2019-2020學年新教材高中數學 第五章 三角函數復習課學案 新人教A版必修第一冊

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1、復習課(五)　三角函數 考點一　三角函數的概念 設角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則x＝cosα，y＝sinα，＝tanα.三角函數的概念是研究三角函數的基礎． 【典例1】　已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值． [解]　∵角α的終邊在直線3x＋4y＝0上， ∴在角α的終邊上任取一點P(4t，－3t)(t≠0)， 則x＝4t，y＝－3t，r＝＝ ＝5|t|， 當t>0時，r＝5t， sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝－； 當t<0時，r＝－5t，sinα＝＝＝， cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－. 綜上可知，t>

2、0時，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－； t<0時，sinα＝，cosα＝－，tanα＝－. (1)已知角α的終邊在直線上時，常用的解題方法有以下兩種： ①先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標，然后再利用正弦、余弦函數的定義求出相應三角函數值． ②在α的終邊上任選一點P(x，y)，P到原點的距離為r(r>0)．則sinα＝，cosα＝.已知α的終邊求α的三角函數值時，用這幾個公式更方便． (2)當角α的終邊上點的坐標以參數形式給出時，要根據問題的實際情況對參數進行分類討論． [針對訓練] 1．已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸．若P(4，y)是角θ終

3、邊上一點，且sinθ＝－，則y＝_____. [解析]　r＝＝，且sinθ＝－，所以sinθ＝＝＝－，所以θ為第四角限角，解得y＝－8. [答案]　－8 考點二　同角三角函數的基本關系式和誘導公式 由三角函數的概念不難得出同角三角函數的基本關系式、誘導公式，這是化簡求值的基礎． 【典例2】　已知f(α)＝ . (1)化簡f(α)； (2)若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． [解]　(1)f(α)＝＝sinα·cosα. (2)由f(α)＝sinα·cosα＝可知， (cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cos

4、α＋sin2α ＝1－2sinα·cosα＝1－2×＝， 又∵<α<，∴cosα

5、簡公式．記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號看象限． [針對訓練] 2．已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于(　　) A．－ B. C．－ D. [解析]　sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ ＝＝， 又tanθ＝2，故原式＝＝. [答案]　D 3．若sinθ＝，則＋ 的值為________． [解析]　原式＝＋ ＝＋＝ ＝＝＝6. [答案]　6 考點三　三角函數的圖象與性質 函數y＝sinx，y＝cosx的圖象可用“五點法”作出，而識別函數的圖象可考慮特殊點及三角函數的性質，要熟記y＝sinx、y＝cosx的單調性，區(qū)分y＝si

6、nx及y＝tanx的周期及單調增區(qū)間，以圖助數，數形結合． 【典例3】　(1)函數f(x)＝在區(qū)間[－π，π]內的大致圖象是下列圖中的(　　) (2)若函數f(x)的定義域為R，最小正周期為2π，且滿足f(x)＝則f＝________. (3)已知f(x)＝sin2x＋cosx，x∈，則f(x)的值域為________． [解析]　(1)x∈[－π，π]故排除B，D，當x∈時，cosx<0，f(x)＝＝－tanx，故選C. (2)∵T＝2π，∴f＝f＝f＝cos(－)＝. (3)f(x)＝1－cos2x＋cosx＝－2＋. ∵x∈，∴cosx∈， ∴f(x)∈. [答案]

7、　(1)C　(2)　(3) (1)研究三角函數的圖象可結合三角函數的定義域、值域、單調區(qū)間、特殊點等研究． (2)研究三角函數的奇偶性、單調性、最值等要注意定義域的限制． [針對訓練] 4．函數f(x)＝的奇偶性是(　　) A．奇函數 B．偶函數 C．既是奇函數又偶函數 D．非奇非偶函數 [解析]　由題意，知sinx≠1，即f(x)的定義域為，此函數的定義域不關于原點對稱．∴f(x)是非奇非偶函數． [答案]　D 5．函數f(x)＝logcosx的單調遞增區(qū)間是___________． [解析]　由cosx>0得－＋2kπ

8、logcosx的單調遞增區(qū)間即為u＝cosx，x∈(k∈Z)的單調遞減區(qū)間，即2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z. 故函數f(x)＝logcosx的單調遞增區(qū)間為(k∈Z)． [答案]　(k∈Z) 課后作業(yè)(四十七) 復習鞏固 一、選擇題 1．下列函數中，周期為4π的是(　　) A．y＝sin4x B．y＝cos2x C．y＝tan D．y＝sin [解析]　D中：T＝＝4π，故選D. [答案]　D 2．若角600°的終邊上有一點(－4，a)，則a的值是(　　) A．－4 B．±4 C. D．4 [解析]　∵tan600°＝＝tan(540°＋60°)＝tan60°＝，∴

9、a＝－4. [答案]　A 3．若將函數y＝2sin的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應的函數為(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin [解析]　因為T＝＝π，＝， y＝2sin， 所以y＝2sin.故選D. [答案]　D 4．對于函數f(x)＝sin2x，下列選項中正確的是(　　) A．f(x)在上是遞增的 B．f(x)的圖象關于原點對稱 C．f(x)的最小正周期為2π D．f(x)的最大值為2 [解析]　因為f(－x)＝sin(－2x)＝－sin2x＝－f(x)，所以f(x)為奇函數，故f(x)的圖象關于原點對稱，選B

10、. [答案]　B 5．函數y＝2sin(x∈[0，π])的單調遞增區(qū)間是(　　) A. B. C. D. [解析]　y＝－2sin， 由＋2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)， 可得＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)， ∵x∈[0，π]，∴單調增區(qū)間為. [答案]　C 二、填空題 6．已知α∈，tanα＝2，則cosα＝_____________. [解析]　由tanα＝＝2，sin2α＋cos2α＝1，聯立得cos2α＝，由α∈知cosα<0，所以cosα＝－. [答案]?。? 7．函數y＝＋的定義域為______________． [解析]　依題意，得 ∴ 如圖

11、，可得函數的定義域為[－4，－π]∪[0，π]． [答案]　[－4，－π]∪[0，π] 8．若f(x)是R上的偶函數，當x≥0時，f(x)＝sinx，則f(x)的解析式是__________________． [解析]　任取x<0，則－x>0， ∴f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，又f(x)是偶函數， ∴f(－x)＝f(x)＝－sinx，故有f(x)＝ [答案]　f(x)＝ 三、解答題 9．已知tanα＝－. (1)求2＋sinαcosα－cos2α的值； (2)求 的值． [解]　(1)2＋sinαcosα－cos2α ＝ ＝ ＝， 把tanα＝－代

12、入，得 原式＝ ＝＝. (2)原式＝ ＝ ＝＝－＝－tanα， 把tanα＝－代入，得原式＝. 10．用“五點法”作出函數y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的簡圖，并回答下列問題： (1)觀察函數圖象，寫出滿足下列條件的x的區(qū)間． ①y>1；②y<1. (2)若直線y＝a與y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的圖象有兩個交點，求a的取值范圍． [解]　列表如下： x －π － 0 π sinx 0 －1 0 1 0 1－2sinx 1 3 1 －1 1 描點并將它們用光滑的曲線連接起來： (1)由圖象可知圖象在直線y＝1

13、上方部分時y>1，在直線y＝1下方部分時y<1， 所以①當x∈(－π，0)時，y>1；②當x∈(0，π)時，y<1. (2)如圖所示，當直線y＝a與y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的圖象有兩個交點時，1sin4. 所以|sin4－cos4|＝cos4－sin4.故選B. [答案]　B 1

14、2．函數y＝lncosx的大致圖象是(　　) [解析]　∵lncos＝lncos＝ln，若函數y＝f(x)在[0,1]上為單調遞減函數，則下列命題正確的是(　　) A．f(cosA)>f(cosB) B．f(sinA)>f(sinB) C．f(sinA)>f(cosB) D．f(sinA)，可得0

15、A)>f(cosB)，即C正確． [答案]　C 14．對于函數f(x)＝下列命題中正確的是(　　) A．該函數的值域是[－1,1] B．當且僅當x＝2kπ＋(k∈Z)時，函數取得最大值1 C．當且僅當x＝2kπ－(k∈Z)時，函數取得最小值－1 D．當且僅當2kπ＋π1，即a>2時，g(a)＝－4a＋1. ∴g(a)＝ (2)g(a)＝，則a＝－1. ∴f(x)＝22＋，∴f(x)max＝5. 11