陜西省吳堡縣吳堡中學高中數學 第一章 角的概念的推廣教案 北師大版必修4（通用）

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1、§2 角的概念的推廣 一、教學目標 1、知識與技能： （1）推廣角的概念，理解并掌握正角、負角、零角的定義； （2）理解象限角、坐標軸上的角的概念； （3）理解任意角的概念，掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法； （4）能表示特殊位置（或給定區(qū)域內）的角的集合； （5）能進行簡單的角的集合之間運算。 2、過程與方法： 類比初中所學的角的概念，以前所學角的概念是從靜止的觀點闡述，現(xiàn)在是從運動的觀點闡述，進行角的概念推廣，引入正角、負角和零角的概念；由于角本身是一個平面圖形，因此，在角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定

2、方法；通過幾個特殊的角，畫出終邊所在的位置，歸納總結出它們的關系，探索具有相同終邊的角的表示；講解例題，總結方法，鞏固練習。 3、情感態(tài)度與價值觀： 通過本節(jié)的學習，使同學們對角的概念有了一個新的認識；樹立運動變化觀點，學會運用運動變化的觀點認識事物；揭示知識背景，引發(fā)學生學習興趣；創(chuàng)設問題情景，激發(fā)學生分析、探求的學習態(tài)度；讓學生感受圖形的對稱美、運動美，培養(yǎng)學生對美的追求。 二、教學重、難點 重點: 理解正角、負角和零角和象限角的定義，掌握終邊相同角的表示法及判斷。 難點: 把終邊相同的角用集合和符號語言正確地表示出來。 三、學法與教法 在初中，我們知道最大的角是周角，最

3、小的角是零角；通過回憶和類比初中所學角的概念,把角的概念進行了推廣；角是一個平面圖形，把角放入平面直角坐標系中以后,了解象限角的概念；通過角終邊的旋轉掌握終邊相同角的表示方法；我們在學習這部分內容時,首先要弄清楚角的表示符號,以及正負角的表示，另外還有相同終邊角的集合的表示等。教法: 類比探究交流法。 四、教學過程 （一）、創(chuàng)設情境，揭示課題 同學們，我們在擰螺絲時，按逆時針方向旋轉會越擰越松，按順時針方向旋轉會越擰越緊。但不知同學們有沒有注意到，在這兩個過程中，扳手分別所組成的兩個角之間又有什么關系呢？請幾個同學暢談一下，教師控制好時間，2-3分鐘為宜。 這里面到底是怎么回事？這就是

4、我們這節(jié)課所要學習的內容。 初中我們已給角下了定義，先請一個同學回憶一下當時是怎么定義的？ 我們把“有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角”，這是從靜止的觀點闡述的。 （二）、探究新知 如果我們從運動的觀點來看，角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形。(先后用教具圓規(guī)和多媒體給學生演示：逆時針轉動形成角，順時針轉動而成角，轉幾圈也形成角，為推廣角的概念做好準備) 1、正角、負角、零角的概念(打開課件第一版，演示正角、負角、零角的形成過程)． 我們規(guī)定：(板書)按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，如圖（見課件）。一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時

5、針方向旋轉到終止位置OB，就形成角.旋轉開始時的射線OA叫做角的始邊，OB叫終邊，射線的端點O叫做叫的頂點.按順時針方向旋轉形成的角叫做負角；如果一條射線沒有作任何旋轉，我們認為這時它也形成了一個角，并把這個角叫做零角，如果α是零角，那么α＝0°。鐘表的時針和分針在旋轉時所形成的角總是負角．為了簡便起見，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以記成“α”。 過去我們研究了0°～360°范圍的角．如圖（見課件）中的角α就是一個0°～360°范圍內的角(α＝30°)．如果我們將角α的終邊OB繼續(xù)按逆時針方向旋轉一周、兩周……而形成的角是多少度?是不是仍為30°的角?(用多媒體演示這一旋轉過程

6、，讓學生思考；為終邊相同角概念做準備)．將終邊OB旋轉一周、兩周……，分別得到390°，750°……的角．如果將OB繼續(xù)旋轉下去，便可得到任意大小的正角。同樣地，如果將OB按順時針方向旋轉，也可得到任意大小的負角(通過課件，動態(tài)演示這一無限旋轉過程)．這就是說，角度并不局限于0°～360°的范圍，它可以為任意大小的角(與數軸進行比較)．(打開課件第三版)．如圖(1)中的角為正角，它等于750°；(2)中，正角α＝210°，負角β＝—150°，γ＝－660°．在生活中，我們也經常會遇到不在0°～360°范圍的角，如在體操中，有“轉體720°”(即“轉體2周”)，“轉體1080°”(即“轉體3周”

7、)這樣的動作名稱；緊固螺絲時，扳手旋轉而形成的角． 角的概念經過這樣的推廣以后，就包括正角、負角和零角． 2．象限角、坐標軸上的角的概念． 由于角是一個平面圖形，所以今后我們常在直角坐標系內討論角，(板書)我們使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸(包括原點)重合，那么角的終邊(除端點外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．(打開課件第四版)例如圖(1)中的30°、390°、－330°角都是第一象限角，圖(2)中的300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角． (板書)如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任一象限． 3．終邊相同的表示方法． (返回課

8、件第二版，在圖(1)1(2)中分別以O為原點，直線0A為x軸建立直角坐標系，重新演示前面的旋轉過程)在圖(1)中，如果將終邊OB按逆時針方向旋轉一圈、兩圈……，分別得到390°，750°……的角，這些角的終邊與30°角的終邊相同，只是轉過的圈數不同，它們可以用30°角來表示，如390°＝30°十360°，750°＝30°十2×360°，……在圖(2)中，如果將終邊OB按順時針方向旋轉一圈、兩圈……分別得到－330°，－690°……的角，這些角的終邊與30°角終邊也相同，也只是轉過的圈數不同，它們也都可以用30°的角來表示，如－330°＝30°－360°，－690°＝30°—2×360°，……

9、 由此可以發(fā)現(xiàn)，上面旋轉所得到的所有的角(記為β)，都可以表示成一個0°到360°的角與k(k∈Z)個周角的和，即：β＝30°十k·360°(k∈Z)．如果我們把β的集合記為S，那么S＝{β|β＝30°十k·360°， k∈Z}．容易看出：所有與30°角終邊相同的角，連同30°角(k＝0)在內，都是集合S的元素；反過來，集合S的任一元素顯然與30°角終邊相同。 （三）、鞏固深化，發(fā)展思維 1、例題講評 例1.判斷下列各角是第幾象限角. (1)—60°； (2)585°； (3)—950°12’． 解：(1)∵—60°角終邊在第四象限，∴它是第四象限角；(2)∵585°＝

10、360°十225°，∴585°與225°終邊相同，又∵225°終邊在第三象限，∴585°是第三象限角；(3)∵ —950°12’＝－230°12’—2×360°，又∵－230°12’終邊在第二象限，∴—950°12’是第二象限角. 例2．在直角坐標系中，寫出終邊在y軸上的角的集合（α用0°～360°的角表示）. 解：在0°～360°范圍內，終邊在y軸上的角有兩個，即90°與270°角，因此，所有與90°角終邊相同的角構成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}；所有與270°角終邊相同的角構成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}；所以，終邊在y軸上的角的集合S＝

11、S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}. 例3．寫出與60°角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β＜270°的元素β寫出來. 解：S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中適合－360°≤β＜270°的元素是： 60°－1×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°. 2．學生課堂練習：參考練習 (通過多媒體給題)。 (1) (口答)銳角是第幾象限角?第一象限角一定是銳角嗎?再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題. (2)與—496°終邊相同的角是

12、 ，它是第 象限的角，它們中最小正角是 ，最大負角是 。 (3)時針經過3小時20分，則時針轉過的角度為 ，分針轉過的角度為 。 (4)若α、β的終邊關于x軸對稱，則α與β的關系是 ；若α與β的終邊關于y軸對稱，則α與β的關系是 ；若α、β的終邊關于原點對稱，則α與β的關系是 ；若角α是第二象限角，則180°—α是第 象限角。 [答案](1)是，不一定.(2)—496°十k·360°(k∈Z)，三，240°，—136°.(3)—100°，—1200°．(4)α十β＝k·360°(k∈Z)；α十β＝180°十k·360。(k∈Z)；α一β＝180°十k·360°(k∈Z)；一. （四）、歸納整理，整體認識 (1) 請學生回顧本節(jié)課所學過的知識內容有哪些？你知道角是如何推廣的嗎? (2) 象限角是如何定義的呢? 你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎? （3）在本節(jié)課的學習過程中，還有那些不太明白的地方，請向老師提出。 （4）你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會是什么？ （五）、布置作業(yè): 習題1—2第2,3題． 五、教后反思：