2020版新教材高中數學 考點突破素養(yǎng)提升 第一課 集合與常用邏輯用語 新人教B版必修1

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1、考點突破·素養(yǎng)提升 素養(yǎng)一　數學抽象 角度　集合的基本概念 【典例1】已知集合={a2，a+3b，0}，則2|a|+b=________.? 【解析】因為集合={a2，a+3b，0}，所以b=0，a2=4，解得a=±2， 當a=-2，b=0時，{-2，0，4}={4，-2，0}，成立， 此時2|a|+b=4. 當a=2，b=0時，{2，0，4}={4，2，0}，成立， 此時2|a|+b=4. 答案：4 【典例2】已知A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}，若1∈A，求實數a的值. 【解析】由題設條件可知：1∈A， 若a+2=1，即a=-1時， (a+1)2=0

2、，a2+3a+3=1=a+2， 不滿足集合中元素的互異性，舍去； 若(a+1)2=1，即a=0或a=-2， 當a=0時，a+2=2，(a+1)2=1，a2+3a+3=3， 滿足條件； 當a=-2時，a+2=0，(a+1)2=1，a2+3a+3=1， 不滿足集合中元素的互異性，舍去； 若a2+3a+3=1，即a=-1或a=-2，均不滿足條件， 理由同上.綜上可知，實數a的值只能是a=0. 【素養(yǎng)·探】 將本例條件改為“集合A={2，4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，2∈B，B?A”，求實數a，x的值. 【解析】因為a，x∈R，集合A={2，4，x2-5x+

3、9}， B={3，x2+ax+a}，2∈B，B?A， 所以 解得x=2，a=-或x=3，a=-， 經檢驗x=2，a=-或x=3，a=-都符合題意， 故所求a，x的值分別為-，2或-，3. 【類題·通】 1.集合元素的互異性在解題中的兩個應用 (1)切入：利用集合元素的互異性尋找解題的切入點. (2)檢驗：解題完畢，利用互異性驗證答案的正確性. 2.描述法表示集合的關鍵及注意點 (1)關鍵：清楚集合的類型及元素的特征性質. (2)注意點：當特征性質的表示形式相同時，要清楚代表元素的不同會導致集合含義的不同，所以研究描述法時要關注集合中代表元素的屬性. 【加練·固】 　

4、　　設集合A={x|x2-3x+a=0}，若4∈A，則集合A用列舉法表示為________. 【解析】因為4∈A， 所以16-12+a=0，所以a=-4， 所以A={x|x2-3x-4=0}={-1，4}. 答案：{-1，4} 素養(yǎng)二　數學運算 角度　集合的基本運算 【典例3】(2020·北京高考)已知集合A={x||x|<2}，B={-2，0，1，2}， 則A∩B= (　　) A.{0，1} B.{-1，0，1} C.{-2，0，1，2} D.{-1，0，1，2} 【解析】選A.集合A={x|-2

5、=R，已知集合M={-3}，N={x|x2+x-6=0}. (1)求(IM)∩N. (2)記集合A=(IM)∩N，已知集合B=[a-1，a+5]，a∈R，若A∩B=A，求實數a的取值范圍. 【解析】(1)因為M={-3}， 則IM={x|x≠-3}， 又因為N={2，-3}，從而有(IM)∩N={2}. (2)因為A∩B=A，所以A?B， 又因為A={2}， 所以a-1≤2≤a+5， 解得-3≤a≤3，即實數a的取值范圍是[-3，3]. 【類題·通】 1.集合基本運算的方法 (1)定義法或維恩圖法：集合是用列舉法給出的，運算時可直接借助定義求解，或把元素在維恩圖中表示出

6、來，借助維恩圖觀察求解. (2)數軸法：集合是用不等式(組)給出的，運算時可先將不等式在數軸中表示出來，然后借助數軸求解. 2.集合與不等式結合的運算包含的類型及解決辦法 (1)不含字母參數：直接將集合中的不等式解出，在數軸上求解. (2)含有字母參數：若字母的取值影響到不等式的解，要先對字母分類討論，再求解不等式，然后在數軸上求解. 【加練·固】 1.設集合U={x|x是小于20的質數}，A，B?U，(UA)∩B={3，5}， (UB)∩A={11，13}，(UA)∩(UB)={7，17}，則集合A，B分別為 (　　) A.A={1，2，11，13，19}，B={1，2，3，

7、5，19} B.A={2，11，13，19}，B={2，3，5，19} C.A={3，11，13，19}，B={2，3，5，19} D.A={2，11，13，17，19}，B={2，3，5，7，19} 【解析】選B.由題意畫出Venn圖如下， 所以A∩B={2，19}， 所以A={2，11，13，19}.B={2，3，5，19}. 2.若集合A={x|-3≤x≤4}和B={x|2m-1≤x≤m+1}. (1)當m=-3時，求集合(RA)∩B. (2)當A∩B=B時，求實數m的取值范圍. 【解析】(1)當m=-3時，集合RA={x|x<-3或x>4}，B={x|-7≤x≤

8、-2}. 所以(RA)∩B={x|-7≤x<-3}. (2)因為A∩B=B，所以B?A， 當2m-1>m+1，即m>2時，B=，滿足B?A， 當2m-1≤m+1，即m≤2時，B≠， 若B?A，則 解得-1≤m≤3，又m≤2，所以-1≤m≤2， 綜上所述，m的取值范圍是m≥-1. 素養(yǎng)三　邏輯推理 角度1　判斷集合間的關系 【典例5】集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，P={y|y=3n+1，n∈Z}，S={z|z=6m+1，m∈Z}之間的關系是 (　　) A.SPM B.S=PM C.SP=M D.P=MS 【解析】選C.運用整數的性質求解.集合M，P表示

9、的是被3整除余1的整數集，集合S表示的是被6整除余1的整數集. 【類題·通】 1.集合間關系的判斷方法 (1)定義法：根據定義直接判斷元素與集合間的關系，得出集合間的關系. (2)圖示法：利用數軸或Venn圖表示出相應的集合，根據圖示直觀地判斷. 2.求解集合間關系問題的兩個注意事項 (1)解含有參數的不等式(或方程)時，要對參數進行分類討論，分類時遵循“不重不漏”的原則，且對每類情況都要給出問題的解答. (2)對于兩集合A，B，當A?B時，不要忽略A=. 【加練·固】 　　已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0}，B={x∈N|0

10、個數為 (　　) A.1　　　　 B.2　　　　 C.3　　　　 D.4 【解析】選D.A={x∈R|x2-3x+2=0}={1，2}， B={x∈N|03}， (1)是否存在實數m，使得x∈A是x∈B成立的充分條件？ (2)是否存在實數m，使得x∈A是x∈B成立的必要條件？ 【解析】(1)欲使x∈A是x∈B成立的充分條件，

11、則只要{x|x<-1或x>3}， 則只要-≤-1，即m≥2，故存在實數m≥2時，使x∈A是x∈B成立的充分條件. (2)欲使x∈A是x∈B成立的必要條件， 則只要{x|x<-1或x>3}，則這是不可能的， 故不存在實數m，使x∈A是x∈B成立的必要條件. 【類題·通】 充分條件與必要條件的判斷方法 (1)定義法 (2)集合法：寫出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)}，利用集合之間的包含關系加以判斷.用集合法判斷時，要盡可能用圖示、數軸等幾何方法，圖形形象、直觀，能簡化解題過程，降低思維難度. 【加練·固】 　 　判斷m≥2是否是關于x的方程x2+mx+1=0有

12、兩個負實根的充要條件. 【解析】(1)因為m≥2，所以Δ=m2-4≥0，方程x2+mx+1=0有實根. 設x2+mx+1=0的兩個實根為x1，x2， 由根與系數的關系知x1x2>0.所以x1，x2同號. 又因為x1+x2=-m≤-2，所以x1，x2同為負根. 所以m≥2?關于x的方程x2+mx+1=0有兩個負實根. (2)因為x2+mx+1=0的兩個實根x1，x2均為負，且x1x2=1，所以m-2=-(x1+x2)-2 =--2=-=-≥0，所以m≥2. 所以關于x的方程x2+mx+1=0有兩個負實根?m≥2. 從而m≥2?關于x的方程x2+mx+1=0有兩個負實根. 所以

13、m≥2是關于x的方程x2+mx+1=0有兩個負實根的充要條件. 角度3　全稱量詞命題和存在量詞命題及其否定 【典例7】寫出下列全稱量詞命題或存在量詞命題的否定，并判斷所得命題的真假： (1)p：空集是任何一個非空集合的真子集. (2)q：?x∈R，4x2>2x-1+3x2. (3)r：?x∈{-2，-1，0，1，2}，|x-2|<2. (4)s：所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑. 【解析】(1)p：存在一個非空集合，空集不是該集合的真子集. 由p是真命題可知p是假命題. (2)q：?x∈R，4x2≤2x-1+3x2， 因為4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1≥0

14、， 所以當x=1時，4x2=2x-1+3x2. 由q是假命題可知q是真命題. (3)r：?x∈{-2，-1，0，1，2}，︱x-2︱≥2. 因為當x=1時，︱x-2︱=1<2. 所以r是假命題. (4)s：有的圓的圓心到其切線的距離不等于半徑.由s是真命題可知s是假命題. 【類題·通】 1.全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷 主要方法是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞；另外，有些全稱命題并不含有全稱量詞，這時我們就要根據命題涉及的意義去判斷. 2.全稱量詞命題和存在量詞命題真假的判斷 (1)要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但

15、要判定全稱量詞命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個x，使得p(x)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”). (2)判斷存在量詞命題“?x∈M，p(x)”的真假性的關鍵是探究集合M中x的存在性.若找到一個元素x∈M，使p(x)成立，則該命題是真命題；若不存在x∈M，使p(x)成立，則該命題是假命題. 【加練·固】 　 　寫出下列全稱量詞命題或存在量詞命題的否定，并判斷所得命題的真假： (1)p：?x∈{3，5，7}，3x+1是偶數. (2)q：對任意x∈R，都有|x-2|+|x-4|>3. (3)r：二次函數的圖象是拋物線. (4)s：在實數范圍內，有些一元二次方程無解. 【解析】(1)p：?x∈{3，5，7}，3x+1不是偶數. 因為對集合{3，5，7}中的每一個值，都有3x+1是偶數. p是真命題，所以p是假命題. (2)q：?x∈R，|x-2|+|x-4|≤3. 因為當x=3時，|x-2|+|x-4|=2<3. 所以q是真命題. (3)r：有的二次函數的圖象不是拋物線. 由r是真命題可知r是假命題. (4)s：在實數范圍內，所有的一元二次方程都有解.由s是真命題可知s是假命題.