（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教B版必修2

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1、（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教B版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.整合知識結(jié)構(gòu)，形成知識網(wǎng)絡(luò)、深化所學(xué)知識.2.會畫幾何體的直觀圖，并能計(jì)算幾何體的表面積和體積.3.熟練掌握線線、線面、面面間的平行與垂直關(guān)系． 1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行． 棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形． 棱臺是棱錐被平行于底面的平面所截而成的． 這三種幾何體都是多面體． (2)圓柱、圓錐、圓臺、球是由平面圖形矩形、直角三角形、直角梯形、半圓面旋轉(zhuǎn)而成的，它

2、們都稱為旋轉(zhuǎn)體．在研究它們的結(jié)構(gòu)特征以及解決應(yīng)用問題時(shí)，常需作它們的軸截面或截面． (3)由柱、錐、臺、球組成的簡單組合體，研究它們的結(jié)構(gòu)特征實(shí)質(zhì)是將它們分解成多個(gè)基本幾何體． 2．空間幾何體的直觀圖 斜二測畫法為： 主要用于水平放置的平面圖形或立體圖形的畫法．它的主要步驟：①畫軸；②畫平行于x、y、z軸的線段分別為平行于x′、y′、z′軸的線段；③截線段：平行于x、z軸的線段的長度不變，平行于y軸的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄? 3．幾何體的表面積和體積的有關(guān)計(jì)算 (1)常見幾何體的側(cè)面積和體積的計(jì)算公式 面　積 體　積 圓柱 S側(cè)＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圓錐

3、 S側(cè)＝πrl V＝Sh＝πr2h ＝πr2 圓臺 S側(cè)＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h ＝πh(r＋r＋r1r2) 直棱柱 S側(cè)＝ch V＝Sh 正棱錐 S側(cè)＝ch′ V＝Sh 正棱臺 S側(cè)＝(c＋c′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 (2)求幾何體體積常用技巧 ①等體積法；②割補(bǔ)法． 4．平行關(guān)系 (1)基本性質(zhì)4 平行于同一條直線的兩條直線平行．即如果直線a∥b，c∥b，那么a∥c. (2)直線與平面平行的判定與性質(zhì) 定理 條件 結(jié)論 符號語言 判定 如果不在一個(gè)平面的一條直線和

4、平面內(nèi)的一條直線平行 這條直線和這個(gè)平面平行 l?α，m?α， l∥m?l∥α 性質(zhì) 如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交 這條直線和兩平面的交線平行 l∥α，l?β， α∩β＝m?l∥m (3)平面與平面平行的判定 ①文字語言：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行． ②符號語言：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α. ③圖形語言：如圖所示． (4)平面與平面平行的性質(zhì)定理 ①文字語言：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行． ②符號語言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a

5、∥b. ③圖形語言：如圖所示． ④作用：證明兩直線平行． 5．垂直關(guān)系 (1)直線與平面垂直的判定定理 定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直． 推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面． (2)直線與平面垂直的性質(zhì) 性質(zhì)1：如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直． 符號表示：?a⊥b. 性質(zhì)2：如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行． (3)面面垂直的判定定理 如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直． (4)面面垂直的性質(zhì)定理 如果兩個(gè)平面互

6、相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面． 6．共面與異面直線 (1)共面：空間中的幾個(gè)點(diǎn)或幾條直線，如果都在同一平面內(nèi)，我們就說它們共面． (2)異面直線：既不平行又不相交的直線． 1．菱形的直觀圖仍是菱形．(　×　) 2．簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差．(　√　) 3．夾在兩平行平面的平行線段相等．(　√　) 類型一　空間幾何體的表面積與體積 例1　如圖，從底面半徑為2a，高為a的圓柱中，挖去一個(gè)底面半徑為a且與圓柱等高的圓錐，求圓柱的表面積S1與挖去圓錐后的幾何體的表面積S2之比． 解　由題意知，S1＝2π×2a×a＋

7、2π×(2a)2 ＝(4＋8)πa2， S2＝S1＋πa－πa2＝(4＋9)πa2， ∴S1∶S2＝(4＋8)∶(4＋9)． 反思與感悟　空間幾何體的體積與表面積的計(jì)算方法 (1)等積變換法：三棱錐也稱為四面體，它的每一個(gè)面都可作底面來處理，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行換底等積變換便于問題的求解． (2)割補(bǔ)法：像求平面圖形的面積一樣，割補(bǔ)法是求幾何體體積的一個(gè)重要方法，“割”就是將幾何體分割成幾個(gè)熟悉的柱、錐、臺體或它們的組合體；“補(bǔ)”就是通過補(bǔ)形，使它轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體．總之，割補(bǔ)法的核心思想是將不熟悉的幾何體轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體來解決． (3)展開法：把簡單幾何體沿一條側(cè)棱或母線展開成平面圖形

8、，這樣便把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，可以有效地解決簡單空間幾何體的表面積問題或側(cè)面上(球除外)兩點(diǎn)間的距離問題． (4)構(gòu)造法：當(dāng)探究某些幾何體性質(zhì)較困難時(shí)，我們可以將它放置在我們熟悉的幾何體中，如正方體等這些對稱性比較好的幾何體，以此來研究所求幾何體的性質(zhì)． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，求三棱錐A1－AB1D1的高． 解　設(shè)三棱錐A1－AB1D1的高為h， 則＝h××(a)2＝. 又＝＝a×a2＝， 所以＝，所以h＝a. 所以三棱錐A1－AB1D1的高為a. 類型二　空間中的平行問題 例2　如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD—A

9、1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點(diǎn)． 求證：(1)GE∥平面BB1D1D； (2)平面BDF∥平面B1D1H. 證明　(1)取B1D1中點(diǎn)O，連接GO，OB， 易證OG綊B1C1， BE綊B1C1， ∴OG綊BE，四邊形BEGO為平行四邊形． ∴OB∥GE. ∵OB?平面BB1D1D， GE?平面BB1D1D， ∴GE∥平面BB1D1D. (2)由正方體性質(zhì)得B1D1∥BD， ∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF， ∴B1D1∥平面BDF. 連接HB，D1F， 易證HBFD1是平行四邊形，得HD1∥BF. ∵HD1?平面BDF，B

10、F?平面BDF， ∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1， ∴平面BDF∥平面B1D1H. 反思與感悟　(1)判斷線線平行的方法 ①利用定義：證明線線共面且無公共點(diǎn)． ②利用平行公理：證明兩條直線同時(shí)平行于第三條直線． ③利用線面平行的性質(zhì)定理： a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b. ④利用面面平行的性質(zhì)定理： α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. ⑤利用線面垂直的性質(zhì)定理： a⊥α，b⊥α?a∥b. (2)判定線面平行的方法 ①利用定義：證明直線a與平面α沒有公共點(diǎn)，往往借助反證法． ②利用直線和平面平行的判定定理： a?α，b?α，a∥b?a∥α.

11、 ③利用面面平行的性質(zhì)的推廣： α∥β，a?β?a∥α. (3)判定面面平行的方法 ①利用面面平行的定義：兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)． ②利用面面平行的判定定理： a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β. ③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即a⊥α，a⊥β?α∥β. ④平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即α∥γ，β∥γ?α∥β. 跟蹤訓(xùn)練2　如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)，N是EC的中點(diǎn)，求證：平面DMN∥平面ABC. 證明　∵M(jìn)，N分別是EA與EC的中點(diǎn)，∴MN∥AC， 又∵AC?平面ABC，MN?

12、平面ABC， ∴MN∥平面ABC， ∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC， ∴BD∥EC， ∵N為EC中點(diǎn)，EC＝2BD，∴NC綊BD， ∴四邊形BCND為矩形， ∴DN∥BC，又∵DN?平面ABC，BC?平面ABC， ∴DN∥平面ABC，又∵M(jìn)N∩DN＝N， ∴平面DMN∥平面ABC. 類型三　空間中的垂直關(guān)系 例3　如圖，已知直角梯形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，且AE⊥CD，又G，F(xiàn)分別為DA，EC的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折起，使得DE⊥EC. (1)求證：AE⊥平面CDE； (2)求證：FG∥平面BCD； (3)在線段AE上找一點(diǎn)R，使得平面BDR⊥平面DC

13、B，并說明理由． (1)證明　由已知得DE⊥AE，AE⊥EC. ∵DE∩EC＝E，DE，EC?平面DCE， ∴AE⊥平面CDE. (2)證明　取AB的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H， ∴GH∥BD，F(xiàn)H∥BC. ∵GH?平面BCD，BD?平面BCD， ∴GH∥平面BCD. 同理，F(xiàn)H∥平面BCD， 又GH∩FH＝H， ∴平面FHG∥平面BCD， ∵GF?平面FHG， ∴GF∥平面BCD. (3)解　取線段AE的中點(diǎn)R， DC的中點(diǎn)M，DB的中點(diǎn)S， 連接MS，RS，BR，DR，EM， 則MS綊BC. 又RE綊BC， ∴MS綊RE， ∴四邊形MERS是平行四邊形

14、， ∴RS∥ME. 在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中點(diǎn)， ∴EM⊥DC. 由(1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC， ∴BC⊥平面CDE. ∵EM?平面CDE，∴EM⊥BC. ∵BC∩CD＝C，∴EM⊥平面BCD. ∵EM∥RS，∴RS⊥平面BCD. ∵RS?平面BDR， ∴平面BDR⊥平面DCB. 反思與感悟　空間中垂直關(guān)系的判定方法 (1)判定線線垂直的方法 利用線面垂直的性質(zhì)(若a⊥α，b?α，則a⊥b)． (2)判定線面垂直的方法 ①線面垂直定義(一般不易驗(yàn)證任意性)． ②線面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)．

15、③平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b，b⊥α?a⊥α)． ④面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)． ⑤面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)． (3)面面垂直的判定方法 利用面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖，在△ABC中，AC＝BC＝AB，四邊形ABED是邊長為a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)． (1)求證：GF∥平面ABC； (2)求證：平面EBC⊥平面ACD； (3)求幾何體A－DEBC的體積V. (1)證明　如圖，取BE的中點(diǎn)H，連接HF，GH.因?yàn)镚，F(xiàn)分別是EC和BD的中

16、點(diǎn)，所以HG∥BC，HF∥DE. 又因?yàn)樗倪呅蜛DEB為正方形， 所以DE∥AB，從而HF∥AB. 所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC. 又因?yàn)镚H∩HF＝H， 所以平面HGF∥平面ABC，又GF?平面HGF， 所以GF∥平面ABC. (2)證明　因?yàn)樗倪呅蜛DEB為正方形， 所以EB⊥AB. 又因?yàn)槠矫鍭BED⊥平面ABC， 平面ABED∩平面ABC＝AB， 所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC. 又因?yàn)镃A2＋CB2＝AB2， 所以AC⊥BC. 又因?yàn)锽E∩BC＝B， 所以AC⊥平面BCE. 又因?yàn)锳C?平面ACD， 從而平面EBC⊥平面ACD.

17、 (3)解　取AB的中點(diǎn)N，連接CN，因?yàn)锳C＝BC， 所以CN⊥AB，且CN＝AB＝a. 又平面ABED⊥平面ABC， 平面ABED∩平面ABC＝AB， 所以CN⊥平面ABED. 因?yàn)镃－ABED是四棱錐， 所以VC－ABED＝SABED·CN＝a2·a＝a3. 即幾何體A－DEBC的體積V＝a3. 1．已知圓錐的母線長為10 cm，側(cè)面積為60π cm2，則此圓錐的體積為(　　) A．96π cm3 B．48π cm3 C．96π cm3 D．48π cm3 答案　A 解析　圓錐的側(cè)面積為πrl＝10πr＝60π，得r＝6. 則h＝＝＝8， 所以圓錐的

18、體積為πr2h＝π×62×8＝96π. 2．若l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是(　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共點(diǎn)?l1，l2，l3共面 答案　B 解析　當(dāng)l1⊥l2，l2⊥l3時(shí)，l1也可能與l3相交或異面，故A錯(cuò)；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，B正確；當(dāng)l1∥l2∥l3時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三條側(cè)棱，故C錯(cuò)；l1，l2，l3共點(diǎn)時(shí)，l1，l2，l3未必共面，如正方體中從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，故D錯(cuò)． 3．設(shè)

19、有不同的直線m，n和不同的平面α，β，下列四個(gè)命題中，正確的是(　　) A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β C．若α⊥β，m?α，則m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α 答案　D 解析　選項(xiàng)A中當(dāng)m∥α，n∥α?xí)r，m與n可以平行、相交、異面；選項(xiàng)B中滿足條件的α與β可以平行，也可以相交；選項(xiàng)C中，當(dāng)α⊥β，m?α?xí)r，m與β可以垂直，也可以平行等．故選項(xiàng)A、B、C均不正確． 4.如圖所示，ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP＝，過P，M，N

20、的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________. 答案　a 解析　∵M(jìn)N∥平面AC，平面PMNQ∩平面AC＝PQ， ∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝， 故PQ＝＝DP＝. 5.如圖，在棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求證：(1)直線PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC. 證明　(1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)， 所以DE∥PA. 又因?yàn)镻A?平面DEF，DE?平面DEF， 所以直線PA∥平面DEF. (2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA＝

21、6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4. 又因?yàn)镈F＝5，故DF2＝DE2＋EF2， 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF. 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC. 因?yàn)锳C∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC， 所以DE⊥平面ABC. 又DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC. 1．研究空間幾何體，需在平面上畫出幾何體的直觀圖或三視圖，由幾何體的直觀圖可畫它的三視圖，由三視圖可得到其直觀圖，同時(shí)可以通過作截面把空間幾何問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題來解決． 另外，圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式，我們都是通過展開圖、化空間為平面的方

22、法得到的，求球的切接問題通常也是由截面把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決． 2．轉(zhuǎn)化思想是證明線面平行與垂直的主要思路，其關(guān)系為 一、選擇題 1.如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且＝＝，則(　　) A．EF與GH互相平行 B．EF與GH異面 C．EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上 D．EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上 答案　D 解析　因?yàn)镕，G分別是BC，CD上的點(diǎn)，且＝＝， 所以GF∥BD，并且GF＝BD， 因?yàn)辄c(diǎn)E，H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，所以EH∥BD， 并且EH＝BD

23、， 所以EH∥GF，并且EH≠GF， 所以EF與GH相交，設(shè)其交點(diǎn)為M，所以M∈面ABC， 同理M∈面ACD， 又面ABC∩面DAC＝AC， 所以M在直線AC上．故選D. 2．下列命題中假命題是(　　) A．垂直于同一條直線的兩條直線相互垂直 B．若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行 C．若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直 D．若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的相交直線分別平行，那么這兩個(gè)平面相互平行 答案　A 解析　垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、相交或異面，A錯(cuò)誤；選A. 3．如圖，在透明塑料制成的長方體A

24、BCD－A1B1C1D1容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個(gè)說法： ①有水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形EFGH的面積不改變； ③棱A1D1始終與水面EFGH平行；④當(dāng)E∈AA1時(shí)，AE＋BF是定值． 其中正確的說法是(　　) A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 答案　C 解析　①有水的部分始終呈棱柱狀：從棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判斷①正確；②水面四邊形EFGH的面積不改變：EF是可以變化的，EH不變的，所以面積是改變的，②不正確；③棱A1D1始終與水面EFGH平行：由直線

25、與平面平行的判定定理及A1D1∥EH，可判斷③正確；④當(dāng)E∈AA1時(shí)，AE＋BF是定值：水的體積是定值，底面面積不變，所以④正確．故選C. 4．已知m，n是兩條不重合的直線，α，β，γ是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題： ①若m⊥α，m⊥β，則α∥β； ②若m?α，n?β，m∥n，則α∥β； ③若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β； ④若m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥β. 其中真命題是(　　) A．①③ B．①② C．③④ D．①④ 答案　D 解析　對于①，垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，正確；對于②，不滿足平面與平面平行的判斷定理，錯(cuò)誤；對于

26、③，平面α，β可能相交，錯(cuò)誤；對于④，滿足平面α與平面β平行，正確． 5．湖面上浮著一個(gè)球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰上留下一個(gè)冰面直徑為24 cm，深為8 cm的空穴，則這個(gè)球的半徑為(　　) A．13 cm B．26 cm C．13 cm D．2 cm 答案　A 解析　冰面空穴是球的一部分，截面圖如圖所示，設(shè)球心為O，冰面圓的圓心為O1，球半徑為R， 由圖知OB＝R，O1B＝AB＝12， OO1＝OC－O1C＝R－8， 在Rt△OO1B中，由勾股定理R2＝(R－8)2＋122， 解得R＝13(cm)． 6．過球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的

27、面積與球的表面積的比值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如圖所示是過球心的截面圖， r＝ ＝R， ＝＝. 7.如圖所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為1，高為8，則一質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路徑的長為(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 答案　A 解析　如圖所示，將兩個(gè)三棱柱的側(cè)面沿側(cè)棱AA1展開并拼接，則最短路徑為l＝＝10. 8．如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A、B的一點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　) A．AE⊥CE B．BE⊥DE C．DE⊥

28、平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE 答案　C 解析　由AB是底面圓的直徑，則∠AEB＝90°， 即AE⊥EB. ∵四邊形ABCD是圓柱的軸截面， ∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB. ∴BE⊥AD，AD∩AE＝A， 因此BE⊥平面ADE. 同理可得：AE⊥CE，平面BCE⊥平面ADE. 可得A，B，D正確． 而DE⊥平面CEB不正確．故選C. 二、填空題 9．一個(gè)正四面體木塊如圖所示，點(diǎn)P是棱VA的中點(diǎn)，過點(diǎn)P將木塊鋸開，使截面平行于棱VB和AC，若木塊的棱長為a，則截面面積為________． 答案　 解析　在平面VAC內(nèi)作直線PD∥AC，交VC于D，

29、在平面VBA內(nèi)作直線PF∥VB，交AB于F，過點(diǎn)D作直線DE∥VB，交BC于E，連接EF. ∵PF∥DE， ∴P，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，且面PDEF與VB和AC都平行， 則四邊形PDEF為邊長為的正方形， 故其面積為. 10.一個(gè)水平放置的圓柱形儲油桶(如圖所示)，桶內(nèi)有油部分所在圓弧占底面圓周長的，則當(dāng)油桶直立時(shí)，油的高度與桶的高度的比值是________． 答案　－ 解析　設(shè)圓柱桶的底面半徑為R，高為h， 油桶直立時(shí)油面的高度為x， 由題意知，油部分所在圓弧對應(yīng)的扇形的圓心角為， 則h＝πR2x，所以＝－. 11．已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，

30、C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為________． 考點(diǎn)　球的表面積 題點(diǎn)　與外接、內(nèi)切有關(guān)球的表面積計(jì)算問題 答案　144π 解析　如圖所示，設(shè)球的半徑為R， ∵∠AOB＝90°， ∴S△AOB＝R2. ∵V三棱錐O－ABC＝V三棱錐C－AOB， 而△AOB的面積為定值， ∴當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，三棱錐O－ABC的體積最大， ∴當(dāng)動點(diǎn)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O－ABC的體積最大， 此時(shí)V三棱錐O－ABC＝V三棱錐C－AOB＝×R2×R＝R3＝36， 解得R＝6， 則球O的表面積為S＝4π

31、R2＝144π. 三、解答題 12．已知三棱錐O—ABC的頂點(diǎn)A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，∠AOB＝120°，當(dāng)△AOC與△BOC的面積之和最大時(shí)，求三棱錐O—ABC的體積． 解　設(shè)球O的半徑為R， 因?yàn)镾△AOC＋S△BOC＝R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)， 所以當(dāng)∠AOC＝∠BOC＝90°時(shí)， S△AOC＋S△BOC取得最大值，此時(shí)OA⊥OC. OB⊥OC，OB∩OA＝O，OA，OB?平面AOB， 所以O(shè)C⊥平面AOB， 所以V三棱錐O—ABC＝V三棱錐C—OAB ＝OC·OA·OBsin∠AOB ＝R3sin∠AOB＝. 13．如圖，在三棱柱

32、ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，A1B1⊥BC，BC＝1，AA1＝AC＝2，E，F(xiàn)分別為A1C1，BC的中點(diǎn)． (1)求證：C1F∥平面EAB； (2)求三棱錐A－BCE的體積． (1)證明　方法一　取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G. ∵G，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)， ∴FG∥AC，且FG＝AC. 又∵AC∥A1C1，且AC＝A1C1， E為A1C1的中點(diǎn)， ∴FG∥EC1，且FG＝EC1， ∴四邊形FGEC1為平行四邊形， ∴C1F∥EG. 又∵EG?平面ABE，C1F?平面ABE， ∴C1F∥平面ABE. 方法二　取AC中點(diǎn)H，連接C1H，F(xiàn)H，

33、 則C1E∥AH，且C1E＝AH， ∴四邊形C1EAH為平行四邊形， ∴C1H∥EA. 又∵EA?平面ABE，C1H?平面ABE， ∴C1H∥平面ABE， ∵H、F分別為AC、BC的中點(diǎn)， ∴HF∥AB. 又∵AB?平面ABE，F(xiàn)H?平面ABE， ∴FH∥平面ABE. 又∵C1H∩FH＝H，C1H?平面C1HF，F(xiàn)H?平面C1HF， ∴平面C1HF∥平面ABE. 又∵C1F?平面C1HF， ∴C1F∥平面ABE. (2)解　∵AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， ∴AB＝＝， ∴三棱錐A－BCE的體積為 VA－BCE＝VE－ABC＝S△ABC·AA1 ＝×

34、××1×2＝. 四、探究與拓展 14．如圖，在三棱錐V－ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，則下列結(jié)論中一定成立的是________． ①AC＝BC；②VC⊥VD；③AB⊥VC；④S△VCD·AB＝S△ABC·VO. 答案?、佗邰? 解析　因?yàn)閂A＝VB，AD＝BD， 所以VD⊥AB. 因?yàn)閂O⊥平面ABC，AB?平面ABC， 所以VO⊥AB. 又VO∩VD＝V， 所以AB⊥平面VCD. 又CD?平面VCD，VC?平面VCD， 所以AB⊥VC，AB⊥CD. 又AD＝BD， 所以AC＝BC(線段垂直平分線的性質(zhì))． 因?yàn)閂O⊥平面ABC，

35、 所以VV－ABC＝S△ABC·VO. 因?yàn)锳B⊥平面VCD， 所以VV－ABC＝VB－VCD＋VA－VCD ＝S△VCD·BD＋S△VCD·AD ＝S△VCD·(BD＋AD) ＝S△VCD·AB， 所以S△ABC·VO＝S△VCD·AB， 即S△VCD·AB＝S△ABC·VO. 故①③④正確． 15．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC＝BC＝AA1＝a，∠ACB＝90°，D是A1B1中點(diǎn)． (1)求證：C1D⊥平面A1B1BA； (2)請問，當(dāng)點(diǎn)F在BB1上什么位置時(shí)，會使得AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論． (1)證明　∵A1C1＝B1C1，∴△A1B1C1為等腰三角形， 又∵A1D＝DB1，∴C1D⊥A1B1， ∵C1D⊥A1A，AA1∩A1B1＝A1， ∴C1D⊥平面A1B1BA. (2)解　由(1)可得C1D⊥AB1， 又要使AB1⊥平面C1DF，只要DF⊥AB1即可， 又∵∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，且AC＝BC＝AA1＝a， ∴A1B1＝a， ∵△AA1B1∽△DB1F， ∴＝，∴B1F＝a. 即當(dāng)F點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，會使AB1⊥平面C1DF.