長記憶時間序列模型及應(yīng)用課件

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1、長記憶時間序列模型及應(yīng)用長記憶時間序列模型及應(yīng)用長記憶時間序列模型及應(yīng)用王明進(jìn)王明進(jìn) 博士博士北京大學(xué)光華管理學(xué)院北京大學(xué)光華管理學(xué)院商務(wù)統(tǒng)計與經(jīng)濟(jì)計量系商務(wù)統(tǒng)計與經(jīng)濟(jì)計量系 教授教授金融風(fēng)險管理中心金融風(fēng)險管理中心 主任主任20102010年年6 6月月長記憶時間序列模型及應(yīng)用主要內(nèi)容主要內(nèi)容nARMA模型的回顧；n長記憶的概念；n長記憶的檢驗方法；nARFIMA模型；n一些應(yīng)用；長記憶時間序列模型及應(yīng)用1. ARMA模型的回顧模型的回顧長記憶時間序列模型及應(yīng)用時間序列研究的主要任務(wù)時間序列研究的主要任務(wù)n描述時間序列中的動態(tài)（Dynamic）關(guān)聯(lián)性，用于理解其變化的規(guī)律或?qū)ζ溥M(jìn)行預(yù)測；n自

2、相關(guān)性（autocorrelation）的刻畫0, 1, 2,0, 1, 2, cov(,), corr(,), ktt kktt kkkRy yy y長記憶時間序列模型及應(yīng)用ARMA模型的形式模型的形式nARMA(p,q)模型n其中 是白噪聲 11 ( )1,( ) ( )()( )1,qtptpqBBBByaBBBB 22()0, (),()0, for tttsE aE aE a ats ta長記憶時間序列模型及應(yīng)用ARMA模型的平穩(wěn)性條件模型的平穩(wěn)性條件n如果 ，那么ARMA模型定義了唯一的二階平穩(wěn)解( )0, for | 1zz0( )( )ttjtjjByaaB長記憶時間序列模型及

3、應(yīng)用ARMA模型的可逆性條件模型的可逆性條件n如果 ，那么ARMA模型能夠唯一地表達(dá)成如下的無窮階自回歸模型的形式( )0, for | 1zz0( )()()( )ttjtjjBayyB長記憶時間序列模型及應(yīng)用ARMA模型的自相關(guān)特征模型的自相關(guān)特征n任何一個平穩(wěn)的ARMA模型的自相關(guān)函數(shù)都是呈指數(shù)遞減的，即n因此自相關(guān)函數(shù)絕對可和，, kkc eas k|kk 長記憶時間序列模型及應(yīng)用平穩(wěn)過程的平穩(wěn)過程的譜函數(shù)譜函數(shù)n譜密度函數(shù)是定義在 上的偶函數(shù)且滿足n如果自協(xié)方差函數(shù)絕對可加，, 0, 1, 2,( )( )cos(), i kkkRfedfk d1( ), 1 2(0) 2i kkk

4、kkffR eR 長記憶時間序列模型及應(yīng)用ARMA模型的譜密度函數(shù)模型的譜密度函數(shù)n于是22*22*()( ), ;2()(1)(0)02(1)iaiaefef長記憶時間序列模型及應(yīng)用ARMA模型的估計模型的估計n條件極大似然估計；n極大似然估計；n最小二乘估計；長記憶時間序列模型及應(yīng)用單位根過程單位根過程n如果如果 ，那么，那么 稱為稱為單位單位根根過程，此時為非平穩(wěn)過程。過程，此時為非平穩(wěn)過程。n比如如下的比如如下的I(1)過程：過程：(1)0 ty11 ( )(1)( ) , ( )0, for | 1ptqtpBB yB azz 長記憶時間序列模型及應(yīng)用單位根的檢驗單位根的檢驗nAug

5、mented Dickey-Fuller(ADF)檢驗(Said & Dickey 1981);nPhillips-Perron(PP)檢驗(Phillips & Perron 1988)；nPerron-Ng (PN)檢驗(Perron & Ng 1996)；nKwitkowski-Phillips-Schmidt-Shin（KPSS）檢驗 (Kwitkowski et al. 1992)；長記憶時間序列模型及應(yīng)用上證指數(shù)日全距序列上證指數(shù)日全距序列 （1997.01.03-2010.06.18)19971999200220052007201000.020.040.060.080.10.12

6、長記憶時間序列模型及應(yīng)用取對數(shù)之后的全距序列取對數(shù)之后的全距序列199719992002200520072010-6-5.5-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2長記憶時間序列模型及應(yīng)用單位根檢驗的結(jié)果單位根檢驗的結(jié)果RangelnRangeADF-t(10)-8.5557*-7.3599*ADF-t(20)-5.8614*-5.4457*PP-t-30.9954*-27.875*PN-t-5.4938*-5.0333*KPSS3.9385*4.6528*長記憶時間序列模型及應(yīng)用自相關(guān)函數(shù)圖形自相關(guān)函數(shù)圖形0100200300400500600700800-0.100.10.20.30.40

7、.50.6(a) Range 0100200300400500600700800-0.100.10.20.30.40.50.6(b) Log Range 長記憶時間序列模型及應(yīng)用估計的譜密度函數(shù)估計的譜密度函數(shù)00.511.522.533.50.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2長記憶時間序列模型及應(yīng)用估計的估計的ARMA模型模型n經(jīng)過模型選擇階數(shù)得到2(10.9623 )(4.0875)(10.7248 )0.1849AIC3743.20, BIC3761.46ttByB a長記憶時間序列模型及應(yīng)用ARMA(1,1)殘差的殘差的Box-Ljung檢驗檢驗

8、StatStatp-p-ValuValue eQ(10)Q(10)31.431.455554 40.00030.0003Q(20)Q(20)43.543.570701 10.00170.0017Q(50)Q(50)69.469.481818 80.03550.0355138.138.10101616長記憶時間序列模型及應(yīng)用2. 長記憶的概念長記憶的概念長記憶時間序列模型及應(yīng)用基于自相關(guān)函數(shù)的定義基于自相關(guān)函數(shù)的定義n如果存在常數(shù) ，使得n此時自相關(guān)函數(shù)不再絕對可和，01/2d21, as kdckk lim|njnjn 長記憶時間序列模型及應(yīng)用基于譜函數(shù)的定義基于譜函數(shù)的定義n如果存在常數(shù) ，

9、使得n基于自相關(guān)函數(shù)和基于譜函數(shù)的定義是等價的。01/2d2 0( ) , dfaGs長記憶時間序列模型及應(yīng)用短程關(guān)聯(lián)和長程關(guān)聯(lián)短程關(guān)聯(lián)和長程關(guān)聯(lián)*n強(qiáng)相合過程（strong mixing）被稱為短程關(guān)聯(lián)（short range dependency）過程(Rosenblatt 1956);n不滿足強(qiáng)相合性的過程稱為長程關(guān)聯(lián)（long range dependency）過程(Lo 1991, Guegan 2005)n長記憶過程屬于這里的長程關(guān)聯(lián)過程。長記憶時間序列模型及應(yīng)用3. 長記憶的檢驗長記憶的檢驗長記憶時間序列模型及應(yīng)用重新標(biāo)度極差統(tǒng)計量重新標(biāo)度極差統(tǒng)計量n重新標(biāo)度極差（rescale

10、d-range）統(tǒng)計量n其中/TTTQRs11111/221max()min()1 () kkTtTtTk Tk TttTTtTtRyyyysyyT 長記憶時間序列模型及應(yīng)用重新標(biāo)度極差統(tǒng)計量的性質(zhì)重新標(biāo)度極差統(tǒng)計量的性質(zhì)n對于短期關(guān)聯(lián)過程，n對于長記憶過程，n其中 稱為Hurst指數(shù)1/2()TpQO T()HTpQO T1/2Hd長記憶時間序列模型及應(yīng)用R/S 分析分析n在 對 的散點圖上，短期記憶過程的點應(yīng)分布在斜率1/2的直線附件，長記憶過程的點對應(yīng)的直線斜率大于1/2.n根據(jù)回歸方法得到對Hurst指數(shù)的估計。logTQlogT長記憶時間序列模型及應(yīng)用對對數(shù)全距序列的對對數(shù)全距序列的

11、R/S分析分析45678933.544.555.566.577.5對應(yīng)的斜率估對應(yīng)的斜率估計為計為0.8987，因此因此d 的估計的估計為為0.3987長記憶時間序列模型及應(yīng)用R/S分析方法的不足分析方法的不足nR/S分析方法其實對時間序列當(dāng)中的短程記憶比較敏感，模擬結(jié)果顯示，即便對于自回歸系數(shù)為0.3的AR(1)過程，經(jīng)R/S方法得到的Hurst指數(shù)也有近乎一半的情形超過1/2. （Davies & Harte, 1987; Lo 1991）長記憶時間序列模型及應(yīng)用修正的修正的R/S統(tǒng)計量統(tǒng)計量111122111011max()min() ;12( )()( )()() 2)( () kkT

12、jTjTk Tk TjjqTTTtTjtTtjTtjtjqjjTjQyyyyqyyqyyyyTTqq 長記憶時間序列模型及應(yīng)用修正的修正的R/S統(tǒng)計量的漸近分布統(tǒng)計量的漸近分布對于短期過程其中V是定義在0,1上的布朗橋的全距1/2TTQVE( )/21.25Std( )(3)/60.27VV 長記憶時間序列模型及應(yīng)用對長記憶性的判斷對長記憶性的判斷n對于長記憶過程n因此利用該統(tǒng)計量可以對長記憶過程進(jìn)行單邊的檢驗。1/2pTTQ 長記憶時間序列模型及應(yīng)用對數(shù)全距序列的修正的對數(shù)全距序列的修正的R/S分析分析V-statV-statp-Valuep-Valueq=14q=144.26724.267

13、20.00000.0000Newey-West (1994)Newey-West (1994)6.60496.60490.00000.0000Andrew(1991)Andrew(1991)3.46533.46530.00000.0000長記憶時間序列模型及應(yīng)用對對ARMA(1,1)殘差的殘差的R/S分析分析V-V-ststatatp-p-ValuValue eq=14q=142.472.4786860.00020.0002Newey-Newey-West West (1994)(1994)2.162.1661610.00300.0030Andrew(1Andrew(1991)991)2.20

14、2.2072720.00220.0022長記憶時間序列模型及應(yīng)用4. ARFIMA模型模型長記憶時間序列模型及應(yīng)用模型的形式模型的形式n分?jǐn)?shù)次整合ARMA模型n或者n稱之為I(d)過程，記為( )(1) ()( )dttBByB a ( )(1) ()( )dtttuBByaB ARFIMA( , , )typ d q長記憶時間序列模型及應(yīng)用分?jǐn)?shù)次差分算子分?jǐn)?shù)次差分算子n其中n當(dāng) 時該過程可逆。0(1) djjjBB011()(1)(1)11, !() () (1)jjdjddjdcjdjjdjjjd 1/2d 長記憶時間序列模型及應(yīng)用平穩(wěn)解的存在性平穩(wěn)解的存在性n當(dāng) 時，該過程存在著平穩(wěn)解，

15、能夠?qū)懗蒼其中1/2d 0(1)dttkt kkyBuu1()( ) (1)dkkdc kdk長記憶時間序列模型及應(yīng)用平穩(wěn)解的自相關(guān)函數(shù)特征平穩(wěn)解的自相關(guān)函數(shù)特征n對于平穩(wěn)的情況，自相關(guān)函數(shù)滿足n顯然自相關(guān)函數(shù)呈雙曲（hyperbolic）律遞減（Sowell 1992; Chung 1994)21, 0dkc kd長記憶時間序列模型及應(yīng)用平穩(wěn)解譜密度函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)解譜密度函數(shù)的性質(zhì)n所以，2*2*( )1( ) 4sin ( 1/2,(/2)( ), ,1 ;/2)diwdfeffd 2( ) , 0dfasG長記憶時間序列模型及應(yīng)用記憶參數(shù)記憶參數(shù)d取不同值時取不同值時n當(dāng) 時對應(yīng)的是二階

16、平穩(wěn)的長記憶過程，譜密度函數(shù)在0點奇異；n當(dāng) 時對應(yīng)的過程稱為反持續(xù)（anti-persistent）過程，譜密度函數(shù)在0點處等于0；n當(dāng) 時，對應(yīng)的是短記憶ARMA過程,譜密度函數(shù)在0點處為正數(shù)；n當(dāng) 時，對應(yīng)的過程非平穩(wěn)，方差無窮大，包含了單位根過程。01/2d1/20d0d 1/2d 長記憶時間序列模型及應(yīng)用模擬分?jǐn)?shù)次白噪聲的數(shù)據(jù)模擬分?jǐn)?shù)次白噪聲的數(shù)據(jù)0.3 . . .(0,1)(1),tttai i d NBya長記憶時間序列模型及應(yīng)用ARFIMA模型的估計模型的估計n條件極大似然估計；n極大似然估計；n非線性最小二乘估計；nBaillie (1996)長記憶時間序列模型及應(yīng)用對對數(shù)全

17、距序列的估計對對數(shù)全距序列的估計0.44032(1)(4.0173)(10.1646 )0.1826AIC1193.711, BIC1211.972ttByB a長記憶時間序列模型及應(yīng)用對殘差的檢驗對殘差的檢驗StatStatp-Valuep-ValueQ(10)Q(10)6.1816.1814 40.79980.7998Q(20)Q(20)17.2217.2265650.63820.6382Q(50)Q(50)45.4545.4511110.65620.6562Q(100)Q(100)98.9598.9563630.51070.5107q=14q=141.4251.4252 20.24520

18、.2452Newey-West Newey-West (1994)(1994)1.4101.4101 10.26070.2607Andrew(199Andrew(1991)1)1.4141.4147 7長記憶時間序列模型及應(yīng)用5. 一些應(yīng)用一些應(yīng)用長記憶時間序列模型及應(yīng)用對宏觀經(jīng)濟(jì)變量的實證研究對宏觀經(jīng)濟(jì)變量的實證研究nBaillie & Bollerslev (1994): 匯率nCrato & Rothman (1994), 多個宏觀變量；nDiebold & Rudebusch (1989): GNP;nDijk et al. (2000): 失業(yè)率nHassler & Wolters

19、(1995): CPI;nTsay （2000）實際利率；長記憶時間序列模型及應(yīng)用總結(jié)與討論總結(jié)與討論n長記憶過程的特征與模型；n長記憶的波動率模型；n長記憶與結(jié)構(gòu)變化；長記憶時間序列模型及應(yīng)用一些文獻(xiàn)一些文獻(xiàn)nBaillie, R.T., (1996), “Long memory processes and fractional integration in econometrics”, Journal of Econometrics, 73, 5-59.nBeran, J. (1994), Statistics for Long-Memory Processes. Chapman & Hall.