2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的概念與性質 3.2.1.2 函數(shù)的最大（?。┲祵W案 新人教A版必修第一冊

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1、第2課時　函數(shù)的最大(小)值 1．理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義． 2．會借助單調性求最值． 3．掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值． 1．最大值 (1)定義：一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足： ①?x∈I，都有f(x)≤M； ②?x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值． (2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的最大值是圖象最高點的縱坐標． 2．最小值 (1)定義：一般地，設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足： ①?x∈I，都有f(x)≥M； ②?x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，

2、稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值． (2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的最小值是圖象最低點的縱坐標． 溫馨提示：(1)最大(小)值必須是一個函數(shù)值，是值域中的一個元素． (2)并不是每一個函數(shù)都有最值，如函數(shù)y＝，既沒有最大值，也沒有最小值． (3)最值是函數(shù)的整體性質，即在函數(shù)的整個定義域內研究其最值． 1．函數(shù)y＝f(x)在[－2,2]上的圖象如圖所示，試指出此函數(shù)的最小值、最大值和相應的x的值． [答案]　f(x)的最小值為－1，此時x＝－2； f(x)的最大值為2，此時x＝1 2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)任何函數(shù)都有最大值或最小值．(

3、　　) (2)函數(shù)的最小值一定比最大值小．(　　) (3)函數(shù)f(x)＝－x在[2,3)上的最大值為－2，無最小值．(　　) (4)函數(shù)最大值對應圖象中的最高點，且該點只有一個．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 題型一圖象法求函數(shù)的最大(小)值 【典例1】　(1)已知函數(shù)f(x)＝求f(x)的最大值、最小值； (2)畫出函數(shù)f(x)＝的圖象，并寫出函數(shù)的單調區(qū)間，函數(shù)的最小值． [思路導引]　作出函數(shù)f(x)的圖象，結合圖象求解． [解]　(1)作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖1)． 由圖象可知，當x＝±1時，f(x)取最大值為f(±1)＝1；

4、當x＝0時，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值為1，最小值為0. (2)f(x)的圖象如圖2所示，f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，0)和[0，＋∞)，函數(shù)的最小值為f(0)＝－1. 圖象法求最大(小)值的步驟 [針對訓練] 1．利用圖象求下列函數(shù)的最大值和最小值． (1)y＝－，x∈[1,3]； (2)y＝|x＋1|－|x－2|. [解]　(1)作出函數(shù)圖象如右圖所示，該函數(shù)的圖象既有最高點，也有最低點(1，－2)，所以函數(shù)y＝－，x∈[1,3]有最大值－，最小值－2； (2)y＝|x＋1|－|x－2| ＝ 作出函數(shù)的圖象，由右圖可知，

5、y∈[－3,3]．所以函數(shù)的最大值為3，最小值為－3. 題型二利用單調性求函數(shù)的最大(小)值 【典例2】　已知函數(shù)f(x)＝x＋. (1)證明：f(x)在(1，＋∞)內是增函數(shù)； (2)求f(x)在[2,4]上的最值． [解]　(1)證明：設?x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x1>1，∴x1－x2<0， 又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0， 故(x1－x2)·<0，即f(x1)

6、[2,4]時，f(2)≤f(x)≤f(4)． 又f(2)＝2＋＝，f(4)＝4＋＝， ∴f(x)在[2,4]上的最大值為，最小值為. 函數(shù)的最值與單調性的關系 (1)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b]上是增函數(shù)，在區(qū)間[b，c)上是減函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b處有最大值f(b)． (2)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b]上是減函數(shù)，在區(qū)間[b，c)上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b處有最小值f(b)． (3)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數(shù)，則在區(qū)間[a，b]的左、右端點處分別取得最小(大)值、最大(小)值．

7、 [針對訓練] 2．已知函數(shù)f(x)＝，x∈[2,5]，判斷函數(shù)f(x)的單調性，并求函數(shù)f(x)的最大值和最小值． [解]　任取2≤x10，x1－1>0， ∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)

8、最小值． (2)求二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值． [思路導引]　找出f(x)的對稱軸，分析對稱軸與給定區(qū)間的關系，結合單調性求最值． [解]　(1)函數(shù)f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，函數(shù)f(x)＝3(x－2)2－7的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x)在[0,2)上遞減，在[2,3]上遞增，并且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(2)＝－7. (2)∵函數(shù)圖象的對稱軸是x＝a， ∴當a<2時，f(x)在[2,4]上是增函數(shù)， ∴f(x)min＝f(2)

9、＝6－4a. 當a>4時，f(x)在[2,4]上是減函數(shù)， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. 當2≤a≤4時，f(x)min＝f(a)＝2－a2. ∴f(x)min＝ [變式]　本例(2)條件變?yōu)?，若f(x)＝x2－2ax＋2，當x∈[2,4]時，f(x)≤a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． [解]　在[2,4]內，f(x)≤a恒成立， 即a≥x2－2ax＋2在[2,4]內恒成立， 即a≥f(x)max，x∈[2,4]． 又f(x)max＝ ①當a≤3時，a≥18－8a，解得a≥2，此時有2≤a≤3. ②當a>3時，a≥6－4a，解得a≥，此時有a>3. 綜上有實數(shù)

10、a的取值范圍是[2，＋∞)． 求解二次函數(shù)最值問題的順序 (1)確定對稱軸與拋物線的開口方向、作圖． (2)在圖象上標出定義域的位置． (3)觀察單調性寫出最值． [針對訓練] 3．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0,2])有最小值－2，則f(x)的最大值為(　　) A．4 B．6 C．1 D．2 [解析]　函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋a的對稱軸為x＝－1，在[0,2]上為增函數(shù)，所以f(x)的最小值為f(0)＝a＝－2，f(x)的最大值為f(2)＝8＋a＝6. [答案]　B 4．已知函數(shù)f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值為f

11、(a)，則實數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　如圖可知f(x)在[1，a]內是單調遞減的， 又∵f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，3]，∴1

12、產量為x臺，則總成本為(20000＋100x)元， 從而f(x)＝ (2)當0≤x≤400時，f(x)＝－(x－300)2＋25000， 當x＝300時，f(x)max＝25000； 當x>400時，f(x)＝60000－100x是減函數(shù)，f(x)<60000－100×400＝20000<25000. ∴當x＝300時，f(x)max＝25000. 即每月生產300臺儀器時公司所獲利潤最大，最大利潤為25000元． 求解函數(shù)最大(小)值的實際問題應注意的2點 (1)解實際應用題要弄清題意，從實際出發(fā)，引入數(shù)學符號，建立數(shù)學模型，列出函數(shù)關系式，分析函數(shù)的性質，從而解決問題，

13、要注意自變量的取值范圍． (2)實際應用問題中，最大利潤、用料最省等問題常轉化為求函數(shù)最值來解決． [針對訓練] 5．將進貨單價為40元的商品按50元一個出售時，能賣出500個．已知這種商品每漲價1元，其銷售量就減少10個，為得到最大利潤，售價應為多少元？最大利潤是多少？ [解]　設售價為x元，利潤為y元，單個漲價(x－50)元，銷量減少10(x－50)個． ∴y＝(x－40)(1000－10x) ＝－10(x－70)2＋9000≤9000. 故當x＝70時，ymax＝9000. 答：售價為70元時，利潤最大為9000元. 課堂歸納小結 1．求函數(shù)最大(小)值的常用方法

14、(1)值域．求出函數(shù)f(x)的值域，即可求其最值(注意必須確保存在函數(shù)值里的最值)； (2)單調性法．通過研究函數(shù)的單調性來求函數(shù)的最值； (3)特殊函數(shù)法．利用特殊函數(shù)[如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、函數(shù)y＝x＋(a>0)]的單調性來求其最值. 2.函數(shù)的值域與最大(小)值的區(qū)別 (1)函數(shù)的值域是一個集合，函數(shù)的最值是一個函數(shù)值，它是值域的一個元素，即定義域中一定存在一個x0，使f(x0)＝M(最值)． (2)函數(shù)的值域一定存在，但函數(shù)并不一定有最大(小)值，如y＝x在x∈(－1,1)時無最值. 1．函數(shù)f(x)在[－2，＋∞)上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最大、最小值分

15、別為(　　) A．3,0 B．3,1 C．3，無最小值 D．3，－2 [解析]　觀察圖象可以知道，圖象的最高點坐標是(0,3)，從而其最大值是3；另外從圖象看，無最低點，即該函數(shù)不存在最小值．故選C. [答案]　C 2．已知函數(shù)f(x)＝|x|，x∈[－1,3]，則f(x)的最大值為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　作出函數(shù)f(x)＝|x|，x∈[－1,3]的圖象，如圖所示．根據(jù)函數(shù)圖象可知，f(x)的最大值為3. [答案]　D 3．下列函數(shù)在[1,4]上最大值為3的是(　　) A．y＝＋2 B．y＝3x－2 C．y＝x2 D．y＝

16、1－x [解析]　B、C在[1,4]上均為增函數(shù)，A、D在[1,4]上均為減函數(shù)，代入端點值，即可求得最值，故選A. [答案]　A 4.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________(m)． [解析]　設矩形花園的寬為y m， 則＝， 即y＝40－x，矩形花園的面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，當x＝20時，面積最大． [答案]　20 5．已知二次函數(shù)y＝x2－4x＋5，分別求下列條件下函數(shù)的最小值： (1)x∈[－1,0]；(2)x∈[a，a＋1]． [解]　(1)∵二次函數(shù)y＝x

17、2－4x＋5的對稱軸為x＝2且開口向上， ∴二次函數(shù)在x∈[－1,0]上是單調遞減的． ∴ymin＝02－4×0＋5＝5. (2)當a≥2時，函數(shù)在x∈[a，a＋1]上是單調遞增的， ymin＝a2－4a＋5； 當a＋1≤2即a≤1時，函數(shù)在[a，a＋1]上是單調遞減的， ymin＝(a＋1)2－4(a＋1)＋5＝a2－2a＋2； 當a<2

18、(－2) B．f，f(－1) C．f，f D．f，f(0) [解析]　根據(jù)函數(shù)最值定義，結合函數(shù)圖象可知，當x＝－時，有最小值f；當x＝時，有最大值f. [答案]　C 2．函數(shù)y＝x2－2x＋2在區(qū)間[－2,3]上的最大值、最小值分別是(　　) A．10,5 B．10,1 C．5,1 D．以上都不對 [解析]　因為y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以當x＝1時，ymin＝1，當x＝－2時，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故選B. [答案]　B 3．函數(shù)y＝(x≠－2)在區(qū)間[0,5]上的最大值、最小值分別是(　　) A.，0 B

19、.，0 C.， D．最小值為－，無最大值 [解析]　因為函數(shù)y＝在區(qū)間[0,5]上單調遞減，所以當x＝0時，ymax＝，當x＝5時，ymin＝.故選C. [答案]　C 4．若函數(shù)y＝ax＋1在[1,2]上的最大值與最小值的差為2，則實數(shù)a的值是(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．0 [解析]　由題意知a≠0，當a>0時，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；當a<0時，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.綜上知a＝±2. [答案]　C 5．當0≤x≤2時，a<－x2＋2x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，0]

20、 C．(－∞，0) D．(0，＋∞) [解析]　令f(x)＝－x2＋2x， 則f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1. 又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0. ∴a<0. [答案]　C 二、填空題 6．函數(shù)y＝－，x∈[－3，－1]的最大值與最小值的差是________． [解析]　因為函數(shù)y＝－在[－3，－1]上為增函數(shù)，所以ymin＝，ymax＝1， 所以ymax－ymin＝1－＝. [答案]　 7．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，則f(x)的最大值為________． [解析]　函數(shù)f(x

21、)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函數(shù)有最小值－2. 故當x＝0時，函數(shù)有最小值， 當x＝1時，函數(shù)有最大值． ∵當x＝0時，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2， ∴當x＝1時，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1. [答案]　1 8.如圖，某地要修建一個圓形的噴水池，水流在各個方向上以相同的拋物線路徑落下，以水池的中央為坐標原點，水平方向為x軸、豎直方向為y軸建立平面直角坐標系．那么水流噴出的高度h(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的函數(shù)關系式為h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，則水流噴出的高度h的最大值是_______

22、_m. [解析]　由函數(shù)h(x)＝－x2＋2x＋，x∈的圖象可知，函數(shù)圖象的頂點就是水流噴出的最高點．此時函數(shù)取得最大值． 對于函數(shù)h(x)＝－x2＋2x＋，x∈， 若x＝1，函數(shù)有最大值h(x)max＝－12＋2×1＋＝(m)． 于是水流噴出的最高高度是m. [答案]　 三、解答題 9．已知函數(shù)f(x)＝. (1)證明：函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)； (2)求函數(shù)f(x)在[1,5]上的最大值和最小值． [解]　(1)證明：設x1、x2是區(qū)間上的任意兩個實數(shù)，且x2>x1>， 則f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 由于x2>x1>， 所以x2－x1>0，且(2x1－

23、1)·(2x2－1)>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函數(shù)f(x)＝在區(qū)間上是減函數(shù)． (2)由(1)知，函數(shù)f(x)在[1,5]上是減函數(shù)， 因此，函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[1,5]的兩個端點上分別取得最大值與最小值，即最大值為f(1)＝3，最小值為f(5)＝. 10．求函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2在[－1,1]上的最小值． [解]　函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為直線x＝a，且函數(shù)圖象開口向上，如圖所示： ①當a>1時，f(x)在[－1,1]上單調遞減， 故f(x)min＝f(1)＝3－2a； ②當－1≤a≤1時，f(x)在[－1,1]上

24、先減后增， 故f(x)min＝f(a)＝2－a2； ③當a<－1時，f(x)在[－1,1]上單調遞增， 故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a. 綜上可知f(x)的最小值為 f(x)min＝ 綜合運用 11．函數(shù)f(x)＝則f(x)的最大值與最小值分別為(　　) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不對 [解析]　∵x∈[1,2]時，f(x)max＝2×2＋6＝10，f(x)min＝2×1＋6＝8；x∈[－1,1]時，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，∴f(x)max＝10，f(x)min＝6. [答案]　A 12．已知函數(shù)

25、y＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B．[0,2] C．(－∞，2] D．[1,2] [解析]　f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故選D. [答案]　D 13．某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，銷售x輛該品牌車的利潤(單位：萬元)分別為L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為(　　) A．90萬元 B．60萬元 C．120萬元 D．120.25萬元 [解析]　設公司在甲

26、地銷售x輛，則在乙地銷售(15－x)輛，公司獲利為L＝－x2＋21x＋2(15－x) ＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋， ∴當x＝9或10時，L最大為120萬元． [答案]　C 14．函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為________． [解析]　化簡函數(shù)為 y＝ 其圖象如圖所示， 所以函數(shù)的最小值為3. [答案]　3 15．已知函數(shù)f(x)對任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x>0時，f(x)<0，f(1)＝－. (1)求證：f(x)是R上的單調減函數(shù)． (2)求f(x)在[－3,3]上的最小值． [解]　(1)證明：設x1，x

27、2是任意的兩個實數(shù)，且x10，因為x>0時，f(x)<0， 所以f(x2－x1)<0， 又因為x2＝(x2－x1)＋x1， 所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1] ＝f(x2－x1)＋f(x1)， 所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0， 所以f(x2)