5、中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解．
(2)與角度有關的幾何概型的求法
①當涉及射線的轉動，扇形中有關落點區(qū)域問題時，常以角度的大小作為區(qū)域度量來計算概率．
②與角度有關的幾何概型的概率計算公式為
P(A)＝.
③解決此類問題的關鍵是事件A在區(qū)域角度內是均勻的，進而判定事件的發(fā)生是等可能的．
④對于一個具體問題，能否用幾何概型的概率公式計算事件的概率，關鍵在于能否將問題幾何化，也可根據(jù)實際問題的具體情況，選取合適的參數(shù)建立適當?shù)淖鴺讼担诖嘶A上，將試驗的每一個結果一一對應于該坐標系中的每一點，使得全體結果構成一個可度量的區(qū)域．
⑤如果試驗結果涉及的區(qū)域可用角表示，則可
6、以判定需利用與角度有關的幾何概型概率的計算公式解決．對于此類題，往往角的始邊是固定的，只要考慮終邊位置的情況即可．
[針對訓練1] (1)在區(qū)間[－1,2]上隨機取一個數(shù)x，則|x|≤1的概率為________．
(2)某汽車站每隔15 min有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求一位乘客到達車站后等車時間超過10 min的概率．
[解析] (1)∵區(qū)間[－1,2]的長度為3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而區(qū)間[－1,1]的長度為2，x取每個值為隨機的，∴在[－1,2]上取一個數(shù)x，|x|≤1的概率P＝.
(2)設上一輛車于時刻T1到達，而下一輛車于時刻T2到達，則線段T1
7、T2的長度為15，設T是線段T1T2上的點，且T1T＝5，T2T＝10，如圖所示．
記“等車時間超過10 min”為事件A，則當乘客到達車站的時刻t落在線段T1T上(不含端點)時，事件A發(fā)生．
∴P(A)＝＝＝，
即該乘客等車時間超過10 min的概率是.
[答案] (1) (2)
題型二與面積有關的幾何概型問題
【典例2】 (1)如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是( )
A. B. C. D.
(2) 如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上
8、，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數(shù)f(x)＝的圖象上．若在矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)不妨設正方形的邊長為2，則正方形的面積為4，正方形的內切圓的半徑為1，面積為π.由于正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，所以黑色部分的面積為，故此點取自黑色部分的概率為＝，故選B.
(2)易知點C的坐標為(1,2)，點D的坐標為(－2,2)，所以矩形ABCD的面積為6，陰影部分的面積為，故所求概率為.
[答案] (1)B (2)B
(1)與面積有關的幾何概型的概率公式
如果
9、試驗的結果所構成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計算公式為：
P(A)＝.
(2)解與面積相關的幾何概型問題的三個關鍵點
①根據(jù)題意確認是否是與面積有關的幾何概型問題；
②找出或構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何特征計算相關面積；
③套用公式，從而求得隨機事件的概率．
[針對訓練2] 如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點處各有一個通信基站，假設其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內無其他信號來源，基站工作正常)．若在該矩形區(qū)域內隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是( )
A．1－ B.－1
C．2－ D.
[解析] 由幾何概
10、型知所求的概率P＝＝＝1－.
[答案] A
題型三與體積有關的幾何概型的問題
【典例3】 一個多面體的直觀圖和三視圖如下圖所示，M是AB的中點，一只蜻蜓在幾何體ADF—BCE內自由飛翔，則它飛入幾何體F—AMCD內的概率為( )
A. B. C. D.
[解析] 由三視圖可知DA，DC，DF兩兩垂直，且DA＝DC＝DF＝a，
∴VF—AMCD＝S梯形AMCD·DF＝a3.
又VADF—BCE＝a3，
∴蜻蜓飛入幾何體F—AMCD內的概率為P＝＝.
[答案] C
體積型幾何概型問題解法探秘
(1)如果試驗的全部結果所構成的區(qū)域可用體積來度量，我
11、們要結合問題的背景，選擇好觀察角度，準確找出基本事件所占的體積及事件A占的體積．其概率的計算公式為：P(A)＝.
(2)解決此類問題一定要注意幾何概型的條件，并且要特別注意所求的概率是與體積有關還是與長度有關，不要將二者混淆．
[針對訓練3] (1)一只蝴蝶(體積忽略不計)在一個長、寬、高分別為5,4,3的長方體內自由飛行，若蝴蝶在飛行過程中始終保持與長方體的6個面的距離均大于1，則稱其為“安全飛行”，那么蝴蝶“安全飛行”的概率為( )
A. B.
C. D.
(2)一個靶子如圖所示，隨機地擲一個飛鏢扎在靶子上，假設飛鏢既不會落在靶心，也不會落在陰影部分與空白的交線上，現(xiàn)隨機向靶擲
12、飛鏢30次，則飛鏢落在陰影部分的次數(shù)約為( )
A．5 B．10
C．15 D．20
[解析] (1)長方體的體積為5×4×3＝60，蝴蝶“安全飛行”區(qū)域的體積為3×2×1＝6.根據(jù)幾何概型的概率計算公式，可得蝴蝶“安全飛行”的概率為＝.
(2)陰影部分對應的圓心角度數(shù)和為60°，所以飛鏢落在陰影內的概率為＝，飛鏢落在陰影內的次數(shù)約為30×＝5.
[答案] (1)A (2)A
課堂歸納小結
1．幾何概型適用于試驗結果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型．
2．幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關的題目．
3．注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別.
4.理解如
13、何將實際問題轉化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為
P(A)＝.
1．將一條5米長的繩子隨機地切斷為兩段，則兩段繩子都不短于1米的概率為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意，只要在距離兩端分別至少為1米處剪斷，滿足題意的位置有3米，由幾何概型公式得到所求概率為＝，故選C.
[答案] C
2．如圖，正方形ABCD的內切圓中黑色部分和白色部分關于正方形對邊中點的連線對稱，在正方形內隨機取一點，則此點取自灰色部分的概率是( )
A. B.
C. D．4
[解析] 設正方形的邊長為2，根據(jù)幾何概型概率計算公式，此點取自灰色部分
14、的概率P＝＝.故選A.
[答案] A
3．在一球內有一棱長為1的內接正方體，一點在球內運動，則此點落在正方體內部的概率為( )
A. B. C. D.
[解析] 由題意可得正方體的體積為V1＝1.又球的直徑是正方體的體對角線，故球的半徑R＝.球的體積V2＝
πR3＝π.則此點落在正方體內的概率為P＝＝＝.
[答案] D
4．函數(shù)f(x)＝2x(x<0)，其值域為D，在區(qū)間(－1,2)上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是( )
A. B. C. D.
[解析] 函數(shù)f(x)＝2x(x<0)的值域為D＝(0,1)，長度為1，區(qū)間(－1,2)的長度為3，所以概率為.
15、
[答案] B
5．如圖，A是圓O上固定的一點，在圓上其他位置任取一點A′，連接AA′，它是一條弦，它的長度小于或等于半徑長度的概率為( )
A. B.
C. D.
[解析] 如圖，當AA′的長度等于半徑長度時∠AOA′＝，由圓的對稱性及幾何概型得P＝＝.故選C.
[答案] C
課后作業(yè)(二十一)
(時間45分鐘)
學業(yè)水平合格練(時間25分鐘)
1．已知函數(shù)f(x)＝2x，若從區(qū)間[－2,2]上任取一個實數(shù)x，則使不等式f(x)>2成立的概率為( )
A. B. C. D.
[解析] 這是一個幾何概型，其中基本事件的總數(shù)構成的區(qū)域對應的長度是2－(
16、－2)＝4，由f(x)>2可得x>1，所以滿足題設的基本事件構成的區(qū)域對應的長度是2－1＝1，則使不等式f(x)>2成立的概率為.
[答案] A
2．某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40 s．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15 s才出現(xiàn)綠燈的概率為( )
A. B. C. D.
[解析] 記“至少需要等待15 s才出現(xiàn)綠燈”為事件A，則P(A)＝＝.
[答案] B
3．已知ABCD為長方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點，在長方形ABCD內隨機取一點P，則取到的點P到O的距離大于1的概率為( )
A. B．1－ C. D
17、．1－
[解析] 如圖所示，設取到的點P到O的距離大于1為事件M，則點P應在陰影部分內，陰影部分的面積為2×1－×π×12＝2－，所以P(M)＝＝1－.
[答案] B
4．在長為10 cm的線段AB上任取一點P，并以線段AP為邊作正方形，這個正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間的概率為( )
A. B. C. D.
[解析] 在線段AB上任取一點P，事件“正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間”等價于事件“5＜|AP|＜7”，則所求概率為＝.
[答案] B
5．如圖所示，有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，向上面扔一顆小玻璃球，若小球落在陰影部分，則可中
18、獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是( )
[解析] A中獎概率為，B中獎概率為，C中獎概率為，D中獎概率為.
[答案] A
6．記函數(shù)f(x)＝的定義域為D.在區(qū)間[－4,5]上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是________．
[解析] 由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，則D＝[－2,3]，則所求概率為＝.
[答案]
7．水池的容積是20 m3，水池里的水龍頭A和B的水流速度都是1 m3/h，它們一晝夜(0～24 h)內隨機開啟，則水池不溢水的概率為________．
[解析] 如圖所示，橫坐標和縱坐標分別表示A，B兩水龍頭開啟的時間，則陰影部分是滿足不溢水
19、的對應區(qū)域，因為正方形區(qū)域的面積為24×24，陰影部分的面積是×20×20，所以所求的概率P＝＝.
[答案]
8．已知方程x2＋3x＋＋1＝0，若p在[0,10]中隨機取值，則方程有實數(shù)根的概率為________．
[解析] 因為總的基本事件是[0,10]內的全部實數(shù)，所以基本事件總數(shù)為無限個，符合幾何概型的條件，事件對應的測度為區(qū)間的長度，總的基本事件對應區(qū)間[0,10]，長度為10，而事件“方程有實數(shù)根”應滿足Δ≥0，即9－4×1×≥0，得p≤5，所以對應區(qū)間[0,5]，長度為5，所以所求概率為＝.
[答案]
9．已知點M(x，y)滿足|x|≤1，|y|≤1.求點M落在圓
20、(x－1)2＋(y－1)2＝1的內部的概率．
[解] 如圖所示，區(qū)域Ω為圖中的正方形，
正方形的面積為4，且陰影部分是四分之一圓，其面積為π，則點M落在圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的內部的概率為＝.
10．在街道旁邊有一游戲：在鋪滿邊長為9 cm的正方形塑料板的寬廣地面上，擲一枚半徑為1 cm的小圓板．規(guī)則如下：每擲一次交5角錢，若小圓板壓在邊上，可重擲一次；若擲在正方形內，需再交5角錢才可玩；若壓在正方形塑料板的頂點上，可獲得一元錢．試問：
(1)小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少？
(2)小圓板壓在塑料板頂點上的概率是多少？
[解] (1)如圖(1)所示，因為O落在正方
21、形ABCD內任何位置是等可能的，小圓板與正方形塑料板ABCD的邊相交接是在圓板的中心O到與它靠近的邊的距離不超過1 cm時，所以O落在圖中陰影部分時，小圓板就能與塑料板ABCD的邊相交接，這個范圍的面積等于92－72＝32(cm2)，因此所求的概率是＝.
(2)小圓板與正方形的頂點相交接是在圓心O與正方形的頂點的距離不超過小圓板的半徑1 cm時，如圖(2)陰影部分，四塊合起來面積為π cm2，故所求概率是.
應試能力等級練(時間20分鐘)
11．在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x＋y≥”的概率，p2為事件“|x－y|≤”的概率，p3為事件“xy≤”的概率，則(
22、)
A．p1
23、y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交，則有圓心到直線的距離d＝<3，
即－S△ABC，所以|PB|>|AB|，故△PBC的面積大于的概率是.
[答案]
14．已知0
24、由題知所有基本事件構成的集合為Ω＝{(x，y)|0
2019-2020學年高中數(shù)學 第3章 概率 3-3-1 幾何概型學案 新人教A版必修3
