三角函數(shù)的有關概念、同角三角函數(shù)的關系式與誘導公式

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1、第四章　三角函數(shù) 第1講　三角函數(shù)的有關概念、同角三角函數(shù)的關系式及誘導公式 考綱展示　命題探究 1　三角函數(shù)的有關概念 (1)終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． (2)角度與弧度的互化 ①360°＝2π rad；②180°＝π rad； ③1°＝ rad；④1 rad＝°≈57.30°. (3)弧長及扇形面積公式 ①弧長公式：l＝|α|r； ②扇形面積公式：S＝lr＝|α|r2. 其中l(wèi)為扇形弧長，α為圓心角，r為扇形半徑． (4)任意角的三角函數(shù)的定義 設α是一個任意角，α的終邊上任意一點P

2、(與原點不重合)的坐標為(x，y)，它到原點的距離是r＝. 三角函數(shù) 定義 定義域 sinα R cosα R tanα (5)三角函數(shù)在各象限的符號 記憶口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (6)三角函數(shù)線 角所在 的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 圖形 2　同角三角函數(shù)基本關系式 (1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商數(shù)關系：tanα＝. 3　誘導公式及記憶規(guī)律 (1)誘導公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α

3、 π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα — — (2)誘導公式的記憶規(guī)律 ①誘導公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限． ②“奇”“偶”指的是誘導公式k·＋α中的整數(shù)k是奇數(shù)還是偶數(shù)．“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化，若k為奇數(shù)，則正、余弦互變；若k為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變． ③“符號看象限”指的是在k·＋α中，將α看成銳角時k·＋α所在的象限． 注意點　應用三角函

4、數(shù)定義和平方關系求值時注意正負號選取 (1)利用三角函數(shù)的定義求解問題時，認清角終邊所在的象限或所給角的取值范圍，以確定三角函數(shù)值的符號． (2)利用同角三角函數(shù)的平方關系求三角函數(shù)值，進行開方時要根據(jù)角的范圍，判斷符號后正確取舍. 1．思維辨析 (1)120°角的正弦值是，余弦值是－.(　　) (2)同角三角函數(shù)關系式中的角α是任意角．(　　) (3)六組誘導公式中的角α可以是任意角．(　　) (4)誘導公式的口訣“奇變偶不變，符號看象限”中的“符號”與α的大小無關．(　　) (5)銳角是第一象限角，反之亦然．(　　) (6)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．(　　)

5、 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√ 2．已知角α的終邊經(jīng)過點(－4,3)，則cosα＝(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　由三角函數(shù)的定義知cosα＝＝－.故選D. 3．(1)角－870°的終邊所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)弧長為3π，圓心角為135°的扇形半徑為________，面積為________． 答案　(1)C　(2)4　6π 解析　(1)因為－870°＝－2×360°－150°，又－150°是第三象限角，所以－870°的終邊在第三象限．

6、(2)弧長l＝3π，圓心角α＝π，由弧長公式l＝|α|·r，得r＝＝＝4，面積S＝lr＝6π. 　[考法綜述]　對于角的概念、三角函數(shù)的定義單獨命題的概率很小，多與其他知識相結合．如三角恒等變換、同角關系式及誘導公式等，題型一般為選擇題、填空題形式，屬于中低檔題目，考查學生的基本運算能力及等價轉化能力． 命題法　三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)關系式，誘導公式的應用 典例　　(1)已知sinαcosα＝，且<α<，則cosα－sinα的值為(　　) A．－ B. C．－ D. (2)若角θ的終邊經(jīng)過點P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，則cosθ的值為________．

7、 (3)已知扇形周長為40，當它的半徑r＝________和圓心角θ＝________分別取何值時，扇形的面積取最大值？ (4)已知cos＝，則sin＝________. [解析]　(1)∵<α<， ∴cosα<0，sinα<0且|cosα|<|sinα|， ∴cosα－sinα>0. 又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝， ∴cosα－sinα＝. (2)點P(－，m)是角θ終邊上一點，由三角函數(shù)定義可知sinθ＝.又sinθ＝m， ∴＝m. 又m≠0，∴m2＝5， ∴cosθ＝＝－. (3)設圓心角是θ，半徑是r，則2r＋rθ＝40. 又S

8、＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100. 當且僅當r＝10時，Smax＝100，此時2×10＋10θ＝40，θ＝2. ∴當r＝10，θ＝2時，扇形的面積最大． (4)∵＋＝－， ∴α－＝－－， ∴sin＝sin， ＝－cos＝－. [答案]　(1)B　(2)－　(3)10　2　(4)－ 【解題法】　同角關系式的應用技巧和誘導公式使用原則步驟 (1)同角關系式的應用技巧 ①弦切互化法：主要利用公式tanθ＝化成正弦、余弦函數(shù)． ②和積轉換法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關系進行變形、轉化． ③巧用“1”的變

9、換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ. (2)使用誘導公式的原則和步驟 ①原則：負化正、大化小、化到銳角為終了． ②步驟：利用誘導公式可以把任意角的三角函數(shù)轉化為0～之間角的三角函數(shù)，然后求值． 1.若tanα＝2tan，則＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析?。? ＝＝ ＝ ＝＝＝3，故選C. 2．設a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，則(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 答案　C 解析　∵a＝sin33°，b＝cos55°＝si

10、n35°， c＝tan35°＝， ∴>sin35°>sin33°.∴c>b>a，選C. 3．已知扇形的周長是4 cm，則扇形面積最大時，扇形的中心角的弧度數(shù)是(　　) A．2 B．1 C. D．3 答案　A 解析　設此扇形的半徑為r，弧長為l，則2r＋l＝4，面積S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故當r＝1時S最大，這時l＝4－2r＝2. 從而α＝＝＝2. 4．已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點，且sinθ＝－，則y＝________. 答案?。? 解析　若角α終邊上任意一點P(x，y)，|OP|

11、＝r，則sinα＝，cosα＝，tanα＝.P(4，y)是角θ終邊上一點，由三角函數(shù)的定義知sinθ＝，又sinθ＝－， ∴＝－，且y<0，解得y＝－8. 5.若α∈，則的最大值為________． 答案　 解析　∵α∈，∴tanα>0， ∴＝＝＝≤，當且僅當tanα＝2時取等號． 6．在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈. (1)若m⊥n，求tanx的值； (2)若m與n的夾角為，求x的值． 解　(1)∵m⊥n，∴m·n＝0. 故sinx－cosx＝0，∴tanx＝1. (2)∵m與n的夾角為，∴cos〈m，n〉＝＝＝，故sin＝.

12、 又x∈，∴x－∈，x－＝，即x＝，故x的值為. 已知角α的終邊在直線2x－y＝0上，求角α的正弦、余弦和正切值． [錯解]　 [錯因分析]　直接在直線上取特殊點的方法，導致漏解． [正解]　在直線2x＋y＝0上取點(m,2m)(m≠0) 則r＝|m|， 當m>0時，r＝m，sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝2. 當m<0時，r＝－m，sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝2. [心得體會]　 ……………………………………………… ……………………………………………… 　　時間：45分鐘 基礎組　 1．[2016·冀州中學期中]已知

13、角α的終邊過點P(－a，－3a)，a≠0，則sinα＝(　　) A.或 B. C.或－ D.或－ 答案　D 解析　當a>0時，角α的終邊過點(－1，－3)，利用三角函數(shù)的定義可得sinα＝－；當a<0時，角α的終邊過點(1,3)，利用三角函數(shù)的定義可得sinα＝.故選D. 2. [2016·衡水中學仿真]若sinα＋cosα＝(0<α<π)，則tanα等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　由sinα＋cosα＝，兩邊平方得 1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－， 又2sinαcosα<0,0<α<π. ∴<α<π.∴si

14、nα－cosα>0. ∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝， ∴sinα－cosα＝. 由得∴tanα＝－. 3．[2016·棗強中學預測]設集合M＝·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝·180°＋45°，k∈Z，那么(　　) A．M＝N B．M?N C．N?M D．M∩N＝? 答案　B 解析　M＝＝，故當集合N中的k為偶數(shù)時，M＝N，當k為奇數(shù)時，在集合M中不存在，故M?N. 4．[2016·冀州中學一輪檢測]已知角θ的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊在直線2x－y＝0上，則＝(　　) A．－2 B．2 C．0 D

15、. 答案　B 解析　由角θ的終邊在直線2x－y＝0上，可得tanθ＝2，原式＝＝＝2. 5．[2016·武邑中學一輪檢測]已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，則tanα＝(　　) A．－1 B．－ C. D．1 答案　A 解析　解法一：由sinα－cosα＝sin＝， α∈(0，π)，解得α＝，∴tanα＝tan＝－1. 解法二：由sinα－cosα＝及sin2α＋cos2α＝1，得(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝－1<0，故tanα<0，且2sinαcosα＝＝＝－1，解得tanα＝－1(正值舍)． 6．[2016

16、·武邑中學月考]已知角x的終邊上一點的坐標為，則角x的最小正值為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵sin＝，cos＝－，∴角x的終邊經(jīng)過點，tanx＝－，∴x＝2kπ＋π，k∈Z，∴角x的最小正值為. 7. [2016·衡水中學熱身]已知函數(shù)f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝2f(x)，則tan2x的值是(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　因為f(x)＝sinx－cosx，所以f′(x)＝cosx＋sinx，于是有cosx＋sinx＝2(sinx－cosx)，整理得sinx＝3cosx，所以tanx＝3，因此tan2

17、x＝＝＝－，故選C. 8．[2016·衡水二中期中]已知sin(π－α)＝log8 ，且α∈，則tan(2π－α)的值為(　　) A．－ B. C．± D. 答案　B 解析　sin(π－α)＝sinα＝log8＝－， 又因為α∈，則cosα＝＝，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－＝. 9．[2016·武邑中學預測]在三角形ABC中，若sinA＋cosA＝，則tanA＝(　　) A. B．－ C．－ D．± 答案　B 解析　解法一：因為sinA＋cosA＝，所以(sinA＋cosA)2＝2，所以1＋2sinAcosA＝，所以sinAcos

18、A＝－. 又A∈(0，π)，所以sinA>0，cosA<0. 因為sinA＋cosA＝，sinAcosA＝－，所以sinA，cosA是一元二次方程x2－x－＝0的兩個根， 解方程得sinA＝，cosA＝－，所以tanA＝－.故選B. 解法二：由解法一，得sinA>0，cosA<0，又sinA＋cosA＝>0，所以|sinA|>|cosA|，所以0，cosα

19、<0，所以cosα＋sinα＝－1＋1＝0，即原式等于0. 11. [2016·武邑中學猜題]設f(α)＝，則f＝________. 答案　 解析　∵f(α)＝ ＝＝＝， ∴f＝＝ ＝＝. 能力組 12.[2016·冀州中學仿真]已知扇形的面積為，半徑為1，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　S扇＝|α|r2＝|α|×1＝，所以|α|＝. 13．[2016·武邑中學預測]已知sin(3π－α)＝－2sin，則sinαcosα等于(　　) A．－ B. C.或－ D．－ 答案　A 解析　因為sin(3π－α

20、)＝sin(π－α)＝－2sin， 所以sinα＝－2cosα，所以tanα＝－2， 所以sinαcosα＝＝＝－. 14．[2016·衡水二中模擬]已知α∈(0，π)且sinα＋cosα＝m(0OP＝1.若α＝，則sinα＋cosα＝1.由已知0

21、ABC是銳角三角形，若角θ終邊上一點P的坐標為(sinA－cosB，cosA－sinC)，則＋＋的值是(　　) A．1 B．－1 C．3 D．4 答案　B 解析　因為△ABC是銳角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，則sinA>sin(90°－B)＝cosB，sinA－cosB>0，同理cosA－sinC<0，所以點P在第四象限，＋＋＝－1＋1－1＝－1，故選B. 1. 若不給自己設限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。用一些事情，總會看清一些人。有時候覺得自己像個神經(jīng)病。既糾結了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻給她的是一些色彩，它奉獻給你的也是一些色彩。你必須努力，當有一天驀然回首時，你的回憶里才會多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。