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1、高二數(shù)學暑假自主學習單元檢測十二
綜合試卷（2）
一、填空題：本大題共14題，每小題5分，共70分．
1．設(shè)集合A={-1,1,3},B={}{3},則實數(shù)a的值為 ．
2．在復平面內(nèi),復數(shù)對應的點位于第 象限.
3．已知直線：和：，則的充要條件是 ．
4．數(shù)據(jù)的方差為3，則數(shù)據(jù)的方差為 ．
5．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是 ．
6．已知，則= ．
7．設(shè)、、是三個不重合的平面,m、n是不重合的直線,給出下列命題:
①若則; ②若m∥∥則;
③若∥∥則∥; ④若m、n在內(nèi)的射
2、影互相垂直,則n.
其中錯誤命題有 個.
8．若，，則與的夾角為銳角的概率
是 ．
9．設(shè)等比數(shù)列{}的前n項和為則x與y的大小關(guān)系
為 ．
10．若不等式對于任意正整數(shù)n恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是 ．
11．已知，設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為N，
那么M+N ．
12．在棱長為1的正方體中，若點是棱上一點，則滿足的
點的個數(shù)為 ．
13．設(shè)是定義在上的可導函數(shù)，且滿足.則不等式
的解集為 ．
14．若實數(shù)成等差數(shù)列，點在動直線上的射影為，點，
則線段長度的
3、最大值是 ．
二、解答題：本大題共6小題，共90分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(本小題滿分14分)
已知△中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為，且．
（1）求角的大??；
20202016
（2）設(shè)向量，，求當取最大值時，的值．
16．(本小題滿分14分)
如圖，已知BC是半徑為1的半圓O的直徑，A是半圓周上不同于B，C的點，F(xiàn)為的
中點．梯形ACDE中，DE∥AC，且AC＝2DE，平面ACDE⊥平面ABC．求證：
F
E
O
A
C
B
D
（1）平面ABE⊥平面ACDE；
（2）平面OFD∥平面B
4、AE．
17．(本小題滿分14分)
因發(fā)生意外交通事故,一輛貨車上的某種液體泄漏到一漁塘中.為了治污,根據(jù)環(huán)保部門的建
議,現(xiàn)決定在漁塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學反應的藥劑.已知每投放,且個單位的藥劑,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中.若多次投放,則某一時刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應時刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗,當水中藥劑的濃度不低于4(克/升)時,它才能起到有效治污的作用.
（Ⅰ）若一次投放4個單位的藥劑,則有效治污時間可達幾天?
（Ⅱ）若第一次投放2個單位的藥劑,6天后再投放個單位的藥劑,要
5、使接下來的4天中能
夠持續(xù)有效治污,試求的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):取1.4).
18．(本小題滿分16分)
已知橢圓E：的左焦點為F，左準線與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標原點O，設(shè)G是圓C上任意一點.
（1）求圓C的方程；
（2）若直線FG與直線交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（3）在平面上是否存在一點P，使得？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由.
19．(本小題滿分16分)
設(shè)數(shù)列的前項的和為，已知.
⑴求,及；
⑵設(shè)若對一切均有，求實數(shù)的取值范圍.
6、
20．(本小題滿分16分)
已知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).
(1)求與的表達式；
(2)設(shè)，試問有幾個零點，并說明理由？
高二數(shù)學暑假自主學習單元檢測十二參考答案
一、填空題：
1．答案：1解析：∵ ∴a+2=3, ∴a=1.
2．答案：一 解析：i,所以在復平面內(nèi),復數(shù)z對應的點位于第一象限.
3．答案：解析：.
4．答案：18解析：數(shù)據(jù)的方差為
5．答案：解析：由題知，，
若，則9+，即，解得.
6．答案：解析：依題意得，
又，
則.
7．答案：3 解析：①錯,此時與也可能相交或∥;②錯
7、,如直線m,n均平行于兩平面的交線,此時m∥n;③正確;面面平行具有傳遞性;④錯;通過空間想象兩直線的位置關(guān)系不確定.
8．答案：解析：因為與的夾角為銳角，所以滿足條件的有所以
9．答案：x=y解析：由題意,得成等比數(shù)列,所以展開整理,得即x=y.
10．答案：解析：由
當n為偶數(shù)時;
當n為奇數(shù)時-2).
綜上,當不等式恒成立時,a的取值范圍是.
11．答案：解析：又為奇函數(shù)，所以.
12．答案：6解析：點在以為焦點的橢圓上，分別在、、
、、、上. 或者，若在上，設(shè),
有.
故上有一點（的中點）滿足條件.
同理在、、、、上各有一點滿足條件.
又若點在上上
8、，則.
故上不存在滿足條件的點，同理上不存在滿足條件的點.
13．答案：解析：記，由得，即在上遞增，由得，解得.
14．答案： 解析：由題可知動直線過定點．設(shè)點，由可求得點的軌跡方程為圓，故線段長度的最大值為
二、解答題：
15. 解：（1）由題意， ……………………… 2分
所以. ……………………… 3分
因為，所以.
所以. …………………………………… 5分
因為，所以. ………………………………… 6分
（2）因為 …………………………… 8分
所以………… 10分
所以當時，取最大值
此時（），于是 ………………………… 12分
所
9、以 ………………………………………… 14分
16.證明：（1）因為平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，ABì平面ABC，
又在半圓O中，AB⊥AC．
所以AB⊥平面ACDE．
因為ABì平面ABE，
所以平面ABE⊥平面ACDE． ………………… 6分
（2）設(shè)線段AC與OF交于點M，連結(jié)MD．
F
E
O
A
C
B
D
M
因為F為的中點，所以O(shè)F⊥AC，M為AC的中點．
因為AB⊥AC，OF⊥AC，所以O(shè)F∥AB．
又OF平面BAE，ABì平面ABE，
10、所以O(shè)F∥平面BAE． ………………… 8分
因為M為AC的中點，且DE∥AC，AC＝2DE，
所以DE∥AM，且DE＝AM．
所以四邊形AMDE為平行四邊形，所以DM∥AE．
又DM平面BAE，AEì平面ABE，
所以DM∥平面BAE． ………………… 11分
又OF∥平面BAE，MD∩OF＝M，MDì平面OFD，OFì平面OFD，
所以平面OFD∥平面BAE． ………………… 14分
17．解：（Ⅰ）因為,所以… …………1分
則當時,由,解得,所以此時……… … ……
11、3分
當時,由,解得,所以此時………… ………5分
綜合,得,若一次投放4個單位的制劑,則有效治污時間可達8天…… ……… 6分
（Ⅱ）當時,……… ………9分
==,因為,而,
所以,故當且僅當時,
有最小值為 ………………………12分
令,解得,
所以的最小值為 ………………14分
18.解：（1）由橢圓E：，得：，，，
又圓C過原點，所以圓C的方程為．………………………4分
（2）由題意，得，代入，得，
所以的斜率為，的方程為， ……=…………8分
（注意：若點G或FG方程只寫一種情況扣1分）
所以到的距離為，直線被圓C截得弦長為．
故直線被圓C截得弦
12、長為7．………………………………………………10分
（3）設(shè)，，則由，得，
整理得①，…………………………12分
又在圓C：上，所以②，
②代入①得， …………………………14分
又由為圓C 上任意一點可知，解得．
所以在平面上存在一點P，其坐標為． …………………………16分
19. 解：依題意，時，;時，.………………2分
因為，
時
所以………………5分
上式對也成立，所以………………6分
（2）當時，,當時，,
所以………………8分
，，數(shù)列是等比數(shù)列，
則.………………12分
因為隨的增大而增大，所以，
由得，所以或………………16分
20.解：(1)在恒成立………………2分
在恒成立…………………4分
所以………………………………………………………………6分
(2)記
所以，………………………………………………8分
令，
所以
令，因為，……………………10分
所以有唯一解，且當時，，遞增，
當時，，遞減，…………………………12分
是的唯一最小值點，且時，
故有且僅有一個零點. …………………………16分
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