第十五章 波與粒子

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. ------------------------------------------author ------------------------------------------date 第十五章 波與粒子 第十五章 波與粒子 第十五章 波與粒子 15-1　在恒星演化過程中，當(dāng)能源耗盡時，星體將在萬有引力作用下發(fā)生坍縮，而成為密度極高的星體。同時，由

2、于先前的核燃燒，這種星體的溫度仍然很高，因而發(fā)出白光，故得名為白矮星。天狼星的一個伴星，是人們發(fā)現(xiàn)的第一顆白矮星，如果測得其最大單色輻出度所對應(yīng)的波長為，試根據(jù)維恩位移律估計它的表面溫度。 解　根據(jù)維恩位移律： 可以計算這顆白矮星的表面溫度，為： 15-2　三個大小相同并可看作為黑體的球體，測得其最大單色輻出度所對應(yīng)的波長分別為、和，試求它們的溫度以及它們在單位時間內(nèi)向空間輻射的能量之比。 解　根據(jù)維恩位移律可以求得它們的溫度，分別為： ，，. 根據(jù)斯特藩-玻耳茲曼定律：和上面已經(jīng)得到的溫度，就可以求出它們的輻出度。輻出度是表示該黑體在單位時間內(nèi)從其表面單位面積上輻射出的能量，因為

3、三個球體大小相同，它們在單位時間內(nèi)向空間輻射的能量之比，就等于它們的輻出度之比，即： 15-3　試由普朗克公式在短波近似情況下導(dǎo)出維恩公式，在長波近似情況下導(dǎo)出瑞利-金斯公式。 解：黑體的單色輻出度可以用普朗克公式表示： (1) （1）在短波近似情況下，有：?, 所以： 這樣就可以在普朗克公式中略去1，而成為下面的形式： （2） 令：、，并代入上式，得： 這正是維恩公式。 （2）在長波近似情況下，有：，所以： 于是，普朗克公式稱為下面的形式： 這正是瑞利-金斯公式。 15-4什么是光電效應(yīng)？光電效應(yīng)有哪些重要規(guī)律？在解釋這些規(guī)律時經(jīng)典理論遇到什么困難

4、？在這些困難中，你認(rèn)為最突出的是什么？ 答：金屬中的自由電子在光的照射下，吸收光能而逸出金屬表面，這種現(xiàn)象稱為光電效應(yīng)。 光電效應(yīng)有下列四條重要規(guī)律：（1）單位時間內(nèi)逸出金屬表面的光電子數(shù)與入射光強成正比。（2）光電子的初動能隨入射光的頻率上升而線性增大，與入射光強無關(guān)。（3）如果入射光的頻率低于該金屬的紅限，則無論入射光強多大，都不會使這種金屬產(chǎn)生光電效應(yīng)。（4）只要入射光的頻率大于該金屬的紅限，當(dāng)光照射到這種金屬的表面時，幾乎立即產(chǎn)生光電子，而無論光強多小。 從波動論看，作為電磁波的光波投射到金屬表面上，引起金屬中自由電子的受迫振動，當(dāng)自由電子從入射光波中吸收到足夠的能量后，就可以克

5、服金屬表面的約束而逸出，成為光電子，用這個觀點解釋光電效應(yīng)的實驗規(guī)律，所遇到的主要困難有以下幾點。(1)光電子初動能問題：從上述觀點看，光電子初動能應(yīng)正比于入射光的強度，光強度又正比于光波振幅的平方，所以光電子的初動能應(yīng)正比于入射光的振幅的平方。而實際上光電子的初動能正比于入射光的頻率，與入射光的強度無關(guān)，與人射光的振幅無關(guān)。 (2)光電效應(yīng)的紅限問題：按照波動論，光強度正比于光波振幅的平方，如果入射光的頻率較低，總可以用增大振幅的方法，使入射光達到足夠的強度，使自由電子獲得足夠的能量而逸出金屬表面。所以，按波動論的觀點，光電效應(yīng)不應(yīng)該存在紅限。而實際上每一種金屬都存在確定的紅限值，當(dāng)入

6、射光的頻率低于該金屬的紅限時，無論光強多大，都無電子逸出。(3)發(fā)生光電效應(yīng)的時間問題：根據(jù)波動論的解釋，自由電子從入射光波中獲得能量需要一個積累的過程，特別是當(dāng)入射光強度較弱時，更需要較長的時間積累能量。而實際上光電子出現(xiàn)的時間均小于s，且與人射光的強弱無關(guān)。 其中最突出的問題是：光電效應(yīng)的紅限問題和發(fā)生光電效應(yīng)的時間問題。 15-5　試求波長為下列數(shù)值的光子的能量、動量和質(zhì)量：(1)波長為的紅外線；(2)波長為的可見光；(3)波長為的紫外線；(4)波長為的X射線；(5)波長為的射線。 解：(1)對于波長為的紅外線，能量為：； 動量為：；質(zhì)量為：. (2)對于波長為的可見光，能量為

7、: 動量為：；質(zhì)量為： (3)對于波長為的紫外線，能量為：； 動量為：；質(zhì)量為： (4)對于波長為的X射線，能量為：； 動量為：；質(zhì)量為： (5)對于波長為的射線，能量為：； 動量為：；質(zhì)量為： 15-6　已知金屬鎢的逸出功為4.38 eV，若用波長為429 nm的紫光照射其表面，問能否產(chǎn)生光電子？若在鎢的表面涂敷一層銫，其逸出功變?yōu)?.61 eV，結(jié)果又將如何？若能產(chǎn)生光電子，求光電子的最大初動能。 解：入射光子的能量為： 金屬鎢的逸出功為： 因為，所以不能產(chǎn)生光電子。 當(dāng)在鎢表面涂敷銫，逸出功變?yōu)椋? 這時，所以能夠產(chǎn)生光電子。根據(jù)光電效應(yīng)的愛因斯坦方程： 光電

8、子的最大出動能為： 15-7　金屬鉀的紅限為，若用波長為436 nm的光照射，求光電子的最大初速度。 解：根據(jù)紅限的定義，可以求得金屬鉀的逸出功： 光電子的最大初動能為： 光電子的最大初速度為： 15-8　金屬鈉的紅限為，求：(1)金屬鈉的逸出功；(2)用波長為500 nm的光照射時的遏止電勢差。 解：(1)金屬鈉的逸出功為： (2)因為遏止電勢差表征了光電子的最大初動能，故有： 將此關(guān)系代入光電效應(yīng)的愛因斯坦方程，得： 于是有： 所以，遏止電勢差為 -0.666 V 。 15-9 什么是康普頓效應(yīng)？康普頓效應(yīng)有些什么規(guī)律？經(jīng)典理論是如何解釋光散射的？ 答：1．

9、康普頓效應(yīng)及其規(guī)律 (1)短波射線(如x射線、Y射線)經(jīng)物質(zhì)散射后，在散射線中除有與入射線同波長的成分外，還有比入射線波長更長的射線產(chǎn)生出來。這就是康普頓效應(yīng)。波動論對這個效應(yīng)同樣無法解釋，而再次陷入困難的境地。 (2)康普頓效應(yīng)的核心之點就是在散射波中存在波長變長的部分。但從波動論看，入射波的散射是物質(zhì)中的帶電粒子在入射波的作用下發(fā)生受迫振動，而向四周發(fā)出的輻射。我們知道，穩(wěn)定的受迫振動與驅(qū)動力同頻率，所以散射波一定與入射波同頻率，不可能發(fā)生波長變長的現(xiàn)象。 2．光子論對康普頓效應(yīng)的解釋 (1)從光子論看，入射光是能量為的光子流，進入物質(zhì)內(nèi)的光子將與物

10、質(zhì)粒子發(fā)生彈性碰撞，碰撞過程遵從能量守恒定律和動量守恒定律。光子與點陣離子和自由電子的彈性碰撞，將分別得到波長不變和波長變長的散射波成分，從而圓滿地解釋了康普頓效應(yīng)。 (2)認(rèn)為碰撞前自由電子是靜止的，其總能量等于靜能，碰撞后其總能量變?yōu)椋慌鲎睬肮庾拥膭恿繛?，碰撞后變?yōu)?。這些能量和動量的表示都是從相對論關(guān)系中得到的。由于運用了這些關(guān)系，康普頓效應(yīng)才得到圓滿解釋，所以說，康普頓效應(yīng)是一種相對論效應(yīng)。 15-10　在康普頓效應(yīng)中，入射X射線的波長是，求在散射角、和的方向上散射線的波長。 解：根據(jù)波長改變公式： 散射線的波長可以表示為： 對于： 對于： 對于： 15-1

11、1　波長為的X射線被某散射體所散射，求在散射角為的方向上散射X射線的波長和引起這種散射的反沖電子所獲得的動能。 解　在散射角為的方向上散射X射線的波長為： 反沖電子所獲得的動能等于X光子損失的能量，即： 15-12　波長為的入射光子與散射物質(zhì)中的自由電子發(fā)生碰撞，碰撞后電子的速度達到了 。求散射光子的波長和散射角。 解　先求波長的改變量，再求散射光子的波長，最后求散射角。 求波長的改變量， 反沖電子的質(zhì)量： 反沖電子獲得的動能為： 反沖電子獲得的動能就等于光子損失的能量，而光子損失的能量與波長的改變量有如下關(guān)系： 則得： 由波長改變量即可求得散射光子的波長，為：

12、 由波長改變量可求得散射角： 即得： 15-13 如何理解光的波、粒兩重性問題？ 答：光子論被黑體輻射、光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)以及其他實驗所證實，說明它具有一定的正確性。而早已被大量實驗證實了的光的波動論以及其他經(jīng)典物理理論的正確性, 也是無可非議的。因此，在對光的本性的解釋上，不應(yīng)該在光子論和波動論之間進行取舍，而應(yīng)該把它們同樣地看作是光的本性的不同側(cè)面的描述。光在傳播過程中表現(xiàn)出波的特性，而在與物質(zhì)相互作用的過程中表現(xiàn)出粒子的特性。這就是說，光具有波和粒子這兩方面的特性，這稱為光的波粒二象性。 既是粒子，也是波，這在人們的經(jīng)典觀念中是不容易接受的。但是, 用統(tǒng)計的觀點可以把兩者統(tǒng)

13、一起來。光是由具有一定能量、動量和質(zhì)量的微觀粒子組成的，在它們運動的過程中，在空間某處發(fā)現(xiàn)它們的概率卻遵從波動的規(guī)律。 實際上，這里所說的粒子和波，都是人們經(jīng)典觀念中對物質(zhì)世界認(rèn)識上的一種抽象和近似。這種抽象和近似是不能用來對微觀世界的事物作出恰當(dāng)?shù)拿枋龅模驗槲⒂^世界的事物有著與宏觀世界的事物不同的性質(zhì)和規(guī)律。從這個意義上說，光既不是粒子，也不是波，即既不是經(jīng)典觀念中的粒子，也不是經(jīng)典觀念中的波。 15-14 從粒子散射實驗中可以得到哪些關(guān)于原子結(jié)構(gòu)的信息？ 答：粒子是氦原子核，是由放射性物質(zhì)發(fā)射出來的帶正電的微觀粒子，粒子的散射實驗表示了。粒子與原子的相互作用，可以為原子的結(jié)構(gòu)提供有

14、用的信息： a)絕大多數(shù)。粒子幾乎按原方向出射，偏轉(zhuǎn)角只有一這表示原子內(nèi)部是空曠的，粒子從這個空間穿越，幾乎不受到原子中電荷的作用； b)個別粒子發(fā)生了大角度散射，甚至被反彈的現(xiàn)象表明，原子中心存在一個很小的堅實體，它集中了原子的幾乎全部質(zhì)量，并且?guī)в姓姾?，這個堅實體就是原子核。同時可以推斷，既然原子核帶正電，那么原子中等量的負(fù)電荷一定分布在原子核周圍的空曠空間里。 根據(jù)粒子散射實驗，可以得到原子的核型結(jié)構(gòu)模型假設(shè)；反之，根據(jù)原子的核型結(jié)構(gòu)模型假設(shè)，又可以從理論上計算出散射。粒子數(shù)隨散射角的分布規(guī)律，并且由計算所得的規(guī)律與實驗觀測的結(jié)果的一致性，進一步證實了原子

15、的核型模型假設(shè)的正確性。 15-15原子的核型結(jié)構(gòu)模型與經(jīng)典理論存在哪些矛盾？ 答：原子的核型結(jié)構(gòu)模型與經(jīng)典概念是不相容的，表現(xiàn)在下面兩點： a)按照經(jīng)典理論，電子繞原子核旋轉(zhuǎn)必定要輻射電磁波，并且所發(fā)射的電波是連續(xù)譜。實際上，通常情況下的原子并不輻射電磁波，只有從外界吸收了能量之后，才可能發(fā)射電磁波，并且發(fā)射的電磁波頻譜是分立譜，不是連續(xù)譜； b)隨著系統(tǒng)自身能量的不斷減少，電子繞核運動的軌道半徑將隨之減小，最后電子必定落在原子核上，可見，按照經(jīng)典理論，原子的核型結(jié)構(gòu)不是穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。實際上，正常情況下的原于是十分穩(wěn)定的。 15-16　計算氫原子光譜的萊曼系譜線和巴耳

16、末系譜線的波長范圍。 解：(1)巴耳末系譜線的波長范圍： 巴耳末系可以表示為： 當(dāng)時，對應(yīng)與長波限的波數(shù)： 波長為： 當(dāng)時，對應(yīng)于短波限的波數(shù)： 波長為： (2)萊曼系譜線的波長范圍： 萊曼系可以表示為： 當(dāng)時，對應(yīng)與長波限的波數(shù)： 波長為： 當(dāng)時，對應(yīng)于短波限的波數(shù)： 波長為： 15-17　在氫原子的紫外光譜中有一條波長為121.57 nm的譜線，問這條譜線屬于哪個線系？它是原子在哪兩個能級之間躍遷產(chǎn)生的？ 解：波長為121.57 nm的譜線屬于萊曼系，是從能級到能級的躍遷產(chǎn)生的。 15-18　依照玻爾理論求出處于基態(tài)的氫原子的下列各量：量子數(shù)、軌道半徑、角動

17、量和動量、電子所受的力、電子的角速度、速率、加速度、動能、勢能以及總能量。 解：量子數(shù)： ； 軌道半徑： ； 角動量：； 動量：； 速率：； 角速度：； 受力： 加速度： ; 動能： 勢能：； 總能量： 15-19　計算的氫原子的直徑和電子的運動速率。 解　將代入半徑的表達式，得： 原子的直徑為： 動量為： 所以： 15-20　若氫原子處于激發(fā)態(tài)的平均時間為，問氫原子中電子在的軌道上運行多少圈才躍遷到基態(tài)并放出光子？ 解：由以下兩式：

18、 可以求得電子的運動速率： 當(dāng)原子處于時，電子的運動速率為： 電子在此軌道上運行一周所用的時間為： 電子在激發(fā)態(tài)運行的平均周數(shù)為： 15-21　求處于以下兩種狀態(tài)的氫原子的電離能 (以eV為單位)： (1)基態(tài)； (2)?的激發(fā)態(tài)。 解：(1)基態(tài)的電離能，就是將電子從基態(tài)()激發(fā)到完全自由態(tài)()所需要的能量，可如下求得 (2) 的激發(fā)態(tài)的電離能： 15-22　一個具有5.6 eV動能的中子，與一個處于基態(tài)的靜止氫原子相碰撞，問這種碰撞是彈性碰撞，還是非彈性碰撞？ 解：當(dāng)具有一定動能的中子與處于基態(tài)的靜止氫原子相碰撞時，如果中子的動能的大小正好等于氫原子從基

19、態(tài)躍遷到某一激發(fā)態(tài)所需要的能量，碰撞后該中子的動能就全部 被氫原子吸收，而使氫原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)，中子和氫原子的動能都等于零。這樣的碰撞是完全非彈性的，否則碰撞就是彈性的。 氫原子從基態(tài)躍遷到最低的激發(fā)態(tài)()所需要的能量是： 因為中子的動能, 所以，碰撞不足以使氫原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài)，碰撞是完全彈性的。 15-23　求在溫度為3.0 K的液氦中冷凍著的中子的德布羅意波長。 解：將冷凍中子系統(tǒng)看成理想氣體系統(tǒng)，該系統(tǒng)處于平衡態(tài)時，中子的平均動能為： 中子的動量為： 于是可求得中子的波長為： 15-24　分別計算動能為0.10 MeV和1.0 GeV的電子的德布羅意波長。 解

20、　設(shè)電子的靜質(zhì)量為，根據(jù)相對論關(guān)系： 和 可以解得： 和 于是可以求得電子的波長：? (1) 對于動能為的電子，將動能和其他有關(guān)量代入式(1)，可求得德布羅意波長，為：。 對于動能為的電子，由于，式(1)可以簡化為： (2)所以，其德布羅意波長為： 15-25　如果電子和光子的波長都是0.20 nm，那么它們的動量和能量各為多大？ 解：(1)動量：由公式： 可以看到，無論什么粒子，只要波長相等，其動量的大小就相同。所以電子和光子的動量都為： (2)能量：對于光子，與波長l相對應(yīng)的能量是其總能量，因為它沒有靜能。 對于電子，與波長相對應(yīng)的能量是其動能。 15-26　電子運動速率為，其測量準(zhǔn)確度為0.01%，若要確定這個電子的位置，求位置的最小不確定量。 解：根據(jù)： 電子位置的最小不確定量為： 15-27　若電子和質(zhì)量為10.0 g的子彈都以的速率運動，并且速率的測量準(zhǔn)確度都為0.01%，試比較它們的位置的最小不確定量。 解：上面已經(jīng)求得了電子位置的最小不確定量為 子彈位置的最小不確定量為 兩者相比可見，由于子彈的質(zhì)量比電子大得多，所以子彈的位置完全可以準(zhǔn)確測定。 --------------------------------------------------