（魯京遼）2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.2.3 第2課時 平面與平面垂直學案 新人教B版必修2

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1、（魯京遼）2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.2.3 第2課時 平面與平面垂直學案 新人教B版必修2 學習目標　1.理解面面垂直的定義，并能畫出面面垂直的圖形.2.掌握面面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，并能進行空間垂直的相互轉(zhuǎn)化.3.掌握面面垂直的證明方法，并能在幾何體中應用． 知識點一　平面與平面垂直的定義 1．條件：如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直． 2．結(jié)論：兩個平面互相垂直． 3．記法：平面α，β互相垂直，記作α⊥β. 知識點二　平面與平面垂直的判定定理 思考　建筑工人常在一根細線上拴一個重物

2、，做成“鉛錘”，用這種方法來檢查墻與地面是否垂直．當掛鉛錘的線從上面某一點垂下時，如果墻壁貼近鉛錘線，則說明墻和地面什么關(guān)系？此時鉛錘線與地面什么關(guān)系？ 答案　都是垂直． 梳理　平面與平面垂直的判定定理 文字語言 如果一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面互相垂直 圖形語言 符號語言 a⊥α，a?β?α⊥β 知識點三　平面與平面垂直的性質(zhì)定理 思考　黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？ 答案　容易發(fā)現(xiàn)墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直，因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線，則所畫直線必與地面垂直． 梳理　 文字語言 圖

3、形語言 符號語言 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 α⊥β，α∩β＝CD，BA?α， BA⊥CD，B為垂足?BA⊥β 1．若l⊥α，則過l有無數(shù)個平面與α垂直．(　√　) 2．若平面α⊥平面β，任取直線l?α，則必有l(wèi)⊥β.(　×　) 3．已知兩個平面垂直，過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面． (　×　) 類型一　面面垂直的判定 例1　如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上，求證：平面AEC⊥平面PDB. 證明　設AC∩BD＝O，連接OE， ∵

4、AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD為平面PDB內(nèi)兩條相交直線， ∴AC⊥平面PDB. 又∵AC?平面AEC， ∴平面AEC⊥平面PDB. 反思與感悟　應用判定定理證明平面與平面垂直的基本步驟 跟蹤訓練1　如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝AA1，D是棱AA1的中點．證明：平面BDC1⊥平面BDC. 證明　由題設知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C， 所以BC⊥平面ACC1A1. 又DC1?平面ACC1A1，所以DC1⊥BC. 由題設知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°， 即DC1⊥DC.又DC∩B

5、C＝C，所以DC1⊥平面BDC. 又DC1?平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面BDC. 類型二　面面垂直的性質(zhì)定理及應用 例2　如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求證：BC⊥AB. 證明　如圖，在平面PAB內(nèi)， 作AD⊥PB于D. ∵平面PAB⊥平面PBC， 且平面PAB∩平面PBC＝PB. ∴AD⊥平面PBC. 又BC?平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB?平面PAB，∴BC⊥AB. 反思與感悟　證明線面垂直，一種方法是利用線

6、面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理．本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理．利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：(1)兩個平面垂直．(2)直線必須在其中一個平面內(nèi)．(3)直線必須垂直于它們的交線． 跟蹤訓練2　如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點． 求證：(1)BG⊥平面PAD； (2)AD⊥PB. 證明　(1)平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°

7、， ∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. ∴BG⊥平面PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.又BG∩PG＝G， ∴AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG， ∴AD⊥PB. 類型三　垂直關(guān)系的綜合應用 例3　如圖所示，△ABC為正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M，N分別是AE，AC的中點，求證： (1)DE＝DA； (2)平面BDMN⊥平面ECA； (3)平面DEA⊥平面ECA. 解　(1)取CE的中點F，連接DF，易知DF∥BC， 因為CE⊥平面ABC， 所以CE⊥BC，所以CE⊥DF. 因為BD∥CE，所以BD⊥平

8、面ABC， 所以BD⊥AB. 在Rt△EFD和Rt△DBA中， 因為EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB， 所以Rt△EFD≌Rt△DBA， 所以DE＝DA. (2)因為EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN， 因為△ABC為正三角形，所以BN⊥AC. 因為EC∩AC＝C， 所以BN⊥平面ECA. 又因為BN?平面BDMN， 所以平面BDMN⊥平面ECA. (3)因為M，N分別是AE，AC的中點， 所以MN綊CF綊BD，所以四邊形MNBD是平行四邊形， 所以DM∥BN， 由(2)知BN⊥平面ECA， 所以DM⊥平面ECA. 又因為DM?平面DEA， 所以平面DEA⊥

9、平面ECA. 反思與感悟　在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下： 跟蹤訓練3　如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點，求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 證明　(1)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD. (2)∵AB∥CD，AB⊥

10、AD，CD＝2AB，E和F分別是CD和PC的中點，故四邊形ABED為平行四邊形，故有BE∥AD. 又AD?平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD. (3)在平行四邊形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED為矩形，故有BE⊥CD.① 由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD， ∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD. 再由E、F分別為CD和PC的中點，可得EF∥PD， ∴CD⊥EF.② 而EF和BE是平面BEF內(nèi)的兩條相交直線，故有CD⊥平面BEF. 由于CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD. 1．下列四個命題 ①垂直于同一條直

11、線的兩條直線相互平行； ②垂直于同一個平面的兩條直線相互平行； ③垂直于同一條直線的兩個平面相互平行； ④垂直于同一個平面的兩個平面相互平行． 其中錯誤的命題有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 答案　B 解析　①垂直于同一條直線的兩條直線相互平行，不正確，如正方體的一個頂角的三個邊就不成立；②垂直于同一個平面的兩條直線相互平行，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知正確；③垂直于同一條直線的兩個平面相互平行，根據(jù)面面平行的判定定理可知正確；④垂直于同一個平面的兩個平面相互平行，不正確，如正方體相鄰的三個面就不成立．故選B. 2．如圖，設P是正方形ABCD外一點，且PA

12、⊥平面ABCD，則平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是(　　) A．平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直 B．它們兩兩垂直 C．平面PAB與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直 D．平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直 答案　A 解析　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC. 又BC⊥AB，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面PAB，∵BC?平面PBC， ∴平面PBC⊥平面PAB. 由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A， 得AD⊥平面PAB. ∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB. 由已知易得平面PBC與平面PAD不垂直，故選A. 3．如圖，

13、在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC內(nèi)的正投影H必在(　　) A．直線AB上 B．直線BC上 C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部 答案　A 解析　在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD. 又∵AC?平面ABC， ∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB， D在面ABC內(nèi)的射影H必在AB上． 故選A. 4．如圖所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝________. 答案　6 解析　∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD， ∴A

14、F∥DE. 又AF＝DE，∴四邊形AFED為平行四邊形， 故EF＝AD＝6. 5．如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC⊥平面ABCD，E為SA的中點． 求證：平面EBD⊥平面ABCD. 證明　連接AC與BD交于O點，連接OE. ∵O為AC的中點，E為SA的中點， ∴EO∥SC. ∵SC⊥平面ABCD， ∴EO⊥平面ABCD. 又∵EO?平面EBD， ∴平面EBD⊥平面ABCD. 1．面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學中的化歸轉(zhuǎn)化思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下： 2．運用平面垂直的

15、性質(zhì)定理時，一般需要作鋪助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直． 一、選擇題 1．設α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，則下列說法正確的是(　　) A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥m C．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m 答案　A 解析　∵l⊥β，l?α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正確． 2．如果直線l，m與平面α，β，γ滿足：β∩γ＝l，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有(　　) A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α

16、∥β且α⊥γ 答案　A 解析　B錯，有可能m與β相交；C錯，可能m與β相交；D錯，有可能α與β相交． 3．下列命題中正確的是(　　) A．平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β B．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條平行直線，則α⊥β C．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的兩條相交直線，則α⊥β D．若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線，則α⊥β 答案　C 解析　當平面α和β分別過兩條互相垂直且異面的直線時，平面α和β有可能平行，故A錯；由直線與平面垂直的判定定理知，B、D錯，C正確． 4.如圖，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，則圖中互相垂直的平面有

17、(　　) A．1對 B．2對 C．3對 D．5對 答案　D 解析　∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB. 同理BC⊥平面PAB， 又AB⊥平面PAD， ∴DC⊥平面PAD， ∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5對． 5．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成幾何體A－BCD，則在幾何體A－BCD中，下列結(jié)論正確的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平

18、面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 答案　D 解析　由已知得BA⊥AD，CD⊥BD， 又平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴CD⊥平面ABD， 從而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC. 又AB?平面ABC， ∴平面ABC⊥平面ADC. 6．下列命題中錯誤的是(　　) A．如果α⊥β，那么α內(nèi)所有直線都垂直于平面β B．如果α⊥β，那么α內(nèi)一定存在直線平行于平面β C．如果α不垂直于平面β，那么α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β D．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ 答案　A 解析　若α⊥β，則α內(nèi)必有垂直

19、于β的直線，并非α內(nèi)所有直線都垂直于β，A錯． 7．過兩點與一個已知平面垂直的平面(　　) A．有且只有一個 B．有無數(shù)個 C．有且只有一個或無數(shù)個 D．可能不存在 答案　C 解析　設兩點為A，B，平面為α，若直線AB⊥α，則過A，B與α垂直的平面有無數(shù)個；若直線AB與α不垂直，即直線AB與α平行、相交但不垂直或在平面α內(nèi)，均存在唯一平面垂直于已知平面． 8．在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC 答案　

20、C 解析　如圖所示，∵BC∥DF， ∴BC∥平面PDF，∴A正確． 由BC⊥PE，BC⊥AE， 得BC⊥平面PAE， ∴DF⊥平面PAE，∴B正確． ∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)， ∴D正確． 二、填空題 9.如圖，A，B，C，D為空間四點，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等邊三角形ADB以AB為軸運動，當平面ADB⊥平面ABC時，則CD＝________. 答案　2 解析　如圖，取AB的中點E，連接DE，CE， 因為△ADB是等邊三角形， 所以DE⊥AB. 當平面ADB⊥平面ABC時， 因為平面ADB∩平面ABC＝AB， 所以

21、DE⊥平面ABC. 又CE?平面ABC 可知DE⊥CE. 由已知可得DE＝，EC＝1， 在Rt△DEC中，CD＝＝2. 10．如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，則線段MN的長為________． 答案　 解析　取CD的中點G，連接MG，NG，因為ABCD，DCEF為正方形，且邊長為2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝. 因為平面ABCD⊥平面DCEF， 所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝＝. 11.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面

22、各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為是正確的條件即可) 答案　DM⊥PC(或BM⊥PC等) 解析　由定理可知，BD⊥PC. ∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD， 而PC?平面PCD， ∴平面MBD⊥平面PCD. 三、解答題 12.如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點，點D在B1C1上，A1D⊥B1C1. 求證：(1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C. 證明　(1)由E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點知EF∥BC. 因為

23、EF?平面ABC，BC?平面ABC. 所以EF∥平面ABC. (2)由三棱柱ABC—A1B1C1為直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1. 又A1D?平面A1B1C1， 故CC1⊥A1D. 又因為A1D⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1， 故A1D⊥平面BB1C1C， 又A1D?平面A1FD， 所以平面A1FD⊥平面BB1C1C. 13.如圖，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E點為垂足． (1)求證：PA⊥平面ABC； (2)當E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形． 證明　(1)在△ABC內(nèi)取一點D，作DF⊥AC于點F，

24、 因為平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC， 所以DF⊥平面PAC，又PA?平面PAC，所以DF⊥AP. 作DG⊥AB于點G， 同理可證DG⊥AP. 因為DG、DF都在平面ABC內(nèi)，且DG∩DF＝D， 所以PA⊥平面ABC. (2)連接BE并延長，交PC于點H. 因為E是△PBC的垂心，所以PC⊥BE. 又已知AE是平面PBC的垂線，所以PC⊥AE. 又BE∩AE＝E，所以PC⊥平面ABE. 因為AB?平面ABE，所以PC⊥AB. 又因為PA⊥平面ABC，AB?平面ABC， 所以PA⊥AB. 又PC∩PA＝P，所以AB⊥平面PAC. 又AC?平面PAC，所以A

25、B⊥AC， 即△ABC是直角三角形． 四、探究與拓展 14．如圖所示，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點．有以下四個命題：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正確的命題是________．(填上所有正確命題的序號) 答案?、冖? 解析　因為PA?平面MOB，所以①不正確；因為MO∥PA，而且MO?平面PAC，所以②正確；OC不垂直于AC，所以③不正確；因為BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正確． 15.

26、如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求證：DC⊥平面PAC； (2)求證：平面PAB⊥平面PAC； (3)設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由． (1)證明　∵PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD， ∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC?平面PAC，AC?平面PAC，∴DC⊥平面PAC. (2)證明　∵AB∥CD，CD⊥平面PAC， ∴AB⊥平面PAC， 又∵AB?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAC. (3)解　棱PB上存在點F，使得PA∥平面CEF. 證明如下： 取PB的中點F，連接EF，CE，CF，又∵E為AB的中點，∴EF為△PAB的中位線，∴EF∥PA.又PA?平面CEF，EF?平面CEF，∴PA∥平面CEF.