（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.6 棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積學(xué)案 新人教B版必修2

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1、（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.1.6 棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積學(xué)案 新人教B版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積的概念，了解它們的側(cè)面展開圖.2.掌握直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的表面積公式，并會(huì)求它們的表面積.3.掌握球的表面積公式并會(huì)求球的表面積． 知識(shí)點(diǎn)　直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)和旋轉(zhuǎn)體的表面積 幾何體 側(cè)面積公式 表面積(全面積) 直棱柱 S直棱柱側(cè)＝ch 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積＝側(cè)面積＋底面積 正棱錐 S正棱錐側(cè)＝ch′ 正棱臺(tái) S正棱臺(tái)側(cè)＝(c＋c′)h′ 圓柱 S圓柱側(cè)＝2πRh 圓錐 S

2、圓錐側(cè)＝πRl 球 S球＝4πR2 其中c′，c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表示高，h′表示斜高，R表示球的半徑． 1．多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和．(　√　) 2．斜三棱柱的側(cè)面積也可以用cl來求解，其中l(wèi)為側(cè)棱長(zhǎng)，c為底面周長(zhǎng)．(　×　) 3．球的表面積等于它的大圓面積的2倍．(　×　) 類型一　柱、錐、臺(tái)的側(cè)(表)面積 命題角度1　多面體的側(cè)(表)面積 例1　現(xiàn)有一個(gè)底面是菱形的直四棱柱，它的體對(duì)角線長(zhǎng)為9和15，高是5，求該直四棱柱的側(cè)面積． 解　如圖，設(shè)底面對(duì)角線AC＝a，BD＝b，交點(diǎn)為O，對(duì)角線A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52

3、＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵該直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝2＋2＝＝＝64， ∴AB＝8. ∴直四棱柱的側(cè)面積為4×8×5＝160. 反思與感悟　多面體表面積的求解方法 (1)棱錐、棱臺(tái)的表面積為其側(cè)面積與底面積之和，底面積根據(jù)平面幾何知識(shí)求解，求側(cè)面積的關(guān)鍵是求斜高和底面周長(zhǎng)． (2)斜高、側(cè)棱及其在底面的射影與高、底面邊長(zhǎng)等，往往可以構(gòu)成直角三角形(或梯形)，利用好這些直角三角形(或梯形)是解題的關(guān)鍵． 跟蹤訓(xùn)練1　已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為3和6，其側(cè)面積等于兩底面面積之和，則該正四棱臺(tái)的高是(　　) A．2 B.

4、C．3 D. 答案　A 解析　如圖，E、E1分別是BC、B1C1的中點(diǎn)，O、O1分別是下、上底面正方形的中心，則O1O為正四棱臺(tái)的高，連接OE、O1E1，作E1H∥O1O， 由題意，得×4＝9＋36， ∴EE1＝， 在Rt△EHE1中，E1H2＝EE－EH2＝－＝4， ∴E1H＝2，∴O1O＝2，故選A. 命題角度2　圓柱與圓錐的側(cè)(表)面積 例2　(1)若圓錐的母線長(zhǎng)為2 cm，底面圓的周長(zhǎng)為2π cm，則圓錐的表面積為________ cm2. 答案　3π 解析　因?yàn)榈酌鎴A的周長(zhǎng)為2π cm，所以底面圓的半徑為1 cm，所以圓錐的底面積為π cm2，圓錐的側(cè)面積為

5、×2×2π＝2π(cm2)，所以圓錐的表面積為3π cm2. (2)已知圓柱與圓錐的高、底面半徑分別相等．若圓柱的底面半徑為r，圓柱的側(cè)面積為S，則圓錐的側(cè)面積為________． 答案　 解析　設(shè)圓柱的高為h，則2πrh＝S，∴h＝. 設(shè)圓錐的母線為l，∴l(xiāng)＝＝ . ∴圓錐的側(cè)面積為πrl＝πr ＝. 反思與感悟　由圓柱、圓錐的側(cè)面積公式可知，要求其側(cè)面積，必須已知(或能求出)它的底面圓的半徑和它的母線長(zhǎng)． 跟蹤訓(xùn)練2　軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的(　　) A．4倍 B．3倍 C.倍 D．2倍 答案　D 解析　設(shè)圓錐底面半徑為

6、r， 由題意知母線長(zhǎng)l＝2r， 則S側(cè)＝πr×2r＝2πr2， ∴＝＝2. 類型二　簡(jiǎn)單組合體的表面積 例3　牧民居住的蒙古包的形狀是一個(gè)圓柱與圓錐的組合體，尺寸如圖所示(單位：m)，請(qǐng)你幫助算出要搭建這樣的一個(gè)蒙古包至少需要多少篷布？(精確到0.01 m2) 解　上部分圓錐體的母線長(zhǎng)為 m，其側(cè)面積為S1＝π××(m2)． 下部分圓柱體的側(cè)面積為S2＝π×5×1.8(m2)． ∴搭建這樣的一個(gè)蒙古包至少需要的篷布為 S＝S1＋S2＝π××＋π×5×1.8 ≈50.05(m2)． 反思與感悟　(1)組合體的側(cè)面積和表面積問題，首先要弄清楚它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成，然后

7、再根據(jù)條件求各個(gè)簡(jiǎn)單組合體的基本量，注意方程思想的應(yīng)用． (2)在實(shí)際問題中，常通過計(jì)算物體的表面積來研究如何合理地用料，如何節(jié)省原材料等，在求解時(shí)應(yīng)結(jié)合實(shí)際，明確實(shí)際物體究竟是哪種幾何體，哪些面計(jì)算在內(nèi)，哪些面實(shí)際沒有． 跟蹤訓(xùn)練3　有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的邊長(zhǎng)分別為3a,4a,5a (a>0)．用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的是一個(gè)四棱柱，求a的取值范圍． 解　兩個(gè)相同的直棱柱拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，有四種情況：四棱柱有一種，邊長(zhǎng)為5a的邊重合在一起，表面積為24a2＋28. 三棱柱有三種，邊長(zhǎng)為4a的邊重合在一起，表面積為24a2＋3

8、2；邊長(zhǎng)為3a的邊重合在一起，表面積為24a2＋36；兩個(gè)相同的直三棱柱豎直放在一起，表面積為12a2＋48. 最小的是一個(gè)四棱柱，即24a2＋28<12a2＋48， 即a2<，又a>0，∴0

9、每條棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖②，2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2. (3)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖③，所以有2r3＝a，r3＝a， 所以S3＝4πr＝3πa2. 綜上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3. 反思與感悟　(1)在處理球和長(zhǎng)方體的組合問題時(shí)，通常先作出過球心且過長(zhǎng)方體對(duì)角面的截面圖，然后通過已知條件求解． (2)球的表面積的考查常以外接球的形式出現(xiàn)，可利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造熟悉的正方體，長(zhǎng)方體等，通過彼此關(guān)系建立關(guān)于球的半徑的等式求解． 跟蹤訓(xùn)練4　已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2

10、，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為________． 答案　π 解析　如圖，設(shè)球O的半徑為R，則由AH∶HB＝1∶2，得 HA＝·2R＝R，∴OH＝. ∵截面面積為π＝π·(HM)2， ∴HM＝1. 在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2， ∴R2＝R2＋HM2＝R2＋1， ∴R＝. ∴S球＝4πR2＝4π·2＝π. 1．已知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的表面積 題點(diǎn)　柱體的表面積 答案　A 解析　設(shè)圓柱底面半徑、母線長(zhǎng)分

11、別為r，l，由題意知l＝2πr，S側(cè)＝l2＝4π2r2. S表＝S側(cè)＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)， ＝＝. 2．若正三棱錐的斜高是高的倍，則該正三棱錐的側(cè)面積是底面積的________倍． 答案　2 解析　∵＝， ＝＝ ＝＝ ＝. 設(shè)底面邊長(zhǎng)為a， 正三棱錐的側(cè)面積為3·h′a， 正三棱錐的底面積為3··OM·a， 則正三棱錐的側(cè)面積與底面積的比為h′∶OM＝2， 故該正三棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍． 3．一個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為2π，則該圓柱的表面積為________． 答案　6π 解析　設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h. 由2

12、πr＝2π，得r＝1， ∴S圓柱表＝2πr2＋2πrh＝2π＋4π＝6π. 4．表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為________． 答案　2 解析　設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r. 則πl(wèi)2＋πr2＝3π，πl(wèi)＝2πr， ∴r＝1，即圓錐的底面直徑為2. 1．多面體的表面積為圍成多面體的各個(gè)面的面積之和．棱柱的表面積等于它的側(cè)面積加兩個(gè)底面積；棱錐的表面積等于它的側(cè)面積加底面積；棱臺(tái)的表面積等于它的側(cè)面積加兩個(gè)底的面積． 2．有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計(jì)算要充分利用其軸截面，就是說將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解．而對(duì)于圓臺(tái)有時(shí)需要將它還原成

13、圓錐，再借助相似的相關(guān)知識(shí)求解． 一、選擇題 1．圓柱的一個(gè)底面積是S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是(　　) A．4πS B．2πS C．πS D.πS 答案　A 解析　底面半徑是，所以正方形的邊長(zhǎng)是2π＝2，故圓柱的側(cè)面積是(2)2＝4πS. 2．正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為a，則此棱錐的側(cè)面積等于(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案　A 解析　側(cè)棱長(zhǎng)為 ＝a， 斜高為 ＝， ∴S側(cè)＝×3×a×＝a2. 3．兩個(gè)球的表面積之差為48π，它們的大圓周長(zhǎng)之和為12π，則這兩球的半徑之差為(　　) A．4 B．3

14、 C．2 D．1 答案　C 解析　由題意，得 即∴R－r＝2，故選C. 4．正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為(　　) A．1∶ B．1∶3 C．1∶3 D．1∶9 答案　C 解析　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則正方體內(nèi)切球的半徑為棱長(zhǎng)的一半即為，外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線， ∴外接球的半徑為， ∴其體積比為π×3∶π×3＝1∶3. 5．正六棱臺(tái)的上，下兩底面的邊長(zhǎng)分別是1 cm,2 cm，高是1 cm，則它的側(cè)面積為(　　) A. cm2 B. cm2 C．9 cm2 D．8 cm2 答案　A 解析　正六棱臺(tái)的側(cè)面是6個(gè)全等的等腰梯形，上底長(zhǎng)為1 c

15、m，下底長(zhǎng)為2 cm，高為正六棱臺(tái)的斜高．又邊長(zhǎng)為1 cm的正六邊形的中心到各邊的距離是 cm，邊長(zhǎng)為2 cm的正六邊形的中心到各邊的距離是 cm，則梯形的高為 ＝(cm)，所以正六棱臺(tái)的側(cè)面積為6××(1＋2)×＝(cm2)． 6．一個(gè)直角三角形的直角邊分別為3與4，以其直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積為(　　) A．15π B．20π C．12π D．15π或20π 答案　D 解析　以直角三角形的直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐，有以下兩種情況： 根據(jù)圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式S側(cè)面積＝πr×l母線長(zhǎng)． ①以直角邊3為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積S＝4π×5＝20

16、π； ②以直角邊4為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積S＝3π×5＝15π. 故選D. 7．底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長(zhǎng)為5，它的體對(duì)角線的長(zhǎng)分別是9和15，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是(　　) A．160 B．80 C．40 D．240 答案　A 解析　設(shè)底面邊長(zhǎng)是a，底面的兩條對(duì)角線分別為l1，l2， 所以l＝152－52，l＝92－52. 又l＋l＝4a2， 即152－52＋92－52＝4a2，所以a＝8， 所以S側(cè)面積＝ch＝4×8×5＝160. 8．若一個(gè)圓臺(tái)的軸截面如圖所示，則其側(cè)面積等于(　　) A．3π B.π C．3π D.π

17、 答案　A 解析　∵圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為＝， ∴S圓臺(tái)側(cè)＝π(1＋2)·＝3π. 二、填空題 9．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，則這個(gè)圓錐的底面面積與側(cè)面積的比是________． 答案　1∶2 解析　設(shè)該圓錐體的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，根據(jù)題意得2πr＝πl(wèi)，所以l＝2r， 所以這個(gè)圓錐的底面面積與側(cè)面積的比是 πr2∶πl(wèi)2＝r2∶(2r)2＝1∶2. 10．如圖(1)所示，已知正方體面對(duì)角線長(zhǎng)為a，沿陰影面將它切割成兩塊，拼成如圖(2)所示的幾何體，那么此幾何體的表面積為________． 答案　(2＋)a2 解析　由已知可得正方體的邊長(zhǎng)為a，新幾何體的表面積為S

18、表＝2×a×a＋4×2＝(2＋)a2. 11.有一塔形幾何體由3個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)．已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為2，則該塔形幾何體的表面積為________． 答案　36 解析　易知由下向上三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)依次為2，，1， ∴S表＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36. ∴該幾何體的表面積為36. 12．如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體上底面中心位置打一個(gè)直徑為2、深為4的圓柱形孔，則打孔后的幾何體的表面積為________． 答案　96＋6π 解析　由題意知，所打圓柱形孔穿透正方體，因此打孔后所得幾何體

19、的表面積等于正方體的表面積，再加上一個(gè)圓柱的側(cè)面積，同時(shí)減去兩個(gè)圓的面積，即S＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π. 三、解答題 13．已知一個(gè)表面積為120 cm2的正方體的四個(gè)頂點(diǎn)在半球的球面上，四個(gè)頂點(diǎn)在半球的底面上，求半球的表面積． 解　如圖所示為過正方體對(duì)角面的截面圖．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，半球的半徑為R， 由6a2＝120，得a2＝20， 在Rt△AOB中，AB＝a，OB＝a， 由勾股定理，得R2＝a2＋2＝＝30. 所以半球的表面積為S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3×30π＝90π(cm2)． 四、探究與拓展 14．已知某圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底

20、面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，則該圓臺(tái)較小底面的半徑為________． 答案　7 解析　設(shè)圓臺(tái)較小底面的半徑為r，則另一底面的半徑為3r.由S側(cè)＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7. 15.如圖，一個(gè)圓錐的底面半徑為1，高為3，在圓錐中有一個(gè)半徑為x的內(nèi)接圓柱． (1)試用x表示圓柱的高； (2)當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大側(cè)面積是多少？ 解　(1)設(shè)所求的圓柱的底面半徑為x，它的軸截面如圖， BO＝1，PO＝3，圓柱的高為h， 由圖，得＝，即h＝3－3x(0＜x＜1)． (2)∵S圓柱側(cè)＝2πhx＝2π(3－3x)x＝6π(x－x2)， 當(dāng)x＝時(shí)，圓柱的側(cè)面積取得最大值為π. ∴當(dāng)圓柱的底面半徑為時(shí)，它的側(cè)面積最大為π.