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1、(魯京遼)2022-2023學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 1.1.1 構(gòu)成空間幾何體的基本元素學案 新人教B版必修2
學習目標 1.了解空間中點、線、面、體之間的關(guān)系.2.了解軌跡和圖形的關(guān)系.3.初步了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系.
知識點一 構(gòu)成幾何體的基本元素
思考1 平面幾何研究的主要對象是什么?構(gòu)成平面圖形的基本元素是什么?
答案 平面圖形;點與直線.
思考2 構(gòu)成幾何體的基本元素是什么?
答案 點、線、面.
梳理 幾何體的定義
(1)定義:只考慮一個物體占有空間部分的形狀和大小,而不考慮其他因素,則這個空間部分叫做一個幾何體.
2、(2)構(gòu)成空間幾何體的基本元素:點、線、面.
知識點二 長方體
思考 長方體的基本元素有哪些?如何定義?
答案 6個面,12條棱,8個頂點,長方體是由六個矩形(包括它的內(nèi)部)圍成的.
梳理 長方體的概念
(1)基本元素:長方體有12條棱,8個頂點,6個面.
(2)面:圍成長方體的各個矩形.
(3)棱:相鄰兩個面的公共邊.
(4)頂點:棱和棱的公共點.
知識點三 平面
思考 平的鏡面是一個平面嗎?
答案 不是,數(shù)學中的平面是個抽象的概念,它是無限延展的.
梳理 平面的概念
(1)特征:平面是處處平直的面,是無限延展的.
(2)畫法:通常畫一個平行四邊形表示一個
3、平面.
(3)命名:用希臘字母α,β,γ,…來命名,還可以用表示它的平行四邊形的對角頂點的字母來命名.
知識點四 空間中直線、平面的位置關(guān)系
思考 空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系有哪些?
答案 直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行.
平面與平面的位置關(guān)系有平面與平面平行、平面與平面相交兩種.
梳理 特殊位置關(guān)系的幾個定義比較
位置關(guān)系
定義
圖形及符號表示
平行
線面
若直線和平面沒有公共點,則說直線和平面平行
AB∥平面α
面面
若兩個平面沒有公共點,則說這兩個平面平行
平面α∥平面β
垂直
線面
若一條直線
4、和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則說直線與平面垂直
l⊥平面α
面面
若兩個平面相交,并且其中一個平面通過另一個平面的一條垂線,則說這兩個平面互相垂直
平面α⊥平面β
距離
點面
點到平面的垂線段的長度,稱作點到平面的距離
兩平面
夾在兩平行平面間垂線段的長度稱作兩平面間的距離
1.8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚.( × )
2.空間不同三點確定一個平面.( × )
3.一條直線和一個點確定一個平面.( × )
類型一 幾何體的基本元素
例1 試指出下圖中各幾何體的基本元素.
解 (1)中幾何體有6個頂點,12條棱
5、和8個面.
(2)中幾何體有12個頂點,18條棱和8個面.
(3)中幾何體有6個頂點,10條棱和6個面.
(4)中幾何體有2條曲線,3個面(2個平面和1個曲面).
反思與感悟 點是最基本的元素,只有位置,沒有大??;直線沒有粗細,向兩方無限延伸;平面沒有厚度,向周圍無限延展.要熟記這三種基本元素的特點.在現(xiàn)實生活中要多觀察幾何體,以便加深對構(gòu)成空間幾何體的基本元素的認識.
跟蹤訓練1 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,下列說法正確的有________.(填序號)
①長方體的頂點一共有8個;
②線段AA1所在的直線是長方體的一條棱;
③矩形ABCD所在的平面是長方體的
6、一個面;
④長方體由六個平面圍成.
答案 ①
類型二 空間中點、線、面的位置關(guān)系的判定
例2 如圖所示,在長方體ABCD—A′B′C′D′中,如果把它的12條棱延伸為直線,6個面延展為平面,那么在這12條直線與6個平面中:
(1)與直線B′C′平行的平面有哪幾個?
(2)與直線B′C′垂直的平面有哪幾個?
(3)與平面BC′平行的平面有哪幾個?
(4)與平面BC′垂直的平面有哪幾個?
(5)平面AC與平面A′C′間的距離可以用哪些線段來表示?
解 (1)有平面ADD′A′與平面ABCD.
(2)有平面ABB′A′、平面CDD′C′.
(3)有平面ADD′A′.
(
7、4)有平面ABB′A′、平面CDD′C′、平面A′B′C′D′與平面ABCD.
(5)可用線段AA′,BB′,CC′,DD′來表示.
反思與感悟 (1)解決此類問題的關(guān)鍵在于識圖,根據(jù)圖形識別直線與平面平行、垂直,平面與平面平行、垂直.
(2)長方體和正方體是立體幾何中的重要幾何體,對其認識有助于進一步認識立體幾何中的點、線、面的基本關(guān)系.
跟蹤訓練2 下列關(guān)于長方體ABCD-A1B1C1D1中點、線、面位置關(guān)系的說法正確的是________.(填序號)
①直線AA1與直線BB1平行;
②直線AA1與平面C1D1DC相交;
③直線AA1與平面ABCD垂直;
④點A1與點B1到平
8、面ABCD的距離相等.
答案?、佗邰?
解析 ①正確,由于AA1與BB1是矩形ABB1A1的一組對邊,所以AA1∥BB1;
②不正確,由于直線AA1與平面C1D1DC沒有交點,所以AA1∥平面C1D1DC;
③正確,由于直線AA1與平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線AB,AD垂直,所以AA1⊥平面ABCD;
④正確,點A1到平面ABCD的距離為AA1,點B1到平面ABCD的距離為BB1,又AA1=BB1,因此距離相等.
類型三 幾何體的表面展開圖
例3 把如圖所示的幾何體沿線段AA′及與上、下底相關(guān)的棱剪開,然后放在平面上展開,試畫出這些圖形.
解 畫出的相應(yīng)圖形如圖所示.
9、反思與感悟 多面體表面展開圖問題的解題策略
(1)繪制展開圖:繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征,發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型.在解題過程中,給多面體的頂點標上字母,先把多面體的底面畫出來,然后依次畫出各側(cè)面,便可得到其表面展開圖.
(2)已知展開圖:若是給出多面體的表面展開圖,來判斷是由哪一個多面體展開的,則可把上述過程逆推.同一個
幾何體的表面展開圖可能是不一樣的,也就是說,一個多面體可有多個表面展開圖.
跟蹤訓練3 一個無蓋的正方體盒子的平面展開圖如圖,A、B、C是展開圖上的三點,則在正方體盒子中,∠ABC=________.
答案 60°
解析 將
10、平面圖形翻折,折成空間圖形,如圖.由圖可知AB=BC=AC,所以△ABC為等邊三角形.所以∠ABC=60°.
1.有以下結(jié)論:
①平面是處處平的面;
②平面是無限延展的;
③平面的形狀是平行四邊形;
④一個平面的厚度可以是0.001 cm.
其中正確的個數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
考點 平面的概念、面法及表示
題點 平面概念的應(yīng)用
答案 B
解析 平面是無限延展的,但是沒有大小、形狀、厚薄,①②兩種說法是正確的;③④兩種說法是錯誤的.故選B.
2.下列結(jié)論正確的個數(shù)有( )
①曲面上可以存在直線;
②平面上可存在曲線;
③曲線運動的軌
11、跡可形成平面;
④直線運動的軌跡可形成曲面;
⑤曲面上不能畫出直線.
A.3 B.4 C.5 D.2
答案 B
解析 由空間中構(gòu)成幾何體的基本元素可判斷①②③④均正確,而曲面上可以畫出直線,所以⑤錯誤,故選B.
3.下列說法正確的是( )
A.在空間中,一個點運動成直線
B.在空間中,直線平行移動形成平面
C.在空間中,直線繞該直線上的定點轉(zhuǎn)動形成平面或錐面
D.在空間中,矩形上各點沿同一方向移動形成長方體
答案 C
解析 一個點運動也可以成曲線,故A錯;在空間中,直線平行移動可以形成平面或曲面,故B錯;在空間中,矩形上各點沿鉛垂線向上(或向下)移動相同距離所形
12、成的幾何體是長方體,故D錯.
4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中(如圖所示),和棱A1B1不相交的棱有________條.
答案 7
解析 在長方體中一共有12條棱,除去與A1B1相交的與其本身,還剩7條.
5.如圖,一個封閉的長方體,它的六個表面各標有A,B,C,D,E,F(xiàn)這六個字母之一,現(xiàn)放置成如圖三種不同的位置,則字母A,B,C對面的字母分別為________.
答案 E,D,F(xiàn)
解析 第一個正方體已知A,C,D,第二個正方體已知B,C,E,第三個正方體已知A,B,C,且不同的面上寫的字母各不相同,則可知,A對面標的是E,B對面標的是D,C對面標的是F.
13、1.點、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素.
2.平面是無限延展的,通常畫一個平行四邊形表示一個平面.
3.平面的記法
(1)平面一般用希臘字母α、β、γ…來命名;
(2)平面圖形頂點法.
4.認識空間中的點、直線和平面之間的位置關(guān)系,我們可以動手制作一些模型或畫出圖形,來幫助我們理解和提高空間想象能力.
一、選擇題
1.下列不屬于構(gòu)成空間幾何體的基本元素的是( )
A.點 B.線段
C.曲面 D.多邊形(不包括內(nèi)部的點)
答案 D
解析 空間中的幾何體是由點、線、面構(gòu)成的,而線有直線和曲線之分,面有平面和曲面之分,只有多邊形(不包括內(nèi)部的點)不屬于構(gòu)成幾何體的基
14、本元素.
2.下列說法正確的是( )
A.水平放置的平面是大小確定的平行四邊形
B.平面ABCD即平行四邊形ABCD的四條邊圍起來的部分
C.一條直線和一個平面一定會有公共點
D.平面是光滑的,可向四周無限延展
答案 D
解析 平面可以用平行四邊形來表示,但平行四邊形只是平面的一部分,不能理解為平面,A錯;平面是一個抽象的概念,是無限延展的,沒有大小、厚薄之分,B錯;直線和平面可以沒有公共點,此時直線和平面平行,C錯.故選D.
3.下列關(guān)于長方體的敘述中不正確的是( )
A.將一個矩形沿豎直方向平移一段距離一定能形成一個長方體
B.長方體中相對的面互相平行
C.長方體
15、某一底面上的高就是這一面與其所對面的距離
D.兩相對面之間的棱互相平行且等長
答案 A
解析 A選項中,若矩形斜放,則不會形成長方體,故選A.
4.下列四個長方體中,由圖中的紙板折成的是( )
答案 A
解析 根據(jù)題圖中紙板的折疊情況及特殊面的陰影部分可以判斷B,C,D不正確,故選A.
5.某同學制作了一個對面圖案相同的正方體禮品盒(如圖),則這個正方體禮品盒的表面展開圖應(yīng)該為( )
答案 A
解析 兩個不能并列相鄰,B、D錯誤;兩個不能并列相鄰,C錯誤,故選A.也可通過實物制作檢驗來判定.
6.兩個平面可以將空間分成( )
A.3部分 B.
16、4部分
C.2或4部分 D.3或4部分
答案 D
解析 當兩平面平行時,將空間分成3部分;當兩平面相交時,將空間分成4部分,故選D.
二、填空題
7.下列說法:
①任何一個幾何體都必須有頂點、棱和面;
②一個幾何體可以沒有頂點;
③一個幾何體可以沒有棱;
④一個幾何體可以沒有面.
其中正確的是________.(填序號)
答案?、冖?
解析 球只有一個曲面圍成,故①錯,②③對,由于幾何體是空間圖形,故一定有面,④錯.
8.在如圖所示的長方體ABCD-A′B′C′D′中,互相平行的平面共有________對,與A′A垂直的平面是________________.
17、
答案 3 平面ABCD,平面A′B′C′D′
解析 平面ABCD與平面A′B′C′D′平行,平面ABB′A′與平面CDD′C′平行,平面ADD′A′與平面BCC′B′平行,共3對.與AA′垂直的是平面ABCD,平面
A′B′C′D′.
9.線段AB的長為5 cm,在水平面上向右移動4 cm后記為CD,將CD沿鉛垂線方向向下移動3 cm后記為C′D′,再將C′D′沿水平方向向左移動4 cm后記為A′B′,依次連接構(gòu)成長方體ABCD-A′B′C′D′.
(1)該長方體的高為________ cm.
(2)平面A′B′BA與平面CDD′C′間的距離為________ cm.
(3)點A
18、到平面BCC′B′的距離為________ cm.
答案 (1)3 (2)4 (3)5
解析 如圖,(1)該長方體的高為3 cm.
(2)平面A′B′BA與平面CDD′C′間的距離為4 cm.
(3)A到平面BCC′B′的距離為5 cm.
10.一個正方體去掉一個“角”后減少了一個頂點,這個幾何圖形是________.(填序號)
答案 ③
解析 正方體共有8個頂點,去掉一個“角”后減少了一個頂點即有7個頂點.
11.如圖是一個正方體的表面展開圖,A,B,C均為所在棱的中點,D為正方體的頂點.若正方體的棱長為2,則封閉折線ABCDA的長為________.
答案
19、?。?+
解析 如圖,AB+BC+CD+DA=+++
=+2+,即折線ABCDA的長為+2+.
AB+BC+CD+DA=+++=+2+.
三、解答題
12.如圖所示,指出幾何體的點、線、面.
解 其中的點有A,B,C,D,M,N.
其中的線有AB,BC,CD,DA,MA,MB,MC,MD,NA,NB,NC,ND.
其中的平面有平面MAD,平面MAB,平面MBC,平面MDC,平面NAB,平面NAD,平面NDC,平面NBC.
13.如圖所示是一個正方體表面的展開圖,圖中四條線段AB,CD,EF和GH在原正方體中的位置關(guān)系是什么?
解 選擇一個面為底面,將圖形向上折成
20、正方體,如圖,點G與點C重合,點F與點B重合,則線段AB與EF相交,線段HG與CD相交,線段EF與CD平行.
四、探究與拓展
14.如圖,模塊①-⑤均由4個棱長為1的小正方體構(gòu)成,模塊⑥由15個棱長為1的小正方體構(gòu)成.現(xiàn)從模塊①-⑤中選出三個放到模塊⑥上,使得模塊⑥成為一個棱長為3的大正方體,則下列選擇方案中,能夠完成任務(wù)的為( )
A.模塊①,②,⑤ B.模塊①,③,⑤
C.模塊②,④,⑤ D.模塊③,④,⑤
答案 A
解析 先將⑤放入⑥中的空缺部分,然后在上層放入①②,可得正方體,而可驗證其余不合題意.故選A.
15.如圖是邊長為1 m的正方體,有一蜘蛛潛伏在A處,B處有一小蟲被蜘蛛網(wǎng)粘住,請制作出模型,將正方體剪開,描述蜘蛛爬行的最短路線.
解 通過正方體的展開圖(如圖所示),可以發(fā)現(xiàn),AB間的最短距離為A,B兩點間的線
段的長,為=(m).由展開圖可以發(fā)現(xiàn),C點為其中一條棱的中點.
爬行的最短路線如圖(1)~(6)所示.