利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題

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1、2021/7/11利用導(dǎo)數(shù) 研究“恒成立”的問(wèn)題2021/7/12 不等式恒成立問(wèn)題是近年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，常不等式恒成立問(wèn)題是近年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，常以壓軸題形式出現(xiàn)，交匯以壓軸題形式出現(xiàn)，交匯函數(shù)、方程、不等式和函數(shù)、方程、不等式和數(shù)列數(shù)列等知識(shí)，有效地甄別考生的數(shù)學(xué)思維能力等知識(shí)，有效地甄別考生的數(shù)學(xué)思維能力.由由于于不等式恒成立問(wèn)題往往都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最不等式恒成立問(wèn)題往往都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題值問(wèn)題，而導(dǎo)數(shù)，以其本身所具備的一般性和有，而導(dǎo)數(shù)，以其本身所具備的一般性和有效性，在求解函數(shù)最值中，起到無(wú)可替代的作用，效性，在求解函數(shù)最值中，起到無(wú)可替代的作用，【問(wèn)題展示】2021/7/

2、130 0；( (x x) ) f fD D, ,對(duì)對(duì)x x恒恒成成立立D D0 0在在x x( (x x) ) 在在f f單單調(diào)調(diào)遞遞增增函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )在在區(qū)區(qū)間間D Dmmi in n0 0；( (x x) ) f fD D, ,對(duì)對(duì)x x恒恒成成立立D D0 0在在x x( (x x) ) 在在f f單單調(diào)調(diào)遞遞減減函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )在在區(qū)區(qū)間間D Dmma ax x【總結(jié)提升】2021/7/14【總結(jié)提升】解決恒成立問(wèn)題的基本方法：1分離參數(shù)法：其優(yōu)點(diǎn)在于：有時(shí)可以避開(kāi)繁瑣的討論2直接研究函數(shù)的形態(tài) 其缺點(diǎn)在于：有些問(wèn)討論比較復(fù)雜 當(dāng)然，在解決問(wèn)題時(shí)，要

3、根據(jù)所給問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解題并在解題過(guò)程中，能夠依據(jù)解題的進(jìn)程合理地調(diào)整解題策略2021/7/15.)()(), 0(),0(ln)()(12的取值范圍恒成立，求對(duì)任意，：已知函數(shù)axgxfxaxaxgaxxf求a的取值范圍.求a的取值范圍.)恒成立，)恒成立，g(xg(x) )都有f(x都有f(x),),(0,(0,x x, ,x x若對(duì)于若對(duì)于0，0，其中a其中a2lnx,2lnx,x xg(x)g(x), ,x xa ax x2：已知f(x)2：已知f(x)2 21 12 21 12 22 22021/7/16；，對(duì)恒成立都有，形如）（maxmin2121)()()()(,.

4、2xgxfDxxgxfDxx；，對(duì)恒成立都有，形如minmax2121)()()()(,xgxfDxxgxfDxx【總結(jié)提升】0 0; ;g g( (x x) )f f( (x x) )D D, ,x x對(duì)對(duì)恒恒成成立立0 0g g( (x x) )D D，f f( (x x) )x x對(duì)對(duì)g g( (x x) )恒恒成成立立有有f f( (x x) )D D, ,x x( (1 1) ). .對(duì)對(duì)m mi in n0 0; ;g g( (x x) )f f( (x x) )D D, ,x x對(duì)對(duì)恒恒成成立立0 0g g( (x x) )D D，f f( (x x) )x x對(duì)對(duì)g g( (x

5、 x) )恒恒成成立立有有f f( (x x) )D D, ,x x對(duì)對(duì)m ma ax x2021/7/17.)()(), 0(),0(ln)()(12的取值范圍恒成立，求對(duì)任意，：已知函數(shù)axgxfxaxaxgaxxf2021/7/18.)()(), 0(,0,ln2)(,)(2212122的取值范圍恒成立，求都有若對(duì)于，其中：已知axgxfxxaxxxgxaxxf2021/7/19.)()(), 0(,0,ln2)(,)(2212122的取值范圍恒成立，求都有若對(duì)于，其中：已知例axgxfxxaxxxgxaxxf2021/7/110延伸學(xué)習(xí)延伸學(xué)習(xí).)()(,1 , 0), 0(. 22)

6、(),0(ln)(21212的取值范圍成立，求使得均存在若對(duì)已知函數(shù)axgxfxxxxxgaxaxxf2021/7/1112021/7/1122021/7/113優(yōu)化問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題就是最值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最值的有力工具優(yōu)化問(wèn)題就是最值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最值的有力工具. .2021/7/114例例1 1：海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì) 學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖3.4-1所示的豎向張貼所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為的海報(bào)，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各，上、下兩邊各

7、空空2dm，左、右兩邊各空，左、右兩邊各空1dm，如何設(shè)計(jì)海報(bào)的，如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白面積最??？尺寸，才能使四周空白面積最?。縳圖圖3.4-1 分析：已知版心的面分析：已知版心的面積，你能否設(shè)計(jì)出版心積，你能否設(shè)計(jì)出版心的高，求出版心的寬，的高，求出版心的寬，從而列出海報(bào)四周的面從而列出海報(bào)四周的面積來(lái)？積來(lái)？面積、容積的最值問(wèn)題面積、容積的最值問(wèn)題2021/7/115 128:,xdmdmx解 設(shè)版心的高為則版心的寬為此時(shí)四周空白面積為 0,160 xs x當(dāng)時(shí)，；你還有其他解法你還有其他解法嗎？例如用基本嗎？例如用基本不等式行不？不等式行不？128( )(4)(2) 128S

8、 xxx51228,0 xxx2512 ( )2S xx求導(dǎo)數(shù),得2512( )20S xx令：1616xx解 得 ：，（ 舍 ）128128816x于是寬為： 16,0.xs x當(dāng)時(shí)，因此，因此，x=16是函數(shù)是函數(shù)S(x)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為當(dāng)版心高為16dm，寬為，寬為8dm時(shí)，能使四周空白面積最時(shí)，能使四周空白面積最小。小。2021/7/116解法二解法二：由解法由解法(一一)得得512512( )282 28S xxxxx2 32872512,16(0)xxxSx當(dāng)且僅當(dāng)2即時(shí) 取最小值8128此時(shí)y=16816dmdm答：應(yīng)使用版心

9、寬為，長(zhǎng)為，四周空白面積最小2021/7/117 2、在實(shí)際應(yīng)用題目中，若函數(shù)、在實(shí)際應(yīng)用題目中，若函數(shù) f ( x )在定義域在定義域內(nèi)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)只有一個(gè)極值點(diǎn)x0 ，則不需與端點(diǎn)比較，則不需與端點(diǎn)比較， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值即是所求的最大值或最小值.說(shuō)明說(shuō)明1、設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式；、設(shè)出變量找出函數(shù)關(guān)系式；(所說(shuō)區(qū)間的也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間所說(shuō)區(qū)間的也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間)確定出定義域確定出定義域；所得結(jié)果符合問(wèn)題的實(shí)際意義。所得結(jié)果符合問(wèn)題的實(shí)際意義。2021/7/118 1.解決面積，容積的最值問(wèn)題，要正確引入變量，將面積或解決面積，容積的最值問(wèn)題，要

10、正確引入變量，將面積或容積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的寫(xiě)出定義域，利用容積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的寫(xiě)出定義域，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值題后感悟題后感悟2021/7/1192.步驟：步驟：2021/7/120問(wèn)題問(wèn)題2:2:飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)有影響嗎飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)有影響嗎? ? 你是否注意過(guò)你是否注意過(guò), ,市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些般比大包裝的要貴些? ?你想從數(shù)學(xué)上知道它的你想從數(shù)學(xué)上知道它的道理嗎道理嗎? ? 是不是飲料瓶越大是不是飲料瓶越大, ,飲料公司的利潤(rùn)越大飲料公司的利潤(rùn)越大? ?利潤(rùn)最大問(wèn)題利

11、潤(rùn)最大問(wèn)題2021/7/121 某制造商制造并出售某制造商制造并出售球形球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是是0.8p pr2分，其中分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的的飲料，制造商可獲利飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，()瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的瓶子半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的 利潤(rùn)最大？利潤(rùn)最大？(）瓶子半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最小？）瓶子半徑多大時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最??？2( ) = 0.8- 20= 2()，f rrrr 令令

12、得得r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+減函數(shù)減函數(shù) 增函數(shù)增函數(shù) -1.07p p每瓶飲料的利潤(rùn)：每瓶飲料的利潤(rùn)：324( )0.20.83yf rrrpp32= 0.8 (-)3rr)60( r解：由于瓶子的半徑為解：由于瓶子的半徑為r，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是2021/7/122當(dāng)半徑當(dāng)半徑r時(shí)，時(shí)，f (r)0它表示它表示 f(r) 單調(diào)遞增，單調(diào)遞增， 即半徑越大，利潤(rùn)越高；即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑當(dāng)半徑r時(shí)，時(shí)，f (r)0 它表示它表示 f(r) 單調(diào)遞減單調(diào)遞減， 即半徑越大，利潤(rùn)越低即半徑越大，利潤(rùn)越低1.半徑為半徑為cm 時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)(2)0f表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值半徑為半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最大時(shí)，利潤(rùn)最大 若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正，謝謝！若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正，謝謝！