陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第一章 等比數(shù)列與等差數(shù)列概念及性質(zhì)對(duì)比典型例題素材 北師大版必修5(通用)

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1、等比數(shù)列與等差數(shù)列概念及性質(zhì)對(duì)比 1.?dāng)?shù)列的定義 顧名思義,數(shù)列就是數(shù)的序列,嚴(yán)格地說,按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列. 數(shù)列的基本特征是:構(gòu)成數(shù)列的這些數(shù)是有序的. 數(shù)列和數(shù)集雖然是兩個(gè)不同的概念,但它們既有區(qū)別,又有聯(lián)系.?dāng)?shù)列又是一類特殊的函數(shù). 2.等差數(shù)列的定義 顧名思義,等差數(shù)列就是“差相等”的數(shù)列.嚴(yán)格地說,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列,叫做等差數(shù)列. 這個(gè)定義的要點(diǎn)有兩個(gè):一是“從第2項(xiàng)起”,二是“每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)”.這兩個(gè)要點(diǎn),刻畫了等差數(shù)列的本質(zhì). 3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是:an= a1+(n

2、-1)d . ① 這個(gè)通項(xiàng)公式既可看成是含有某些未知數(shù)的方程,又可將an看作關(guān)于變量n的函數(shù),這為我們利用函數(shù)和方程的思想求解問題提供了工具. 從發(fā)展的角度看,將通項(xiàng)公式①進(jìn)行推廣,可獲得更加廣義的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì),并由此揭示等差數(shù)列公差的幾何意義,同時(shí)也可揭示在等差數(shù)列中,當(dāng)某兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)和等于另兩項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)和時(shí),這四項(xiàng)之間的關(guān)系. 4.等差中項(xiàng) A稱作a與b的等差中項(xiàng)是指三數(shù)a,A,b成等差數(shù)列.其數(shù)學(xué)表示是: ,或2 A=a+b. 顯然A是a和b的算術(shù)平均值. 2 A=a+b(或)是判斷三數(shù)a,A,b成等差數(shù)列的一個(gè)依據(jù),并且,2 A

3、=a+b(或)是a,A,b成等差數(shù)列的充要條件.由此得,等差數(shù)列中從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮等差數(shù)列末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng). 值得指出的是,雖然用2A=a+b(或)可同時(shí)判定A是a與b的等差中項(xiàng)及A是b與a的等差中項(xiàng),但兩者的意義是不一樣的,因?yàn)榈炔顢?shù)列a,A,b與等差數(shù)列b,A,a不是同一個(gè)數(shù)列. 5.等差數(shù)列前n項(xiàng)的和 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式是:, ① 或 ② 公式①和②均可看作方程.事實(shí)上,公式①和②中均含有四個(gè)量,若知其中任意三個(gè)量的值,便可通過解方程的辦法求一個(gè)量的值.若將前n項(xiàng)和的公式與

4、通項(xiàng)公式結(jié)合起來看,共有五個(gè)量,通常知道其中的任意三個(gè)量的值,通過解方程組就可求出其余的兩個(gè)量的值. 公式①的結(jié)構(gòu)形式與梯形的面積公式是一致的,這可由教材中碼放鋼管的示意圖得到印證. 公式②中的也可看作關(guān)于變量n的二次式(d≠0時(shí)),其圖像是在二次函數(shù):的圖像上當(dāng)x取1,2,3,…時(shí)所對(duì)應(yīng)的那群孤立點(diǎn).這為我們利用函數(shù)的觀點(diǎn)求解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值或最小值問題提供了直觀的背景. 6.等比數(shù)列的定義 顧名思義,等比數(shù)列就是“比值相等”的數(shù)列.嚴(yán)格地說,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列,叫做等比數(shù)列. 和等差數(shù)列類似,這個(gè)定義也有兩個(gè)要點(diǎn):一是“從第2項(xiàng)起”,二是

5、“每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)”.它們刻畫了等比數(shù)列的本質(zhì). 7.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是:an= a1qn-1. ① 這里,一方面,可將an看作是n的函數(shù),另一方面公式本身也可視為一個(gè)方程.從發(fā)展的角度看,將公式①進(jìn)行適當(dāng)推廣,便可得更加廣義的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì). 8.等比中項(xiàng) G稱作a與b的等比中項(xiàng)是指三數(shù)a,G,b,成等比數(shù)列.其數(shù)學(xué)表示是 ,或 G2=ab. 顯然,只有同兩數(shù)才有等比中項(xiàng);若兩數(shù)有等比中項(xiàng),若兩數(shù)有等比中項(xiàng),則必有兩個(gè),它們是一對(duì)互為相反數(shù);一個(gè)等比數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮等比數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng). 9.等比數(shù)列前n項(xiàng)的和 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式是: 公式可視為一個(gè)方程,它含有四個(gè)量.若已知其中任意三個(gè)量的值,便可通過解方程求出另一個(gè)量的值. 公式 即. 從函數(shù)的觀點(diǎn)看,Sn是關(guān)于qn的一次式, 因此點(diǎn)(qn,Sn)在直線上.

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