬(wàn)元的家庭的年支出為(　　) A．11.4萬(wàn)元 B．11.8萬(wàn)元 C．12.0萬(wàn)元 D．12.2萬(wàn)元 答案　B 解析　由題意知

11、，＝＝10， ＝＝8， ∴ ＝8－0.76×10＝0.4， ∴線性回歸方程 ＝0.76x＋0.4， ∴當(dāng)x＝15時(shí)， ＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬(wàn)元)． 10．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點(diǎn)的概率為(　　) A．1－ B．1－ C．1－ D．1－ 答案　B 解析　由函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零點(diǎn)， 可得Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0， 整理得a2＋b2≥π2， 如圖所示， (a，b)可看成坐標(biāo)平面上的點(diǎn)， 試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絳(a，b)|－π≤a

12、≤π，－π≤b≤π}， 其面積SΩ＝(2π)2＝4π2. 事件A表示函數(shù)f(x)有零點(diǎn)， 所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}， 即圖中陰影部分，其面積為SM＝4π2－π3， 故P(A)＝＝＝1－，故選B. 11．某班運(yùn)動(dòng)隊(duì)由足球運(yùn)動(dòng)員18人、籃球運(yùn)動(dòng)員12人、乒乓球運(yùn)動(dòng)員6人組成(每人只參加一項(xiàng))，現(xiàn)從這些運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為n的樣本，若分別采用系統(tǒng)抽樣法和分層抽樣法，則都不用剔除個(gè)體；當(dāng)樣本容量為n＋1時(shí)，若采用系統(tǒng)抽樣法，則需要剔除1個(gè)個(gè)體，那么樣本容量n為_(kāi)_______． 答案　6 解析　總體容量為6＋12＋18＝36.當(dāng)樣本容量為n時(shí)，由題意可知，系

13、統(tǒng)抽樣的抽樣距為，分層抽樣的抽樣比是，則采用分層抽樣法抽取的乒乓球運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為6×＝，籃球運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為12×＝，足球運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為18×＝，可知n應(yīng)是6的倍數(shù)，36的約數(shù)，故n＝6,12,18.當(dāng)樣本容量為n＋1時(shí)，剔除1個(gè)個(gè)體，此時(shí)總體容量為35，系統(tǒng)抽樣的抽樣距為，因?yàn)楸仨毷钦麛?shù)，所以n只能取6，即樣本容量n為6. 12．已知樣本9,10,11，x，y的平均數(shù)是10，標(biāo)準(zhǔn)差是，則xy＝________. 答案　96 解析　根據(jù)平均數(shù)及方差的計(jì)算公式，可得9＋10＋11＋x＋y＝10×5，即x＋y＝20，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差為，方差為2， 所以[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2

14、＋(x－10)2＋(y－10)2]＝2，即(x－10)2＋(y－10)2＝8， 解得x＝8，y＝12或x＝12，y＝8，則xy＝96. 13．已知x，y的取值如表所示： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 從散點(diǎn)圖分析，y與x線性相關(guān)，且＝0.95x＋，則＝________. 答案　2.6 解析　根據(jù)表中數(shù)據(jù)得＝2，＝4.5，又由線性回歸方程知，其斜率為0.95， ∴截距＝4.5－0.95×2＝2.6. 14．在區(qū)間[1,5]和[2,4]內(nèi)分別取一個(gè)數(shù)，記為a，b，則方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為_(kāi)_______．

15、 答案　 解析　當(dāng)方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓時(shí)， 有 即化簡(jiǎn)得 又a∈[1,5]，b∈[2,4]，畫(huà)出滿(mǎn)足不等式組的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，求得陰影部分面積為 S陰影＝×(1＋3)×2－×1×＝. 故P＝＝. 15．如圖是某市2017年3月1日至16日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染． (1)若某人隨機(jī)選擇3月1日至3月14日中的某一天到達(dá)該市，到達(dá)后停留3天(到達(dá)當(dāng)日算1天)，求此人停留期間空氣重度污染的天數(shù)為1的概率； (2)若某人隨機(jī)選擇3月7日至3月12日中的

16、2天到達(dá)該市，求這2天中空氣質(zhì)量恰有1天是重度污染的概率． 解　(1)設(shè)Ai表示事件“此人于3月i日到達(dá)該市”(i＝1,2，…，14)． 依題意知，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝?(i≠j)． 設(shè)B為事件“此人停留期間空氣重度污染的天數(shù)為1”，則B＝A3∪A5∪A6∪A7∪A10， 所以P(B)＝P(A3)∪P(A5)∪P(A6)∪P(A7)∪P(A10)＝， 即此人停留期間空氣重度污染的天數(shù)為1的概率為. (2)記3月7日至3月12日中重度污染的2天為E，F(xiàn)，另外4天記為a，b，c，d，則6天中選2天到達(dá)的基本事件如下：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，E)，(a，F(xiàn))，(

17、b，c)，(b，d)，(b，E)，(b，F(xiàn))，(c，d)，(c，E)，(c，F(xiàn))，(d，E)，(d，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種，其中2天恰有1天是空氣質(zhì)量重度污染包含(a，E)，(a，F(xiàn))，(b，E)，(b，F(xiàn))，(c，E)，(c，F(xiàn))，(d，E)，(d，F(xiàn))這8個(gè)基本事件，故所求事件的概率為. 16．(2017·全國(guó)Ⅱ)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg，估計(jì)A的概率； (2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的

18、把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)； 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 總計(jì) 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 總計(jì) (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較． 附： P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 K2＝. 解　(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A的概率估計(jì)值為0.62. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 總計(jì) 舊養(yǎng)殖法 62 38 100 新養(yǎng)殖法 34 66 100 總計(jì) 96 104 200 K2的觀測(cè)值k＝≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． (3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．