電路中相量分析法的基本依據(jù)

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1、電路中相量分析法的基本依據(jù) 摘要：相量分析法是正弦穩(wěn)態(tài)電路的一種分析方法。在此，闡述了相量分析法的意義及其基本依據(jù)的重要性。根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)，證明了相量法的基本依據(jù)。 關(guān)鍵詞：相量分析法；LTI系統(tǒng) ；正弦信號 中圖分類號： TM131.4 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 1. 相量分析法的基本依據(jù)及問題的提出 在電路分析中，關(guān)于正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法，有時域分析法和相量分析法。時域分析法需要作三角運算，求解微分方程，十分繁瑣。而相量分析法用相量（復(fù)數(shù)）表示正弦量，從而將正弦量之間的運算轉(zhuǎn)化為相量（復(fù)數(shù)）的代數(shù)

2、運算，大大簡化了正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析。 因為相量只包含幅值和相位兩個要素，無法反映頻率的信息，如果穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的頻率有變化，則相量分析法就無法應(yīng)用了。所以，應(yīng)用相量分析法的基本依據(jù)是：在電阻、電感和電容構(gòu)成的線性時不變電路系統(tǒng)中，如果激勵是單一頻率的正弦電壓或電流，那么穩(wěn)態(tài)時該電路中所有支路的電流，或任意元件上的電壓，均是具有相同頻率的正弦電流或電壓，不同的僅僅是它們的幅值和相位。[1] 在中職院?！峨姽W(xué)》和大學(xué)《電路分析基礎(chǔ)》課程中，大量使用了相量分析法，對這一方法的基本依據(jù)卻并沒有給予詳細(xì)闡述和證明。本文利用線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)，給出了相量法的基本依據(jù)（下稱定理）的一種證明方法。

3、 2. 證明過程 電路分析中研究的電路系統(tǒng)，是由線性元件電阻、電感和電容組成，元件參數(shù)不隨時間變化，是一個實際存在的線性時不變電路系統(tǒng)，它自然具有線性時不變系統(tǒng)（ linear time-invariant system，以下簡稱LT I系統(tǒng)）的各種性質(zhì)。由信號與系統(tǒng)的理論，一個LTI系統(tǒng)可由它的單位沖激響應(yīng)h(t)完全表征，且系統(tǒng)對任意信號e(t)激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為e(t)和h(t)的卷積，用e(t)h(t)表示。[3] 下面，先給出LTI系統(tǒng)的兩個性質(zhì)： 性質(zhì)1：一個實際物理存在的LTI系統(tǒng)，如果輸入信號是一個復(fù)激勵信號（即激勵信號同時具有實部和虛部），則激勵信號的

4、實部產(chǎn)生響應(yīng)信號的實部，激勵信號的虛部產(chǎn)生響應(yīng)信號的虛部。 證明：設(shè)激勵信號為，其中和分別是e(t)的實部與虛部，則經(jīng)過系統(tǒng)h(t)后的響應(yīng)為y(t)。 這里用了卷積的分配律，其中和分別為響應(yīng)y(t)的實部和虛部。 用右箭頭“”表示一對激勵和響應(yīng)，上述結(jié)果可表述為： 則 性質(zhì)2：LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號est(s是一復(fù)變量)輸入的響應(yīng)仍是一個相同的 復(fù)指數(shù)信號，只是幅度發(fā)生了變化。 證明：對于單位沖激響應(yīng)為h(t)的LTI系統(tǒng)，若輸入為x(t)= est ，s為一復(fù)變量(用表示)，系統(tǒng)響應(yīng)y(t)， 右邊積分是復(fù)變量

5、s的函數(shù)，用H(s)表示它，于是有 y(t)= H(s)est，其中H(s)= 對于確定的LTI系統(tǒng)，即h(t)給定的情況下，H(s)僅與s的值有關(guān)。 在LTI系統(tǒng)這兩條性質(zhì)的基礎(chǔ)上，可以給出前述定理及證明。 定理：線性時不變電路對一個正弦量的激勵信號，電路中各支路的電壓和電流的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是同頻正弦量。[2] 證明：用一個“”符號表示一對激勵和響應(yīng)，則由性質(zhì)2，在LTI電路系統(tǒng)中，est H(s)est，這個關(guān)系中，令，得到： （為實數(shù)） 對于確定的LTI電路系統(tǒng)，h(t)給定，僅與周期復(fù)指數(shù)信號的頻率有關(guān)。由歐拉公式 =，是激勵信號的實部，由性質(zhì)1， 將表示成=，則上式變?yōu)? 同理可證， 至此，說明一個LTI電路系統(tǒng)對一個頻率為的正弦輸入，系統(tǒng)響應(yīng)也是同頻率的正弦，輸出正弦的幅度是輸入的倍。輸出正弦的相位相對輸入偏移。 3. 小結(jié) 本文從LTI系統(tǒng)的性質(zhì)入手，證明了電路中相量分析法的基本依據(jù)。證明過程溝通了電路和信號系統(tǒng)課程之間的聯(lián)系，加深了對相量分析法的理解，體現(xiàn)了信號與系統(tǒng)中分析問題的方法。