人教版一元二次方程教學(xué)設(shè)計(jì)

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1、21.1 一元二次方程 【教學(xué)目標(biāo)】 知識(shí)與技能 1.了解整式方程的意義，理解一元二次方程及其有關(guān)概念； 2.掌握一元二次方程的一般形式，能熟練指出二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)等內(nèi)容； 3.了解一元二次方程根的意義和用法。 過(guò)程與方法 1.通過(guò)對(duì)黃金分割以及身邊的實(shí)際應(yīng)用例子的展示，一方面讓學(xué)生了解對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的處理方法，另一方面，通過(guò)這類(lèi)方程和前面所學(xué)的方程的比較，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)新知的方法——類(lèi)比法； 2.通過(guò)對(duì)類(lèi)比法的說(shuō)明，培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察、分析、比較和歸納問(wèn)題的意識(shí)； 3.通過(guò)對(duì)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用。 情感、態(tài)度與價(jià)值

2、觀(guān) 1.經(jīng)歷在應(yīng)用過(guò)程中歸納概念的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在身邊、用數(shù)學(xué)解決身邊實(shí)際問(wèn)題的能力，逐步感知數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力和數(shù)學(xué)美。 2.通過(guò)對(duì)一元二次方程定義的講解，培養(yǎng)學(xué)生在生活中處理問(wèn)題的的嚴(yán)謹(jǐn)性和合理性。 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn)：一元二次方程的概念和一般形式。 難點(diǎn)：正確識(shí)別一元二次方程和列一元二次方程。 【教法與學(xué)法導(dǎo)航】 ?教學(xué)方法 激趣法、誘導(dǎo)法、探究與討論法、設(shè)問(wèn)法、歸納法 ?學(xué)習(xí)方法： 動(dòng)手操作法，自主探究法，互動(dòng)學(xué)習(xí)法，發(fā)現(xiàn)法，合作探究與討論歸納法 【教學(xué)準(zhǔn)備】 ?教師準(zhǔn)備： PPT課件（開(kāi)頭的應(yīng)用問(wèn)題、一元二次方程的特點(diǎn)、練習(xí)題、板書(shū)設(shè)計(jì)等內(nèi)容），每

3、個(gè)學(xué)生一份長(zhǎng)10cm,寬5cm的矩形紙各一張。 ?學(xué)生準(zhǔn)備： 刻度尺 剪刀 【教學(xué)過(guò)程】 · 一、問(wèn)題探索—導(dǎo)入新知 （一）利用多媒體展示問(wèn)題1和問(wèn)題2： （師：請(qǐng)同學(xué)們思考大屏幕上這兩個(gè)問(wèn)題） 問(wèn)題1.如圖，有一塊矩形鐵皮，長(zhǎng)100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個(gè)統(tǒng)一的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個(gè)無(wú)蓋方盒。如果要制作的無(wú)蓋方盒的底面積為3600cm2,那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？ 問(wèn)題2.要組織一次排球邀請(qǐng)賽，參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都比賽一場(chǎng)．根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件，賽程計(jì)劃安排7天，每天安排4場(chǎng)比賽，比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽？ （生：思考問(wèn)題同

4、時(shí)，師：向每個(gè)學(xué)生發(fā)一張長(zhǎng)10cm,寬5cm的矩形紙。） （二）探究與思考： 1.操作一下，怎樣折成一個(gè)無(wú)蓋紙盒？（師引導(dǎo)生思考后動(dòng)手操作一下） 2.折成無(wú)蓋方盒后，如果設(shè)鐵皮的各角應(yīng)切去邊長(zhǎng)為xcm的正方形．怎樣列方程？ 提示：易知，底面矩形的長(zhǎng)和寬分別是（100-2x）cm和（50-2x）cm，然后根據(jù)方盒的底面積是3600cm2列方程求解．即根據(jù)題意得：（100-2x）（50-2x）=3600，化簡(jiǎn)得x2-75x+350=0。（結(jié)合生折合的無(wú)蓋紙盒，師引導(dǎo)其列出方程.） 3.如果設(shè)底面長(zhǎng)為xcm，可怎樣列方程？(繼續(xù)探究，思維拓展) 4. 對(duì)于問(wèn)題2，若設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)x隊(duì)

5、參賽，則每個(gè)隊(duì)參加多少場(chǎng)比賽，則共有多少場(chǎng)比賽，如何列方程求解。 生：通過(guò)思考，交流合作列出方程并期待師給出正確評(píng)價(jià). 師：請(qǐng)同學(xué)們把方程左邊按未知數(shù)的降冪排列，右邊為0. 即 設(shè)計(jì)意圖：這兩個(gè)問(wèn)題都是通過(guò)列方程來(lái)解的應(yīng)用題。一是為了化解本章的難點(diǎn)，讓學(xué)生先接觸一些比較簡(jiǎn)單的應(yīng)用題，通過(guò)解題培養(yǎng)自信；另一方面，通過(guò)常規(guī)的解應(yīng)用題的步驟，得到一元二次方程。故意讓學(xué)生出現(xiàn)卡殼的現(xiàn)象，這為進(jìn)一步探究新方程服務(wù)。 · 二、對(duì)比交流—探究新知 （利用多媒體展示問(wèn)題1和問(wèn)題2所列出的兩個(gè)方程及三個(gè)有關(guān)的問(wèn)題） 師：請(qǐng)同學(xué)們觀(guān)察由問(wèn)題1和問(wèn)題2所列出的兩個(gè)方程： x2-75x+350=0,

6、x2-x-56=0. 1.觀(guān)察這兩個(gè)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，它們的未知數(shù)的個(gè)數(shù)和最高次數(shù)各是多少？它們有什么共同點(diǎn)？ 2.對(duì)比以上三個(gè)方程與一元一次方程，它們有什么區(qū)別？由此，你能得到關(guān)于一元二次方程的特征嗎？ 3.根據(jù)這個(gè)特征，你能給一元二次方程下個(gè)定義嗎？ （生：思考中. 師：板書(shū)課題.） 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己進(jìn)行對(duì)比研究，比較現(xiàn)在的方程與以前的有什么異同。通過(guò)對(duì)照，意在讓學(xué)生通過(guò)討論、歸納，科學(xué)而全面地得到一元二次方程的概念。 根據(jù)學(xué)生討論、交流，得到一元二次方程及其相關(guān)量的概念（師：板書(shū)一元二次方程的定義） （一）定義：等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，（一元），并且未知數(shù)的最

7、高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 師：根據(jù)這個(gè)定義，我們能識(shí)別一元二次方程嗎？（多媒體展示例1，并引導(dǎo)生完成例1的解答.） 例1.判斷下列方程哪些是一元二次方程： (1)3x2+4x-2=0； (2)x2-2x+3=6x-1； (3)7-x3=x+x2； (4)x2-2xy-4=0； （5）3x2=5-；(6)2-x2+y2=x+m；(7)6x2+3x=-3x(3-2x)；(8)3(x+1)+3=3x(2x+5)。 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)一元二次方程的定義判定. 解：∵（3）（7）通過(guò)整理后為一元一次方程，（4）（6）是二元二次方程，（5）是分式方程式方程，而（1）（2）（8）

8、整理后復(fù)合一元二次方程的定義，∴（1）（2）（8）是一元二次方程. 讓學(xué)生判定并歸納如下： 一元二次方程有三個(gè)特點(diǎn)：(1)只含有一個(gè)未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2；(3)是整式方程．要判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對(duì)它進(jìn)行整理．如果能整理為 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，則這個(gè)方程就為一元二次方程． 設(shè)計(jì)意圖：概念教學(xué)不能死板硬套，要讓學(xué)生在探究中發(fā)現(xiàn)，在探究中生成，在探究中歸納與總結(jié)，最后在處理問(wèn)題中得到升華。設(shè)計(jì)這個(gè)判斷題就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)歸納規(guī)律，運(yùn)用一元一次方程的實(shí)質(zhì)來(lái)進(jìn)行判斷的。 師：我們知道一元一次方程的一般形式是ax+b=0（a

9、≠0）,那么一元二次方程的一般形式是什么呢？（師引導(dǎo)生回答出一元二次方程的一般形式并板書(shū).） （二）一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。 其中，ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。 師：在一元二次方程的一般形式中，為什么要將a限定為a≠0？ 師：假如給你一個(gè)一元二次方程，該怎樣確定它的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)呢？（多媒體展示例2.并板書(shū)例2的解答過(guò)程） 例2.將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。（師引導(dǎo)學(xué)生完成解答過(guò)程） 解：去括號(hào)，得 3x2-3x=5x+10.

10、 移項(xiàng),合并同類(lèi)項(xiàng)，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為-8，常數(shù)項(xiàng)為-10． 設(shè)計(jì)意圖：教師安排這個(gè)例題，并且規(guī)范其解題步驟，目的就是為后面的學(xué)習(xí)運(yùn)用公式法解方程服務(wù)。 師：我們知道方程的解是使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，那么一元二次方程的解是什么呢？ 生：生相互交流并思考中，師板書(shū)一元二次方程根的定義. （三） 一元二次方程的根：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是這個(gè)一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 （可以類(lèi)比一元一次方程的解的定義來(lái)理解和掌握.） 師：我們?nèi)绾悟?yàn)證一個(gè)數(shù)是否為一元二次方程的根呢?(多媒體展示例3

11、，并引導(dǎo)生完成例3的解答) 例3．下面哪些數(shù)是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 【分析】要判定一個(gè)數(shù)是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式兩邊相等即可． 解：將上面的這些數(shù)代入后，只有-2和-3滿(mǎn)足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的兩根． 師：通過(guò)上面的學(xué)習(xí)，你掌握多少呢？就讓我們一試身手吧！ 三、課堂檢測(cè)—分層訓(xùn)練 （一）鞏固練習(xí) （PPT展示練習(xí)題—教材P4練習(xí)1、2題） 1.將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)： （1）5x2-1=4x;

12、 (2)4x2=81; (3)4x(x+2)=25; (4)(3x-2)(x+1)=8x-3. 2.根據(jù)下列問(wèn)題，列出關(guān)于x的方程，并將所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長(zhǎng)x； （2）一個(gè)矩形的長(zhǎng)比寬多2，面積是100，求矩形的長(zhǎng)x； （3）把長(zhǎng)為1的木條分成兩段，使較短一段的長(zhǎng)與全長(zhǎng)的積等于較長(zhǎng)一段的長(zhǎng)的平方，求較短一段的長(zhǎng)x。 設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過(guò)教材習(xí)題訓(xùn)練，一方面緊扣教材加強(qiáng)了對(duì)一些基本概念的理解和鞏固，另一方面，也是為了化解本章用方程解應(yīng)用題的難點(diǎn)問(wèn)題。也為后面學(xué)習(xí)解法做一個(gè)鋪墊。 （二）拓展應(yīng)用

13、 （PPT展示） 1.方程（2a-4）x2-2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元二次方程？ 2.已知關(guān)于x的一元二次方程（m-2）x2+3x+ m2-4=0，有一個(gè)解是0，求m的值. 師：親愛(ài)的同學(xué)們，通過(guò)上面的學(xué)習(xí)，你能歸納一下本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)嗎？ 生：思考中，師：多媒體以填空題的形式展示本節(jié)課的重要知識(shí)點(diǎn),并引導(dǎo)生完成填空. 四、科學(xué)歸納—鞏固新知 1．等號(hào)兩邊都是　　　，只含有　　　未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是　　　的方程，叫做一元二次方程． 2．一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式

14、 ，這種形式叫做一元二次方程的 ．其中　　　是二次項(xiàng)，　　　　　是二次項(xiàng)系數(shù)，　　是一次項(xiàng)，　　　 是一次項(xiàng)系數(shù)，　　是常數(shù)項(xiàng)． 3.能使一元二次方程 的值是一元二次方程的解。又因只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以一元二次方程的解也稱(chēng)為 。 設(shè)計(jì)意圖：由于本節(jié)內(nèi)容是本章的第一節(jié)課，所以，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)抽出知識(shí)點(diǎn)是一個(gè)學(xué)習(xí)方法和技能問(wèn)題，故小結(jié)設(shè)計(jì)為填空題的形式。另外，它不僅是對(duì)本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容的一個(gè)回顧，也是提醒學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)點(diǎn)掌握程度的一個(gè)提示。 五、課后作業(yè)—能力提升 ?教材作業(yè)（必做） 教材P4習(xí)題21

15、.1 ?補(bǔ)充作業(yè)（選作） 一．選擇題 1.下列方程中，一元二次方程的個(gè)數(shù)為( )． (1)2x2－3=0 (2)x2＋y2=5 (3) (4) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 2．如果是關(guān)于x的一元二次方程，那么a的取值范圍是（ ） A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≠1 C． D．任何實(shí)數(shù) 3．已知關(guān)于x的一元二次方程，不論m取何值，該方程都有一個(gè)根，這個(gè)根是（ ） A．1　　B．-1　　C．0　　D．2 二、填空題 4．把(x＋3)(2x＋5)－x(3x－1)=15化成一般形式為_(kāi)_____，a=_____

16、_，b=______，c=______． 5．若－3=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是______． 6.已知a是方程x2＋x-1=0的根，求。 三、解答題 7．已知關(guān)于x的方程. ⑴當(dāng)k取何值時(shí)，此方程為一元一次方程？并求出此方程的根； ⑵當(dāng)k取數(shù)項(xiàng).何值時(shí)，此方程為一元二次方程？并寫(xiě)出這個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng). 課外作業(yè)—補(bǔ)充作業(yè) 參考答案 1.A; 2.B; 3.B 4.x2-12x=0,1,-12,0; 5.-2; 6.-1. 7.(1)要使方程為一元一次方程，則需 解得 k=1. 當(dāng)k=1時(shí)，原方程變?yōu)?x-2=0,解得 x=1. (2)要使此方程為一元二次方程，則需 k2-1≠0.即k≠±1. 方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為k2-1、k+1和-2. 【板書(shū)展示】