2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 解析幾何初步 2-2-1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 北師大版必修2

《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 解析幾何初步 2-2-1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 北師大版必修2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 解析幾何初步 2-2-1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案 北師大版必修2（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2．1　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1．確定圓的條件 圓的幾何特征是圓上任一點(diǎn)到圓心的距離等于定長，這個(gè)定長稱為半徑，一個(gè)圓的圓心位置和半徑一旦給定，這個(gè)圓就被確定下來了． 2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 已知圓的圓心為(a，b)，半徑為r，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 特別地，圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝r2. 　判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)獨(dú)立的條件，即圓心的橫、縱坐標(biāo)及半徑．(　　) (2)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝r2.(　　) (3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓內(nèi)

2、、點(diǎn)在圓上和點(diǎn)在圓外．(　　) (4)圓(x＋1)2＋(y－2)2＝m(m＞0)的圓心坐標(biāo)為(－1,2)，半徑為m.(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 題型一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 【典例1】　已知點(diǎn)A(1,2)不在圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [思維導(dǎo)引]　不在圓的內(nèi)部，即在圓上或在圓外，即到圓心的距離大于等于半徑． [解]　由題意，點(diǎn)A在圓C上或圓C的外部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2， ∴2a＋5≥0，∴a≥－，又a≠0， ∴a的取值范圍是∪(0，＋∞)． 判斷點(diǎn)P(x0，y0)與圓(

3、x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系有幾何法與代數(shù)法兩種，對(duì)于幾何法，主要是利用點(diǎn)與圓心的距離與半徑比較大?。? 對(duì)于代數(shù)法，主要是把點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，具體判斷方法如下： (1)當(dāng)(x0－a)2＋(y0－b)2r2時(shí)，點(diǎn)在圓外． [針對(duì)訓(xùn)練1]　點(diǎn)P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是(　　) A．在圓外　　　　　　B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定 [解析]　把點(diǎn)P(m2,5)代入圓的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故點(diǎn)P

4、在圓外． [答案]　A 題型二求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【典例2】　求過點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． [思路導(dǎo)引]　由已知該圓圓心為線段AB的垂直平分線與直線x＋y－2＝0的交點(diǎn)，可通過解方程組求出圓心坐標(biāo)． [解]　解法一：設(shè)點(diǎn)C為圓心， ∵點(diǎn)C在直線x＋y－2＝0上， ∴可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,2－a)． 又∵該圓經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，∴|CA|＝|CB|. ∴＝， 解得a＝1. ∴圓心坐標(biāo)為C(1,1)，半徑長r＝|CA|＝2. 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. 解法二：由已知可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，

5、kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分線的斜率為k＝1，所以AB的垂直平分線的方程為y－0＝1·(x－0)，即y＝x.則圓心是直線y＝x與x＋y－2＝0的交點(diǎn)， 由得即圓心為(1,1)，圓的半徑為＝2， 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4. 直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，一般先從確定圓的兩個(gè)要素入手，即首先求出圓心坐標(biāo)和半徑，然后直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． [針對(duì)訓(xùn)練2]　(1)以兩點(diǎn)A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25

6、 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25 (2)與y軸相切，且圓心坐標(biāo)為(－5，－3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________________． [解析]　(1)∵AB為直徑， ∴AB的中點(diǎn)(1,2)為圓心， 半徑為|AB|＝＝5， ∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25. (2)∵圓心坐標(biāo)為(－5，－3)，又與y軸相切， ∴該圓的半徑為5, ∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. [答案]　(1)D　(2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 題型三圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 【典例3】　已知隧道的截面是半徑為4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，

7、一輛寬為2.7 m，高為3 m的貨車能不能駛?cè)脒@個(gè)隧道？ [思路導(dǎo)引]　首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題． [解]　以某一截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓的直徑AB所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，那么半圓的方程為x2＋y2＝16(y≥0)． 　 將x＝2.7代入，得 y＝＝<3. 即在離中心線2.7 m處，隧道的高度低于貨車的高度．因此，貨車不能駛?cè)脒@個(gè)隧道． [引申探究]　一輛卡車寬1.6 m要經(jīng)過半徑為3.6 m的半圓形隧道，則這輛卡車的平頂車篷頂距地面的高度不得超過(　　) A．1.4 m　　B．3.5 m　　C．3.6 m　　D．2.0 m [解析]　

8、 如圖，建立直角坐標(biāo)系，則半圓方程為x2＋y2＝3.62(y≥0)，當(dāng)x＝0.8時(shí)，y＝≈3.5(m)．故選擇B. [答案]　B 　求曲線方程的一般步驟 (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用(x，y) 表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)； (2)寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合P＝{M|p(M)}； (3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0為最簡形式； (5)證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)． [針對(duì)訓(xùn)練3]　△ABC的頂點(diǎn)為A(4,0)，B(0,4)，C(0,0)，則△ABC的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)是(　　) A．2－4

9、B．4－2 C．4＋2 D．4 [解析]　設(shè)△ABC內(nèi)切圓圓心為O(x，y)，半徑為r，△ABC為直角三角形， ∴x＝r＝(|AC|＋|BC|－|AB|) ＝(4＋4－4)＝4－2， 故△ABC內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為4－2. 故應(yīng)選B. [答案]　B 1．圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 [解析]　由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9. [答案]　D 2．若圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2過原

10、點(diǎn)，則(　　) A．a(chǎn)2＋b2＝0 B．a(chǎn)2＋b2＝r2 C．a(chǎn)2＋b2＋r2＝0 D．a(chǎn)＝0，b＝0 [解析]　由題意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2. [答案]　B 3．圓x2＋y2＝1上的點(diǎn)到點(diǎn)M(3,4)的距離的最小值是(　　) A．1 B．4 C．5 D．6 [解析]　圓心(0,0)到M的距離|OM|＝＝5，所以所求最小值為5－1＝4. [答案]　B 4．若直線y＝ax＋b通過第一、二、四象限，則圓(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圓心位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析]　(－a，－b)為圓的

11、圓心，由直線經(jīng)過第一、二、四象限，得a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)得解，D正確． [答案]　D 課后作業(yè)(二十三) (時(shí)間45分鐘) 學(xué)業(yè)水平合格練(時(shí)間20分鐘) 1．圓(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圓心與半徑分別為(　　) A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2 C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4 [答案]　A 2．已知一圓的圓心為點(diǎn)A(2，－3)，一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)

12、2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 [解析]　如圖，結(jié)合圓的性質(zhì)可知，原點(diǎn)在圓上， 圓的半徑為r＝＝. 故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝13. [答案]　B 3．圓(x－3)2＋(y＋4)2＝1關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的圓的方程是(　　) A．(x＋3)2＋(y－4)2＝1 B．(x－4)2＋(y＋3)2＝1 C．(x＋4)2＋(y－3)2＝1 D．(x－3)2＋(y－4)2＝1 [解析]　圓心(3，－4)關(guān)于直線x＋y＝0的對(duì)稱點(diǎn)為(4，－3)， ∴所求圓的方程為(x－4)2＋(y＋3)2＝1，故選B. [答案]　B 4．點(diǎn)(5a＋1

13、,12a)在圓(x－1)2＋y2＝1的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．|a|＜1 B．a(chǎn)＜ C．|a|＜ D．|a|＜ [解析]　依題意有(5a)2＋144a2＜1， 所以169a2＜1， 所以a2＜，即|a|＜，故選D. [答案]　D 5．方程y＝表示的曲線是(　　) A．一條射線 B．一個(gè)圓 C．兩條射線 D．半個(gè)圓 [解析]　由y＝知，y≥0，兩邊平方移項(xiàng)，得x2＋y2＝9.∴選D. [答案]　D 6．圓O的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25，則點(diǎn)(2,3)到圓上的最大距離為________． [解析]　點(diǎn)(2,3)與圓心連線的延長線與圓的交點(diǎn)到點(diǎn)(

14、2,3)的距離最大，最大距離為點(diǎn)(2,3)到圓心(3,4)的距離加上半徑長5，即為5＋. [答案]　5＋ 7．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________________． [解析]　∵圓心在第一象限，而且與x軸相切， ∴可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,1)， 則圓心到直線4x－3y＝0的距離為1， 即＝1，得a＝2或a＝－(舍去)， ∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1. [答案]　(x－2)2＋(y－1)2＝1 8．若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＝1，則的最小值是________． [解析]　的幾何意義是

15、兩點(diǎn)(x，y)與(1,2)連線的斜率，而點(diǎn)(x，y)在圓x2＋y2＝1上， 過點(diǎn)P(1,2)作圓的切線， 由圖知PA的斜率不存在，PB的斜率存在，則PB的斜率即為所求． ∴設(shè)PB的方程為y－2＝k(x－1)，得kx－y－k＋2＝0. 又∵PB和圓相切， ∴＝1，得k＝. ∴的最小值是. [答案]　 9．已知圓C：(x－5)2＋(y－6)2＝10，試判斷點(diǎn)M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)與圓C的位置關(guān)系． [解]　圓心C(5,6)，半徑r＝. |CM|＝＝， |CN|＝＝>， |CQ|＝＝3<. 因此點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在圓外，點(diǎn)Q在圓內(nèi)． 10．已知直線l與圓C

16、相交于點(diǎn)P(1,0)和點(diǎn)Q(0,1)． (1)求圓心所在的直線方程； (2)若圓C的半徑為1，求圓C的方程． [解]　(1)PQ的方程為x＋y－1＝0， PQ中點(diǎn)M，kPQ＝－1， 所以圓心所在的直線方程為y＝x. (2)由條件設(shè)圓的方程為：(x－a)2＋(y－b)2＝1. 由圓過P，Q點(diǎn)得： 解得或 所以圓C方程為：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1. 應(yīng)試能力等級(jí)練(時(shí)間25分鐘) 11．設(shè)P(x，y)是圓C：(x－2)2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為(　　) A．6　　　B．25 C．26　　　D．36 [解析]　(x

17、－5)2＋(y＋4)2的幾何意義是點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)Q(5，－4)的距離的平方． 因?yàn)辄c(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝1上，且點(diǎn)Q在圓外， 所以其最大值為(|QC|＋1)2＝36. [答案]　D 12．已知實(shí)數(shù)x，y滿足y＝，則t＝的取值范圍是________． [解析]　y＝表示上半圓，t可以看作動(dòng)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(－1，－3)連線的斜率．如圖： A(－1，－3)，B(3,0)，C(－3,0)，則kAB＝， kAC＝－，∴t≤－或t≥. [答案]　t≤－或t≥ 13．已知x，y滿足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值為________，最小值為________． [解析]

18、　因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y)是圓x2＋(y＋4)2＝4上的任意一點(diǎn)，所以表示點(diǎn)A(－1，－1)與該圓上點(diǎn)的距離．因?yàn)?－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以點(diǎn)A(－1，－1)在圓外，如圖所示．設(shè)圓心為C，則 |AC|＝＝， 所以的最大值為|AC|＋r＝＋2，最小值為|AC|－r＝－2. [答案]?。?　 14．已知以點(diǎn)C為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A(－1,0)和B(3,4)，且圓心在直線x＋3y－15＝0上． (1)求圓C的方程； (2)設(shè)點(diǎn)P在圓C上，求△PAB面積的最大值． [解]　(1)AB的垂直平分線方程為x＋y－3＝0， 由解得 ∴圓心C(－3,6)，半徑r＝＝2，∴圓C的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40. (2)|AB|＝＝4， 直線AB的方程為x－y＋1＝0. ∴圓心C到直線AB的距離d＝＝4. ∵點(diǎn)P在圓C上，∴點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為 d＋r＝4＋2， ∴△PAB面積的最大值為×|AB|×(4＋2)＝×4×(4＋2)＝16＋8. 11