2020版新教材高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)突破素養(yǎng)提升 第三課 函數(shù) 新人教B版必修1

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1、考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升 素養(yǎng)一　數(shù)學(xué)運(yùn)算 角度1　函數(shù)的概念 【典例1】有以下判斷： ①f(x)=與g(x)=表示同一函數(shù)； ②函數(shù)y=f(x)的圖像與直線(xiàn)x=1的交點(diǎn)最多有1個(gè)； ③f(x)=x2-2x+1與g(t)=t2-2t+1是同一函數(shù)； ④若f(x)=|x-1|-|x|，則f=0. 其中正確判斷的序號(hào)是________.? 【解析】對(duì)于①，由于函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0}，而函數(shù)g(x)=的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對(duì)于②，若x=1不是y=f(x)定義域內(nèi)的值，則直線(xiàn)x=1與y=f(x)的圖像沒(méi)有交點(diǎn)，如果x=1是y=f(x)定義域內(nèi)的值，由函

2、數(shù)定義可知，直線(xiàn)x=1與y=f(x)的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，即y=f(x)的圖像與直線(xiàn)x=1最多有一個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于③，f(x)與g(t)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù)；對(duì)于④，由于f=-=0，所以f=f(0)=1. 綜上可知，正確的判斷是②③. 答案：②③ 【類(lèi)題·通】 關(guān)于同一個(gè)函數(shù)的判斷 (1)判斷定義域?qū)?yīng)關(guān)系是否相同. (2)對(duì)應(yīng)關(guān)系是對(duì)于自變量的一種運(yùn)算法則，一是與自變量為x或t無(wú)關(guān)，二是可以化簡(jiǎn)變形后相同. 【加練·固】 (1)下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(　　) A.f(x)=|x|，g(x)= B.f(x)=，g(x)=()

3、2 C.f(x)=，g(x)=x+1 D.f(x)=·，g(x)= (2)下列四個(gè)圖像中，是函數(shù)圖像的是 (　　) A.①　　 B.①③④　　 C.①②③　 　D.③④ 【解析】(1)選A.A中，g(x)=|x|，所以f(x)=g(x).B中，f(x)=|x|(x∈R)，g(x)=x(x≥0)， 所以?xún)珊瘮?shù)的定義域不同. C中，f(x)=x+1(x≠1)，g(x)=x+1(x∈R)， 所以?xún)珊瘮?shù)的定義域不同. D中，f(x)=·(x+1≥0且x-1≥0)， f(x)的定義域?yàn)閧x|x≥1}；g(x)=(x2-1≥0)， g(x)的定義域?yàn)閧x|x≥1或x≤-1}.

4、所以?xún)珊瘮?shù)的定義域不同. (2)選B.由每一個(gè)自變量x對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)f(x)可知②不是函數(shù)圖像，①③④是函數(shù)圖像. 角度2　求函數(shù)的解析式 【典例2】(1)已知二次函數(shù)f(2x+1)=4x2-6x+5，則f(x)=________.? (2)已知f(x)滿(mǎn)足2f(x)+f=3x-1，則f(x)=________.? 【解析】(1)方法一：(換元法)令2x+1=t(t∈R)，則x=， 所以f(t)=4-6·+5=t2-5t+9(t∈R)， 所以f(x)=x2-5x+9(x∈R). 方法二：(配湊法)因?yàn)閒(2x+1)=4x2-6x+5=(2x+1)2-10x+4=(2x+1)2-5

5、(2x+1)+9， 所以f(x)=x2-5x+9(x∈R). 方法三：(待定系數(shù)法)因?yàn)閒(x)是二次函數(shù)， 所以設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 則f(2x+1)=a(2x+1)2+b(2x+1)+c =4ax2+(4a+2b)x+a+b+c. 因?yàn)閒(2x+1)=4x2-6x+5，所以 解得所以f(x)=x2-5x+9(x∈R). 答案：x2-5x+9(x∈R) (2)已知2f(x)+f=3x-1，① 以代替①式中的x(x≠0)，得2f+f(x)=-1② ①×2-②得3f(x)=6x--1， 故f(x)=2x--(x≠0). 答案：2x--(x≠0) 【

6、類(lèi)題·通】 求函數(shù)解析式的常用方法 (1)配湊法：由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式. (2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類(lèi)型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)可用待定系數(shù)法. (3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍. (4)方程法：已知關(guān)于f(x)與f或f(-x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出f(x). 【加練·固】 (1)已知f(x)+3f(-x)=2x+1，則f(x)=________.? (2)已知f(+1)=

7、x+2，求f(x)的解析式. 【解析】(1)由已知得f(-x)+3f(x)=-2x+1，解方程組得f(x)=-x+. 答案：-x+ (2)方法一：設(shè)t=+1，則x=(t-1)2(t≥1). 代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1) =t2-2t+1+2t-2=t2-1. 所以f(x)=x2-1(x≥1). 方法二：因?yàn)閤+2=()2+2+1-1 =(+1)2-1， 所以f(+1)=(+1)2-1(+1≥1)， 即f(x)=x2-1(x≥1). 素養(yǎng)二　邏輯推理 【典例3】(1)求函數(shù)y=-x2+2|x|+1的單調(diào)區(qū)間. (2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8

8、，且f(-2)=10，則f(2)等于 (　　) A.-26 B.-18 C.-10 D.10 【解析】(1)由于y= 即y=畫(huà)出函數(shù)圖像如圖所示， 單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-1]和[0，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為[-1，0]和[1，+∞). (2)選A.方法一：令g(x)=x5+ax3+bx，易知g(x)是R上的奇函數(shù)，從而g(-2)=-g(2)，又f(x)=g(x)-8，所以f(-2)=g(-2)-8=10，所以g(-2)=18， 所以g(2)=-g(-2)=-18. 所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. 方法二：由已知條件，得 ①+②得f(2)+f

9、(-2)=-16.又f(-2)=10， 所以f(2)=-26. 【類(lèi)題·通】 定函數(shù)單調(diào)性的注意點(diǎn) (1)定義法：證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法. (2)圖像法：作出圖像觀察，但圖像不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接. 【加練·固】 (1)已知函數(shù)f(x)為(0，+∞)上的增函數(shù)，若f(a2-a)>f(a+3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.? (2)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2+2x，若f(2-a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　) A.(-∞，-1)∪(2，+∞) B.(-1，2) C.(-2，1) D.(-∞，-2)∪(

10、1，+∞) 【解析】(1)由已知可得 解得-33. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-3，-1)∪(3，+∞). 答案：(-3，-1)∪(3，+∞) (2)選C.因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)， 所以當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-x2+2x.作出函數(shù)f(x)的大致圖像如圖中實(shí)線(xiàn)所示，結(jié)合圖像可知f(x)是R上的增函數(shù)，由f(2-a2)>f(a)，得2-a2>a，解得-2

11、位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿(mǎn)足關(guān)系C(x)=(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和. (1)求k的值及f(x)的表達(dá)式. (2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值. 【解析】(1)由已知條件得C(0)=8，則k=40， 因此f(x)=6x+20C(x)=6x+(0≤x≤10). (2)f(x)=6x+10+-10≥2-10=70(萬(wàn)元)，當(dāng)且僅當(dāng)6x+10=，即x=5時(shí)等號(hào)成立. 所以當(dāng)隔熱層厚度為5 cm時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小值，最小值為70萬(wàn)元. 【類(lèi)題·通】 有關(guān)函數(shù)

12、最值的實(shí)際問(wèn)題的解題技巧 (1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值. (2)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù). (3)解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍. (4)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解. 【加練·固】 1.汽車(chē)的“燃油效率”是指汽車(chē)每消耗1升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車(chē)在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是 (　　) A.消耗1升汽油，乙車(chē)最多可行駛5千米 B.以相同速度行駛相同路程，三輛車(chē)中，甲車(chē)消耗汽油最多 C.甲車(chē)以80千米/小時(shí)的速

13、度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油 D.某城市機(jī)動(dòng)車(chē)最高限速80千米/小時(shí).相同條件下，在該市用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油 2.為了迎接世博會(huì)，某旅游區(qū)提倡低碳生活，在景區(qū)提供自行車(chē)出租，該景區(qū)有50輛自行車(chē)供游客租賃使用，管理這些自行車(chē)的費(fèi)用是每日115元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車(chē)的日租金不超過(guò)6元，則自行車(chē)可以全部租出；若超出6元，則每超過(guò)1元，租不出的自行車(chē)就增加3輛.為了便于結(jié)算，每輛自行車(chē)的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求租自行車(chē)一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車(chē)的日凈收入(即一日中出租自行車(chē)的總收入減去管理費(fèi)用后得到的部分). (1)求函數(shù)y=f(x)的解析式及其

14、定義域. (2)試問(wèn)當(dāng)每輛自行車(chē)的日租金定為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？ 【解析】1.選D.對(duì)于A選項(xiàng)，從題圖中可以看出，當(dāng)乙車(chē)的行駛速度大于40 km/h時(shí)的燃油效率大于5 km/L，故乙車(chē)消耗1升汽油的行駛路程可大于5千米，所以A錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，由題圖可知甲車(chē)消耗汽油最少.對(duì)于C選項(xiàng)，甲車(chē)以 80 km/h的速度行駛時(shí)的燃油效率為10 km/L，故行駛1小時(shí)的路程為80千米，消耗8 L汽油，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)最高限速為80 km/h且速度相同時(shí)丙車(chē)的燃油效率大于乙車(chē)的燃油效率， 故用丙車(chē)比用乙車(chē)更省油，所以D正確. 2.(1)當(dāng)x≤6時(shí)，y=50x-115， 令50x-115>0，解得x>2.3，因?yàn)閤為整數(shù)，所以3≤x≤6. 當(dāng)x>6時(shí)，y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115. 令-3x2+68x-115>0，有3x2-68x+115<0，結(jié)合x(chóng)為整數(shù)得6185，所以當(dāng)每輛自行車(chē)的日租金定為11元時(shí)，才能使一日的凈收入最多.