2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式 2.3.1 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、第1課時　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 1．理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系． 2．掌握圖象法解一元二次不等式． 3．通過解不等式，體會數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法． 1．一元二次不等式 一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0. 2．二次函數(shù)的零點 一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點． 溫馨提示：(1)二次函數(shù)的零點不是點

2、，是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)． (2)一元二次方程的根是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點． 3．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系 溫馨提示：(1)對于一元二次不等式的二次項系數(shù)為正且存在兩個根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間． (2)對于二次項系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a<0)的不等式，可以先把二次項系數(shù)化為正數(shù)，再對照上述情況求解． 1．二次方程x2－x－6＝0的根與二次函數(shù)y＝x2－x－6的零點有怎樣的關(guān)系？ [答案]　方程x2－x－6＝0的判別式Δ＝1－4·1·(－6)＝25>0，可知這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，解此方程得x1＝－2，x2＝3.所以二

3、次函數(shù)有兩個零點：x1＝－2，x2＝3.所以二次方程的根就是二次函數(shù)的零點 2．畫出二次函數(shù)y＝x2－x－6的圖象，你能通過觀察圖象，獲得不等式x2－x－6>0及x2－x－6<0的解集嗎？ [答案]　二次函數(shù)y＝x2－x－6的圖象如圖，觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x<－2，或x>3時，函數(shù)圖象位于x軸上方，此時，y>0，即x2－x－6>0的解集為{x|x<－2或x>3}；當(dāng)－2

4、　) (2)若a>0，則一元二次不等式ax2＋1>0無解．(　　) (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為x1，x2(x10的解集為R.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 題型一一元二次不等式的解法 【典例1】　解不等式： (1)2x2－3x－2>0； (2)－3x2＋6x－2>0； (3)4x2－4x＋1≤0； (4)x2－2x＋2>0. [思路導(dǎo)引]　先求出對應(yīng)一元二次方程的解，再結(jié)合對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象寫出不等式的

5、解集． [解]　(1)方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－，x2＝2. 因為函數(shù)是開口向上的拋物線， 所以不等式的解集是 . (2)不等式可化為3x2－6x＋2<0. 因為3x2－6x＋2＝0的判別式Δ＝36－4×3×2＝12>0，所以方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋. 因為函數(shù)y＝3x2－6x＋2是開口向上的拋物線，所以不等式的解集是. (3)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，函數(shù)y＝4x2－4x＋1是開口向上的拋物線，所以原不等式的解集是. (4)因為x2－2x＋2＝0的判別式Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0無解．又因為函數(shù)y

6、＝x2－2x＋2是開口向上的拋物線，所以原不等式的解集為R. 解一元二次不等式的一般步驟 (1)通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零； (2)計算對應(yīng)方程的判別式； (3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根； (4)根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集． [針對訓(xùn)練] 1．解下列不等式： (1)－x2＋7x>6； (2)(2－x)(x＋3)<0； (3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)． [解]　(1)原不等式可化為x2－7x＋6<0. 解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6. 結(jié)合二次函數(shù)y＝x2－7x＋6的圖象知，原不

7、等式的解集為{x|10. 方程(x－2)(x＋3)＝0兩根為2和－3. 結(jié)合二次函數(shù)y＝(x－2)(x＋3)的圖象知，原不等式的解集為{x|x<－3或x>2}． (3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2. ∴原不等式等價于9x2－12x＋4>0. 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 結(jié)合二次函數(shù)y＝9x2－12x＋4的圖象知，原不等式的解集為. 題型二三個“二次”關(guān)系的應(yīng)用 【典例2】　已知關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集為{x|10的解集． [思路

8、導(dǎo)引]　由x2＋ax＋b<0的解集為{x|10，得2x2－3x＋1>0. 由2x2－3x＋1>0?(2x－1)(x－1)>0?x<或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集為. (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)． (2)二次函數(shù)y

9、＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化． [針對訓(xùn)練] 2．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，則a－b的值為(　　) A．14 B．－14 C．10 D．－10 [解析]　不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，可得－，是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的兩個實數(shù)根， ∴－＋＝－，－×＝， 解得a＝－12，b＝－2， ∴a－b＝－12－(－2)＝－10， 所以D選項是正確的． [答案]　D 題型三含參數(shù)的一元二次不等式的解法

10、【典例3】　解關(guān)于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)． [思路導(dǎo)引]　先求出方程x2－ax－2a2＝0的兩根x1＝2a，x2＝－a，再通過比較2a與－a的大小寫出不等式的解集． [解]　原不等式轉(zhuǎn)化為(x－2a)(x＋a)<0，對應(yīng)的一元二次方程的根為x1＝2a，x2＝－a. ①當(dāng)2a>－a，即a>0時，不等式的解集為{x|－a0時，原不等式的解集為{x|－a

11、不等式的解集為{x|2a1. ②當(dāng)a<0時，原不等式化為(x－1)>0，解得 x<或x>1. ③當(dāng)a>0時，原不等式化為(x－1)<0. 若a＝1，即＝1時，不等式無解； 若a>1，即<1時，解得<

12、x<1； 若01時，解得11}； 當(dāng)01時，不等式的解集為. 課堂歸納小結(jié) 1．解一元二次不等式的一般步驟是：(1)化為標(biāo)準(zhǔn)形式；(2)確定判別式Δ＝b2－4ac的符號；(3)若Δ≥0，則求出該不等式對應(yīng)的二次方程的根；若Δ<0，則對應(yīng)的二次方程無根；(4)聯(lián)系二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集，特別地，若一元二次不等式的左邊的二次三項式能分解因式，則可立即寫出不等式的解集(在兩根之內(nèi)或兩根之外). 2.解含字母參數(shù)的

13、一元二次不等式，與解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分類討論思想的運用． 3．解一元二次不等式，應(yīng)首先嘗試因式分解法，若能夠進行因式分解，那么在解含參數(shù)的不等式時，就可以避免對Δ≤0的討論. 1．不等式－x2－5x＋6≤0的解集為(　　) A．{x|x≥6或x≤－1} B．{x|－1≤x≤6} C．{x|－6≤x≤1} D．{x|x≤－6或x≥1} [解析]　由－x2－5x＋6≤0得x2＋5x－6≥0， 即(x＋6)(x－1)≥0， ∴x≥1或x≤－6. [答案]　D 2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根為2，－1，則當(dāng)a<0時，不等式ax2＋

14、bx＋c≥0的解集為(　　) A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2} C．{x|－1

15、×5＝－4<0， ∴不等式x2－4x＋5≥0的解集為R. [答案]　R 5．當(dāng)a>－1時，關(guān)于x的不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集是________． [解析]　原不等式可化為(x＋a)(x－1)>0， 方程(x＋a)(x－1)＝0的兩根為－a,1， ∵a>－1， ∴－a<1，故不等式的解集為{x|x<－a或x>1}． [答案]　{x|x<－a或x>1} 課后作業(yè)(十三) 復(fù)習(xí)鞏固 一、選擇題 1．已知集合M＝{x|－4

16、 D．{x|20}，則M∩N為(　　) A．{x|－4≤x<－2或33} D．{x|x<－2或x≥3} [解析]　∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}， N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}， ∴M∩N＝{x|－4≤x<－2或3

17、 3．不等式x2－px－q<0的解集是{x|20的解是(　　) A. B. C. D. [解析]　易知方程x2－px－q＝0的兩個根是2,3. 由根與系數(shù)的關(guān)系得解得 不等式qx2－px－1>0為－6x2－5x－1>0， 解得－0的解集是(　　) A. B. C. D. [解析]　不等式(a－x)>0化為(x－a)<0，因為00的解集為{x|－2

18、) [解析]　因為不等式的解集為{x|－2

19、－6x＋a2>0的解集為{x|10. [解]　將x2－3ax－18a2>0變形得(x－6a)(x＋3

20、a)>0， 方程(x－6a)(x＋3a)＝0的兩根為6a，－3a， 所以當(dāng)a>0時，6a>－3a，原不等式的解集為{x|x<－3a或x>6a}； 當(dāng)a＝0時，6a＝－3a＝0，原不等式的解集為{x|x≠0}； 當(dāng)a<0時，6a<－3a，原不等式的解集為{x|x<6a或 x>－3a}． 綜合運用 11．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　) A.　　　 B．R C.　　　 D．? [解析]　因為Δ＝a2＋4m>0，所以函數(shù)y＝mx2－ax－1的圖象與x軸有兩個交點，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故選A. [答案]　A 12．關(guān)于x的不等

21、式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　) A. B．{x|－13} [解析]　由題意，知a>0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b>0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)>0，所以x<－1或x>3，因此原不等式的解集為{x|x<－1或x>3}． [答案]　A 13．關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為{x|x1

22、－8a2＝0的兩根，則x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2. 由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝. [答案]　A 14．已知A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，若AB，則a的取值范圍是________． [解析]　A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}； 當(dāng)a≤1時，B＝{x|a≤x≤1}，AB不成立； 當(dāng)a>1時，B＝{x|1≤x≤a}，若AB，須a>2. [答案]　a>2 15．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－30的解集為{x|－30，兩邊同除以－a， 所以x2－2x－15<0，令x2－2x－15＝0， 則Δ＝64>0，且x1＝－3，x2＝5是方程的兩個根，故所求的不等式的解集為{x|－3