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1、江蘇省連云港市灌南縣大圈中學(xué)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 兩角和與差的余弦教案
【三維目標(biāo)】:
一、知識與技能
1.掌握用向量方法推導(dǎo)兩角差的余弦公式,進(jìn)一步體會向量方法的作用;
2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式,理解化歸思想在三角變換中的作用;
3.能用余弦的和差角公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式的證明
二、過程與方法
1.經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程,體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程,體會向量和三角函數(shù)的聯(lián)系;
2.通過向量的手段證明兩角差的余弦公式,讓學(xué)生進(jìn)一步體會向量法作為一種有效手段的同時(shí)掌握兩角差的余弦函數(shù);講解例題,總結(jié)方法,鞏固練習(xí).
三、
2、情感、態(tài)度與價(jià)值觀
1.創(chuàng)設(shè)問題情景,激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度,強(qiáng)化學(xué)生的參與意識.
2.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),使同學(xué)們對兩角和與差的三角函數(shù)有了一個全新的認(rèn)識;理解掌握兩角和與差的三角的各種變形,提高逆用思維的能力.
【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】:
重點(diǎn): 兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用.
難點(diǎn): 兩角差的余弦公式的推導(dǎo).
【學(xué)法與教學(xué)用具】:
1. 學(xué)法:
(1)自主性學(xué)習(xí)法:通過自學(xué)掌握兩角差的余弦公式.
(2)探究式學(xué)習(xí)法:通過分析、探索、掌握兩角差的余弦公式的過程.
(3)反饋練習(xí)法:以練習(xí)來檢驗(yàn)知識的應(yīng)用情況,找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距.
2. 教法:啟發(fā)式教
3、學(xué)
3.教學(xué)用具:多媒體、實(shí)物投影儀.
【授課類型】:新授課
【課時(shí)安排】:1課時(shí)
【教學(xué)思路】:
一、創(chuàng)設(shè)情景,揭示課題
1.?dāng)?shù)軸兩點(diǎn)間的距離公式:.
2.點(diǎn)是終邊與單位圓的交點(diǎn),則.
二、研探新知
兩角和的余弦公式的推導(dǎo)(向量法):
把看成兩個向量夾角的余弦,考慮用向量的數(shù)量積來研究。
在直角坐標(biāo)系中,以軸為始邊分別作角,其終邊分別與單位圓交于,,則由于余弦函數(shù)是周期為的偶函數(shù),所以,我們只需考慮的情況。
設(shè)向量=,=,
則 =||||=
另一方面,由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,有=,所以
=
4、這就是兩角差的余弦公式。
【探究】:
如圖3-1-2,在直角坐標(biāo)系中,單位圓與軸交于,以為始邊分別作出角,其終邊分別和單位圓交于,由,你能否導(dǎo)出兩角差的余弦公式?
在公式中用代替,就得到.()
這就是兩角和的余弦公式
【說明】:
公式對于任意的都成立。
【思考】:
“用代替”的換元方法體現(xiàn)在圖形上具有什么幾何意義?你能直接利用向量的數(shù)量積推出兩角和的余弦公式嗎?
三、質(zhì)疑答辯,排難解惑,發(fā)展思維
例1(教材例1)利用兩角和(差)的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式:
(1); (2)
例2(教材例2)利用兩角和(差)的余弦公式,求。
【舉一反三】:
1. 求值:(1)
5、 (2)
(1)
(2).
【點(diǎn)評】:把一個具體角構(gòu)造成兩個角的和、差形式,有很多種構(gòu)造方法,例如:,要學(xué)會靈活運(yùn)用.
【思考】:你會求① cos105°、②sin、③cos、④coscos-sinsin的值嗎?
例3(教材例3)已知,求的值
【思考】:在上例中,你能求出的值嗎?
【舉一反三】:
1.已知cos , ,求cos的值.
2.已知,是第三象限角,求的值.
提示:注意角、的象限,也就是符號問題.
3. 已知cos(2α-β)=-,sin (α-2β)=,且<α<,0<β<,求cos(α+β)的值
四、鞏固深化,反饋矯正
教材練習(xí)第2題,第3題
五、歸納整理,整體認(rèn)識
本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差的余弦公式,要求同學(xué)們掌握公式的推導(dǎo),能熟練運(yùn)用公式,注意公式的逆用。在解題過程中注意角、的象限,也就是符號問題,學(xué)會靈活運(yùn)用.
六、承上啟下,留下懸念
1.用兩點(diǎn)距離公式推導(dǎo)兩角和與差的余弦公式。
2.預(yù)習(xí)兩角和與差的正弦
七、板書設(shè)計(jì)(略)
八、課后記: