2020高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)集錦 向量的運(yùn)算

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1、向量的運(yùn)算 【兩年真題重溫】 【2020新課標(biāo)全國(guó)理，10】已知與均為單位向量，其夾角為，有下列四個(gè)命題： ：； ：； ：； ：． 其中的真命題是( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】本題考查向量的基本運(yùn)算和性質(zhì)． ，展開易得． 【2020新課標(biāo)全國(guó)文，2】a，b為平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于 （A） （B） （C） （D） 【答案】 C 【解析】本題考查向量的坐

2、標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角公式.因a＝(4,3)，b＝(x,y), 2a＋b＝(3,18)=(8+x,6+y)，解得x=-5,y=12. cos= 【命題意圖猜想】 1. 2020年新課標(biāo)高考理對(duì)向量的考查體現(xiàn)在求向量的夾角和模的運(yùn)算，難度中等，文科則表現(xiàn)在向量的垂直關(guān)系的應(yīng)用，較為簡(jiǎn)單；2020年理科沒有涉及向量問題，而文科考查以【最新考綱解讀】 【回歸課本整合】 1、平面向量的數(shù)量積： （1）兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，，作， 稱為向量，的夾角，當(dāng)＝0時(shí)，，同向，當(dāng)＝時(shí)，，反向，當(dāng)＝時(shí)，，垂直. （2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做

3、與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即＝.④平面向量數(shù)量積：. ⑤向量的模：. 3、向量的運(yùn)算律：（1）交換律：，，；(2)結(jié)合律：，；（3）分配律：，.提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？ 4、向量平行(共線)的充要條件：＝0.如(13)設(shè)，則k＝_____時(shí)，A,B,C共線. 5、向量垂直的充要條件：.特別地. 則有 .方向上的單位向量，設(shè)則有AP平

4、分,又共線，所以O(shè)A平分.同理可證BO平分,CO平分,從而O是內(nèi)心. 3. 向量平行和垂直的重要應(yīng)用 向量平行和垂直的重要應(yīng)用,是高考的熱點(diǎn).命題方向有兩點(diǎn)：一是利用已知條件去判斷垂直或平行；二是利用平行或垂直的條件去確定參數(shù)的值.需牢固掌握判斷的充要條件. （1）向量平行(共線)的充要條件：＝0; （2）向量垂直的充要條件：. 例4 設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且 C A B D E F 圖1 則與( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 【解

5、法一】利用三角形的加法法則：幾何法.如圖1， 在 在 在 A.4 B.5 C.6 D.8 H N C(M) B A D 解析一：（幾何法） 對(duì)于幾何含義： 如圖所示，當(dāng)和重合時(shí)，投影為正且最大. o M D N ， 則. 解析二：（代數(shù)法） 建立如圖的坐標(biāo)系，則取得最大值6. 4.平面向量共線的坐標(biāo)表示 (1)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b的充要條件a＝λb與x1y2－x2y1＝0在本質(zhì)上是相同的，只是形式上有差異． (2)要記準(zhǔn)

6、坐標(biāo)公式特點(diǎn)，不要用錯(cuò)公式． 5.求向量的夾角時(shí)要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律；(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角關(guān)系是鈍角． 6.如果高考單獨(dú)考查向量運(yùn)算，如代數(shù)或幾何運(yùn)算，一般試題難度較低，位置較為靠前，此時(shí)為得全分的題目；如果向量和其他知識(shí)相結(jié)合，考查最值問題，一般以后幾道選擇題出現(xiàn)，難度較大，此時(shí)應(yīng)充分考慮向量的幾何意義或坐標(biāo)法進(jìn)行解決.在利用坐標(biāo)法解決問題時(shí)，可考慮一般問題特殊化，即恰當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化代數(shù)運(yùn)算.如果探求一些范圍問題，適當(dāng)?shù)拇禉z驗(yàn)是一個(gè)良策. （A）

7、 （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】在中，有因E為DC的中點(diǎn)，故因點(diǎn)F為BC的一個(gè)三分點(diǎn)，故故選D. 4.【唐山市2020學(xué)年度高三年級(jí)第一次模擬考試】 在中，，則 (A) 10 (B) -10 (C) 4 (D) 4 [答案]B 【答案】A 【解析】 因=，其中，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋的區(qū)域以為鄰邊的平行四邊形，則為內(nèi)切圓的半徑. 由余弦定理可知 又因?yàn)槿切蔚膬?nèi)心，故到三角形各邊的距離均為此時(shí)三角形的面積可以分割為三個(gè)小三角形的面積的和，即答案：D 解析：由向量加法法則可知四邊形ABCD是平行四邊形，故選D 9.【山東省棗莊市2020

8、屆高三上學(xué)期期末測(cè)試試題】 若平面向量?jī)蓛伤傻慕窍嗟?，則_______. 【答案】2或5 【解析】①三個(gè)向量a、b、c兩兩所成的角均相等且為120o時(shí)， . ②三個(gè)向量a、b、c兩兩所成的角均相等且為0o時(shí)，. 10.【福州市2020屆第一學(xué)期期末高三質(zhì)檢】 已知，，與的夾角為，，則與的夾角為 A． B． C． D． 【答案】B ，因 函數(shù)取得最大值故答案為C. A.－1 B．1 C. D．2 【答案】 B　 【解析】 |a＋b－c|＝＝，由于a·b＝0，所以上式＝，又由于(a－c)·(b－c)≤0，得(a＋b)·c≥c2＝1，所以|a＋b－c|＝≤1，故選B. 16.【北京市東城區(qū)2020學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測(cè)】 若非零向量滿足，則與的夾角為 ． 【答案】 【解析】如圖與構(gòu)成等邊三角形，則與的夾角為 17.【北京市石景山區(qū)2020學(xué)年高三第一學(xué)期期末考試】 的最小值是_____________． 【答案】 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以， 因?yàn)椋裕? 所以，