高中數(shù)學(xué) 3-1-5第5課時 空間向量運算的坐標(biāo)表示同步檢測 新人教A版選修2-1

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1、3.1第5課時 空間向量運算的坐標(biāo)表示 一、選擇題 1．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα) ，且a b則向量a＋b與a－b的夾角是(　　) A．90°　 　 B．60°　 　 C．30°　 　 D．0° [答案]　A [解析]　∵|a|2＝2，|b|2＝2， (a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0， ∴(a＋b)⊥(a－b)． 2．已知空間四點A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，則x的值為(　　) A．4　　 　 B．1　　 　 C．10　　　 D．11 [答案]　D [

2、解析]?。?－2,2，－2)，＝(－1,6，－8)，＝(x－4，－2,0)， ∵A、B、C、D共面，∴、、共面， ∴存在λ、μ，使＝λ＋μ， 即(x－4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)， ∴，∴. 3．下列各組向量中共面的組數(shù)為(　　) ①a＝(1,2,3)，b＝(3,0,2)，c＝(4,2,5) ②a＝(1,2，－1)，b(0,2，－4)，c＝(0，－1,2) ③a＝(1,1,0)，b＝(1,0,1)，c＝(0,1，－1) ④a＝(1,1,1)，b(1,1,0)，c＝(1,0,1) A．0 　　　 B．1 　　　 C．2 　　 　 D．3 [答

3、案]　D [解析]?、僭O(shè)a＝xb＋yc，則 ，解得. 故存在實數(shù)x＝－1，y＝1使得a＝－b＋c， ∴a，b，c共面． ②中b＝－2c，③中c＝a－b. 故②③中三個向量共面． 4．下列各組向量不平行的是(　　) A．a(chǎn)＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4) B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0) C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0) D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40) [答案]　D [解析]　b＝－2a，d＝－3c，f＝0e，只有D不存在實數(shù)λ，使g＝λh. 5．若兩點的坐標(biāo)是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2s

4、inθ，1)，則||的取值范圍是(　　) A．[0,5]　 B．[1,5] C．(1,5) D．[1,25] [答案]　B [解析]　||2＝(2cosθ－3cosα)2＋(2sinθ－3sinα)2＝13－12cosθcosα－12sinθsinα ＝13－12cos(θ－α)∈[1,25]， ∴1≤||≤5. 6．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x)，且a與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是(　　) A．x<－4 B．－44 [答案]　A [解析]　∵a、b的夾角為鈍角，∴a·b<0， 即3x＋2(2－x)

5、＋0·x＝4＋x<0. ∴x<－4. 又當(dāng)夾角為π時，存在λ<0，使b＝λa， ∴，此方程組無解，因此選A. 7．如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCD－A1B1C1D1棱長為1，B1E1＝A1B1，則等于(　　) A．(0，，－1) B．(－，0,1) C．(0，－，1) D．(，0，－1) [答案]　C [解析]　B(1,1,0)、E1(1，，1)，＝(0，－，1)． 8．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，則(　　) A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4 C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1 [答案]

6、　B [解析]　a＋2b＝(2x＋1,4,4－y)， 2a－b＝(2－x,3，－2y－2)， ∵(a＋2b)∥(2a－b)， ∴，∴ 9．如圖AC1是正方體的一條體對角線，點P、Q分別為其所在棱的中點，則PQ與AC1所成的角為(　　) A．a(chǎn)rctan B．a(chǎn)rctan C. D. [答案]　D [分析]　建立空間直角坐標(biāo)系，求出與的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為求與的夾角． [解析]　設(shè)正方體棱長為1，以點A1為坐標(biāo)原點，A1B1、A1D1、A1A所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P，Q，A(0,0,1)，C1(1,1,0)，所以＝，＝(1,1，－1)，故

7、·＝－×1＋1×1＋×(－1)＝0， ∴⊥，即PQ與AC1所成的角為. 10．已知向量＝(2，－2,3)，向量＝(x,1－y,4z)，且平行四邊形OACB對角線的中點坐標(biāo)為(0，，－)，則(x，y，z)＝(　　) A．(－2，－4，－1) B．(－2，－4,1) C．(－2,4，－1) D．(2，－4，－1) [答案]　A [解析]　由條件(2，－2,3)＋(x,1－y,4z) ＝2， ∴(x＋2，－1－y,3＋4z)＝(0,3，－1)， ∴. 二、填空題 11．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－1,0)，單位向量n滿足n⊥a，n⊥b，則n＝________.

8、[答案]　　 [解析]　設(shè)n＝(x，y，z)，由條件， ∴x＝y(tǒng)＝z＝或－. 12．已知空間三點A(1,1,1)、B(－1,0,4)、C(2，－2,3)，則與的夾角θ的大小是____________． [答案]　120° [解析]　＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)， ·＝－7，||＝，||＝， ∴cosθ＝＝－， ∴θ＝120°. 13．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1，－3,0)，c＝(7，－2，1)，則： (1)a＋b＋c＝________； (2)(a＋b)·c＝________； (3)|a－b＋c|2＝________. [答案]　(5，－3

9、,6)?。?　54 [解析]　(1)a＋b＋c＝(－3,2,5)＋(1，－3,0)＋(7，－2,1)＝(5，－3,6)． (2)a＋b＝(－2，－1,5)， (a＋b)·c＝(－2，－1,5)·(7，－2,1)＝－7. (3)a－b＋c＝(3,3,6)，|a－b＋c|2＝54. 14．已知a，b，c不共面，且m＝3a＋2b＋c，n＝x(a－b)＋y(b－c)－2(c－a)，若m∥n，則x＋y＝__________________. [答案]?。? [解析]　∵a、b、c不共面，m∥n， ∴＝＝，∴. 三、解答題 15．已知點A(2,3，－1)，B(8，－2,4)，C(3,0

10、,5)，是否存在實數(shù)x，使與＋x垂直？ [解析]?。?6，－5,5)，＝(1，－3,6)， ＋x＝(6＋x，－5－3x,5＋6x)， ∵⊥(＋x) ∴6(6＋x)－5(－5－3x)＋5(5＋6x)＝0， ∴x＝－＝－，∴存在實數(shù)x＝－， 使與＋x垂直． 16．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、DC的中點． 求證：(1)AE⊥D1F； (2)AE⊥平面A1D1F. [證明]　設(shè)正方體的棱長為1，以、、為坐標(biāo)向量，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，如圖所示． (1)易知A(1,0,0)、E(1,1，)、F(0，，0)、D1(0,0,1)． ∵＝(0,1

11、，)，＝(0，，－1)． 又·＝(0,1，)·(0，，－1)＝0， ∴AE⊥D1F. (2)＝(1,0,0)＝， ∴·＝(1,0,0)·(0,1，)＝0， ∴AE⊥D1A1， 由(1)知AE⊥D1F，且D1A∩D1F＝D1， ∴AE⊥平面A1D1F. 17．已知空間三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝，b＝. (1)設(shè)|c|＝3，c∥，求c. (2)求a與b的夾角． (3)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k. [解析]　(1)∵c∥，＝(－2，－1,2)． ∴設(shè)c＝(－2λ，－λ，2λ)， ∴|c|＝＝3|λ|＝3 ∴λ＝±1

12、 ∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． (2)a＝＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0) b＝＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)． ∴cos＝ ＝＝－. ∴a和b的夾角為＝π－arccos. (3)ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 又(ka＋b)⊥(ka－2b)，則(ka＋b)·(ka－2b)＝(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0， ∴k＝2或k＝－. 18．已知空間三點A(0,2,3)、B(－2,1,6)、C(1，－1,5)． (1)求以、為鄰邊的平行四邊形面積； (2)若|a|＝，且a分別與、垂直，求向量a的坐標(biāo)． [解析]　(1)由題中條件可知 ＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)， ∴cos〈，〉＝＝＝， ∴sin〈，〉＝， ∴以，為鄰邊的平行四邊形面積 S＝||·||·sin〈，〉＝7. (2)設(shè)a＝(x，y，z)， 由題意得 解得或 ∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)