2020高考數(shù)學(xué) 沖刺必考專題解析 代數(shù)推理問題怎么解

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1、代數(shù)推理題怎么解 數(shù)學(xué)是“教會年輕人思考”的科學(xué), 針對代數(shù)推理型問題, 我們不但要尋求它的解法是什么, 還要思考有沒有其它的解法, 更要反思為什么要這樣解, 不這樣解行嗎?我們通過典型的問題, 解析代數(shù)推理題的解題思路, 方法和技巧. 在解題思維的過程中, 既重視通性通法的演練, 又注意特殊技巧的作用, 同時將函數(shù)與方程, 數(shù)形結(jié)合, 分類與討論, 等價與化歸等數(shù)學(xué)思想方法貫穿于整個的解題訓(xùn)練過程當中. 例1設(shè)函數(shù)，已知，時恒有，求a的取值范圍. 講解: 由 , 從而只要求直線L不在半圓C下方時, 直線L 的y截距的最小值. 當直線與半圓相切時，

2、易求得舍去）. 故. 本例的求解在于 關(guān)鍵在于構(gòu)造新的函數(shù), 進而通過解幾模型進行推理解題, 當中, 滲透著數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法, 顯示了解題思維轉(zhuǎn)換的靈活性和流暢性. 還須指出的是: 數(shù)形結(jié)合未必一定要畫出圖形, 但圖形早已在你的心中了, 這也許是解題能力的提升, 還請三思而后行. 例2 已知不等式對于大于1的正整數(shù)n恒成立，試確定a的取值范圍. 講解: 構(gòu)造函數(shù)，易證(請思考:用什么方法證明呢?)為增函數(shù). ∵n是大于1的 正整數(shù)， 對一切大于1的正整數(shù)恒成立，必須, 即 這里的構(gòu)造函數(shù)和例1屬于同類型, 學(xué)習(xí)解題就應(yīng)當在解題活動的過程中不斷的逐類旁通,

3、 舉一反三, 總結(jié)一些解題的小結(jié)論. 針對恒成立的問題, 函數(shù)最值解法似乎是一種非常有效的同法, 請?zhí)釤捘愕男〗Y(jié)論. 例3 已知函數(shù)在區(qū)間[－b，1－b]上的最大值為25，求b的值. 講解: 由已知二次函數(shù)配方, 得 時，的最大值為4b2+3=25. 上遞增， 上遞增， . 關(guān)于二次函數(shù)問題是歷年高考的熱門話題, 值得讀者在復(fù)課時重點強化訓(xùn)練. 針對拋物線頂點橫坐標在不在區(qū)間[－b，1－b], 自然引出解題形態(tài)的三種情況, 這顯示了分類討論的數(shù)學(xué)思想在解題當中

4、的充分運用. 該分就分, 該合就合, 這種辨證的統(tǒng)一完全依具體的數(shù)學(xué)問題而定, 需要在解題時靈活把握. 例4已知 的單調(diào)區(qū)間； （2）若 講解: （1） 對 已 知 函 數(shù) 進 行 降 次 分 項 變 形 , 得 , （2）首先證明任意 事實上, 而 . 函 數(shù) 與 不 等 式 證 明 的 綜 合 題 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 識 又 考 能 力 的 好 題 型 , 在 高 考 備 考 中 有 較 高 的 訓(xùn) 練 價 值.. 針對本例的求解, 你能夠想到證明任意采用逆

5、向分析法, 給出你的想法! 例5 已知函數(shù)f(x)=（ａ＞０，ａ≠１）． (1) 證明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點P()對稱． (2) 令an＝，對一切自然數(shù)n，先猜想使an＞ｎ２成立的最小自然數(shù)a,并證明之． (3) 求證：∈Ｎ). 講解: (1)關(guān)于函數(shù)的圖象關(guān)于定點P對稱, 可采用解幾中的坐標證法. 設(shè)M(x,y)是f(x)圖象上任一點，則M關(guān)于P()的對稱點為M’（１－ｘ，１－ｙ）， ∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的圖象上， 故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點P()對稱. (2)將f(n)、f(1-n)的表達式代入an的表達式，化簡可得an＝ａｎ猜

6、a=3, 即3ｎ＞ｎ２． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． 設(shè)n=k(k≥２)時，3ｋ＞ｋ２． 那么n=k+1，3ｋ＋１＞３·３ｋ＞３ｋ２ 又3k２－（ｋ＋１）２＝２（ｋ－）２－≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ） ∴３ｎ＞ｎ２. (3)∵３ｋ＞ｋ２ ∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ 令k=1,2,…，n，得n個同向不等式，并相加得： 函數(shù)與數(shù)列綜合型問題在高考中頻頻出現(xiàn),是歷年高考試題中的一道亮麗的風(fēng)景線.針對本例,你能夠猜想出最小自然數(shù)a=3嗎? 試試你的數(shù)學(xué)猜想能力. 例6 已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個實根為x1和x2. （1）如果，若函數(shù)的對稱軸為x=x0，求證：x0＞－

7、1； （2）如果，求b的取值范圍. 講解:（1）設(shè)，由得, 即 ， 故； （2）由同號. ①若. 又，負根舍去）代入上式得 ，解得； ②若 即4a－2b+3＜0. 同理可求得. 故當 對你而言, 本例解題思維的障礙點在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同類問題, 你會很順利的克服嗎? 我們力求做到學(xué)一題會一類, 不斷提高邏輯推理能力. 例7 對于函數(shù)，若存在成立，則稱的不動點。如果函數(shù)有且只有兩個不動點0，2，且 （1）求函數(shù)的解析式； （2）已知各項不為零的數(shù)列，求數(shù)列通項； （3）如果數(shù)列滿足，求證：當時，恒

8、有成立. 講解: 依題意有,化簡為 由違達定理, 得 解得 代入表達式，由 得 不止有兩個不動點， （2）由題設(shè)得 （*） 且 （**） 由（*）與（**）兩式相減得： 解得（舍去）或，由，若這與矛盾，，即{是以-1為首項，-1為公差的等差數(shù)列，； （3）采用反證法，假設(shè)則由（1）知 ,有 ，而當這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，. 關(guān)于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實上: 由得<0或 結(jié)論成立； 若，此時從而即數(shù)列{}在時單調(diào)遞減，由，可知上成立.

9、 比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數(shù)學(xué)解題后需要進行必要的反思, 學(xué)會反思才能長進. 例8 設(shè)a，b為常數(shù)，：把平面上任意一點 （a，b）映射為函數(shù) （1）證明：不存在兩個不同點對應(yīng)于同一個函數(shù)； （2）證明：當，這里t為常數(shù)； （3）對于屬于M的一個固定值，得，在映射F的作用下，M1作為象，求其原象，并說明它是什么圖象. 講解: （1）假設(shè)有兩個不同的點（a，b），（c，d）對應(yīng)同一函數(shù)，即與相同， 即 對一切實數(shù)x均成立. 特別令x=0，得a=c；令，得b=d這與（a，b），（c，d）是兩個不同點矛盾，假設(shè)不成立. 故不存在兩個不同點對應(yīng)

10、同函數(shù). （2）當時，可得常數(shù)a0，b0，使 = 由于為常數(shù)，設(shè)是常數(shù). 從而. （3）設(shè)，由此得 在映射F之下，的原象是（m，n），則M1的原象是 . 消去t得，即在映射F之下，M1的原象是以原點為圓心，為半徑的圓. 本題將集合, 映射, 函數(shù)綜合為一體, 其典型性和新穎性兼顧, 是一道用“活題考死知識”的好題目, 具有很強的訓(xùn)練價值. 例9 已知函數(shù)f(t)滿足對任意實數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2. （1）求f(1)的值; （2）證明：對一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)>t； （3）試求滿

11、足f(t)=t的整數(shù)t的個數(shù)，并說明理由. 講解 （1）為求f(1)的值，需令 令. 令. （2）令(※) . 由, , 于是對于一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)>t. （3）由※及（1）可知. 下面證明當整數(shù). (※)得 即……， 將諸不等式相加得 . 綜上，滿足條件的整數(shù)只有t=1，. 本題的求解顯示了對函數(shù)方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，這種賦值法在2002年全國高考第（21）題中得到了很好的考查. 例10 已知函數(shù)f（x）在（－1，1）上有定義，且滿足x、y∈（－1，1） 有 ． （1）證明：f（x）在（－1，1）上為奇函數(shù)； （2）對數(shù)列求； （3）求證 講解 （1）令則 令則 為奇函數(shù). （2）， 是以－1為首項，2為公比的等比數(shù)列． （3） 而 本例將函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式等代數(shù)知識集于一題，是考查分析問題和解決問題能力的范例. 在求解當中，化歸出等比（等差）數(shù)列是數(shù)列問題常用的解題方法.