高中數(shù)學(xué) 2-2-2第2課時(shí) 橢圓的簡單幾何性質(zhì)同步檢測 新人教版選修2-1

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1、2.2第2課時(shí) 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 一、選擇題 1．將橢圓C1∶2x2＋y2＝4上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，而橫坐標(biāo)不變，得一新橢圓C2，則C2與C1有(　　) A．相等的短軸長　　　　 B．相等的焦距 C．相等的離心率 D．相等的長軸長 [答案]　C [解析]　把C1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即 C1：＋＝1，從而得C2：＋y2＝1. 因此C1的長軸在y軸上，C2的長軸在x軸上． e1＝＝e2，故離心率相等，選C. 2．若橢圓的短軸為AB，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，則滿足△ABF1為等邊三角形的橢圓的離心率是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. [答案]

2、　D [解析]　△ABF1為等邊三角形， ∴2b＝a，∴c2＝a2－b2＝3b2 ∴e＝＝＝＝. 3．(2020·廣東文，7)若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是(　　) A. 　　　B.　　　C.　　　D. [答案]　B [解析]　本題考查了離心率的求法，這種題目主要是設(shè)法把條件轉(zhuǎn)化為含a，b，c的方程式，消去b得到關(guān)于e的方程，由題意得：4b＝2(a＋c)?4b2＝(a＋c)2?3a2－2ac－5c2＝0?5e2＋2e－3＝0(兩邊都除以a2)?e＝或e＝－1(舍)，故選B. 4．已知橢圓2x2＋y2＝2的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且B為短軸的一

3、個(gè)端點(diǎn)，則△F1BF2的外接圓方程為(　　) A．x2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝4 C．x2＋y2＝4 D．x2＋(y－1)2＝4 [答案]　A [解析]　橢圓的焦點(diǎn)為F1(0,1)，F(xiàn)2(0，－1)，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為(1,0)，于是△F1BF2的外接圓是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓，其方程為x2＋y2＝1. 5．已知橢圓的長軸長為20，短軸長為16，則橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心距離的取值范圍是(　　) A．[6,10] B．[6,8] C．[8,10] D．[16,20] [答案]　C [解析]　由題意知a＝10，b＝8，設(shè)橢圓上的點(diǎn)

4、M(x0，y0)， 由橢圓的范圍知，|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，點(diǎn)M到橢圓中心的距離d＝. 又因?yàn)椋?，所以y＝64(1－)＝64－x，則d＝＝，因?yàn)?≤x≤100，所以64≤x＋64≤100，所以8≤d≤10. 6．橢圓C1：＋＝1和橢圓C2：＋＝1　(0

5、 A.　　　B.　　　C.　　　D. [答案]　A [解析]　由題意知b＝c，∴a＝c，∴e＝＝. 8．已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，離心率為，長軸長為12，則橢圓方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1或＋＝1 D.＋＝1 [答案]　C [解析]　∵長軸長2a＝12，∴a＝6，又e＝∴c＝2， ∴b2＝a2－c2＝32，∵焦點(diǎn)不定， ∴方程為＋＝1或＋＝1. 9．已知點(diǎn)(3,2)在橢圓＋＝1上，則(　　) A．點(diǎn)(－3，－2)不在橢圓上 B．點(diǎn)(3，－2)不在橢圓上 C．點(diǎn)(－3,2)在橢圓上 D．無法判斷點(diǎn)(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否

6、在橢圓上 [答案]　C [解析]　∵點(diǎn)(3,2)在橢圓＋＝1上，∴由橢圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)(－3,2)、(3，－2)、(－3，－2)都在橢圓上，故選C. 10．橢圓＋＝1和＋＝k(k>0)具有(　　) A．相同的長軸　　　　　 B．相同的焦點(diǎn) C．相同的頂點(diǎn) D．相同的離心率 [答案]　D [解析]　橢圓＋＝1和＋＝k(k>0)中，不妨設(shè)a>b，橢圓＋＝1的離心率e1＝，橢圓＋＝1(k>0)的離心率e2＝＝. 二、填空題 11．(2020·廣東理)已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為_____

7、___． [答案]?。? [解析]　設(shè)橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1　(a>b>0)，半焦距為c，則 ，∴， ∴b2＝a2－c2＝36－27＝9， ∴橢圓G的方程為＋＝1. 12．橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝4，則|PF2|＝________，∠F1PF2的大小為________． [答案]　2　120° [解析]　依題知a＝3，b＝，c＝，由橢圓定義得|PF1|＋|PF2|＝6，∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2. 又|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝2. 在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－，∴∠F1PF2＝120

8、°. 13．橢圓＋＝1上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為d1、d2，焦距為2c，若d1、2c、d2成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為________． [答案]　 [解析]　由題意得4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝＝. 14．經(jīng)過橢圓＋＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)且垂直于橢圓長軸的弦長為________． [答案]　 [解析]　∵垂直于橢圓長軸的弦所在直線為x＝±c， 由，得y2＝， ∴|y|＝，故弦長為. 三、解答題 15．已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的離心率e＝，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)． [解析]　橢圓方程可化為＋＝1， ∵m－＝>0， ∴m

9、>. 即a2＝m，b2＝，c＝＝. 由e＝得，＝，∴m＝1. ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1， ∴a＝1，b＝，c＝. ∴橢圓的長軸長為2，短軸長為1；兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)；四個(gè)頂點(diǎn)分別為A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，－)，B2(0，)． 16．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，它在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)F與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)B1，B2的連線互相垂直，且這個(gè)焦點(diǎn)與較近的長軸的端點(diǎn)A的距離為－，求這個(gè)橢圓的方程． [解析]　由于橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)其方程為＋＝1(a>b>0)． 由橢圓的對(duì)稱性知，|B1F|＝|B2F|，又B1F⊥B2F，因此△B1FB2為等腰直角三角形，于是|OB2|＝|OF|，即b＝c. 又|FA|＝－即a－c＝－，且a2＋b2＝c2. 將以上三式聯(lián)立，得方程組， 解得 所求橢圓方程是＋＝1. 17．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.求橢圓的方程． [解析]　由e＝＝，得3a2＝4c2，再由c2＝a2－b2，得a＝2b. 由題意可知×2a×2b＝4，即ab＝2. 解方程組得a＝2，b＝1， 所以橢圓的方程為＋y2＝1.