2021八年級數(shù)學(xué)下冊 1.4 角平分線同步練習(xí) （新版）北師大版

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1、 1.4角平分線 一、選擇題 1．如圖1—101所示，把一個(gè)長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別在D′,C′的位置，若 ∠ EFB=65°，則∠AED′等于 （ ） A．70° B．65° C．50°D．25° 2．如圖1—102所示．在ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn) D，DE⊥AB于點(diǎn)E．若AB=6 cm，則DEB的周長為 （ ） A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm 3．如圖1—103所示，D，E分別是△ABc的邊AC．Bc上的點(diǎn)，若△ADB≌△EDB≌△EDC，

2、則∠C的度數(shù)為 （ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 4．如圖1—104所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B，下列結(jié)論不一定成立的是 （ ） A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 二、填空與解答題 5．補(bǔ)全“求作∠AOB的平分線”的作法：①在OA和OB上分別截取OD，OE．使OD =OE；②分別以D，E為圓心，以 為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C；③連接OC．則OC即為∠AOB的平分線． 6．如圖1—105所示，D，E，F(xiàn)分別

3、是,ABC的三邊上的點(diǎn)，CE=BF，△DCE和△DBF的面積相等．求證AD平分∠BAC． 7．如圖1—106所示，AD 為ABC的角平分線，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F， EF交AD于點(diǎn)M，求證AM⊥EF． 8．如圖1—107所示，,在EAABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25．△ABC內(nèi)是否有一點(diǎn)P到各邊的距離相等？?如果有，請作出這一點(diǎn)，并且說明理由，同時(shí)求出這個(gè)距離；如果沒有，請說明理由．（簡要說明作圖過程即可） 9．某考古隊(duì)為進(jìn)行考占研究，尋找一座古城遺址，根據(jù)資料記載，這座古城在森林附 近，到兩河岸距離相等，到古塔的距離是3000 m．根據(jù)這

4、些資料，考古隊(duì)員很快找 到了這座古城的遺址．請你運(yùn)用學(xué)過的知識在圖l—108上找到古城的遺址（比例 尺為1：100000）． 10．學(xué)完了“角平分線”這節(jié)內(nèi)容，愛動腦筋的小明發(fā)現(xiàn)了一個(gè)在直角三角形中畫銳角的平分線的方法：在如圖1—109所示的RtAABC的斜邊AB上取點(diǎn)E，使BE=BC，然后作DE⊥AB交AC于點(diǎn)D，那∠BD就是∠ABC的平分線．你認(rèn)為他的作法有道理嗎？說說你的看法． 11．現(xiàn)有一塊三角形的空地，其三邊的長分別為20 m，30m，40 m，現(xiàn)要把它分成面積為2：3：4的三部分，分別種植不同的花草，請你設(shè)計(jì)一種方案，并簡單說明理由． 12．如圖1—110（1

5、）所示，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為公共邊的全等三角形．請你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題． （1）如圖1一110（2）所示，在∠ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD，CE相交于點(diǎn)F，請你寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（不要求寫證明） （2）如圖1-110（3）所示，在AABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，那么（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由． 參考答案 1．C [提示：折痕EF恰為∠DED′的

6、角平分線，∴∠DEF=∠D′EF． 又∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=65°∴∠DED′=65°×2=130°∴∠AED′=180°一∠DED′=50°．] ２．Ｃ［提示：易知DE=DC，AE=AC=BC，∴BE＋DE＋BD=BD＋DC＋BE＝BC＋BE=AC＋BE=AE＋BE=AB=6 cm．] 3．D[提示：易證∠C=∠DBE=∠DBA，∠DEC=∠DEB=∠A=90°．] 4．D[提示：證明△OAP≌△OBP，可得答案．] 5.大于DE長． 6．證明：如圖1一l11所示，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G，因?yàn)镾△DCE=S△DBF,所以CＥ?DG=BF?DH，又

7、CE=BF，所以DG=DH，所以點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，即AD平分∠BAC． 7．證明：因?yàn)锳D平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，所以DF=DE． AD=AD， DF=DE， AF=AE， ∠FAM=∠EAM， AM=AM， 在Rt△ADF和Rt△ADE中，　　　　　　 所以Rt△ADF≌Rt△AD（HL）．所AF=AE．在△AMF和△AME中， 所以△AMF≌△AME（ＳＡＳ），所以∠AMF=∠AME．又因?yàn)椤螦MF＋∠AME=180°，所以∠AMF=∠AME=90°，即AM⊥EF 8．解：有，如圖1一112所示，作∠BAC，∠ACB的平分線，它們的

8、交點(diǎn)P即為符合要求的點(diǎn)．理由：作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)，因?yàn)锳P是∠BAC的平分線，所以PD=PF．又CP是∠ACB的平分線，所以PE=PF，所以PD=PE=PF．連接PB，設(shè)PD=PE=PF=x ，由題意S△APB＋S△AＰC＋S△ＣP B= S△ＡＢＣ，即× 7x＋× 24x＋× 25x=×24×7，解這個(gè)方程，得x=3．即這個(gè)距離為3． 9．解：作兩條河岸夾角的平分線，再以古塔所在的位置為圓心，以3 cm長為半徑畫 弧，弧線與角平分線的交點(diǎn)即為所求．圖略． 10．解：小明的作法是有道理的．根據(jù)他的畫法我們可以用HL證明Rt△BCD≌Rt△BED，得

9、∠CBD=∠EBD． 11．解：如圖1一113所示，AC=20，BC=30，AB=40，作出該三角形空地ABC的三條角平分線的交點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，則S△ACP： S△BCP：S△ABP＝2：3：4．理由：作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為D，F(xiàn)，E，由角平分線的性質(zhì)定理，可知PD=PE=PF，∴S△ACP： S△BCP：S△ABP=（PF·AC）：（PE·BC）：（PD·AB）=AC：BC：AB=2：3:4． 12．解：在OM，ON上分別取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取一點(diǎn)D，連接AD， BD，則△OAD與△OBD全等，如圖l一114（1）所示．（1）F

10、E與FD之間的數(shù)量關(guān)系為FE=FD． （2）（1）中的結(jié)論FE=FD仍然成立．證法1：如圖1—114（2）所示，在AC上截取AG=AE，連接FG，則△AEF≌△AGF，所以∠AFE=∠AFG，F(xiàn)E=FG．由∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，可得∠2＋∠3＝60°，所以∠AFE=∠AFG=∠CFD=∠2＋∠3=60°，所以∠CFG=180°－60°－60°＝60°，所以∠CFG=∠CFD．由∠3=∠4及FC為公共邊，可得△CFG≌△CFD，所以FG=FD，所以FE=FD．證法2：如圖1—114（3）所示，過點(diǎn)F分別作FG⊥AB于點(diǎn)G，F(xiàn)H⊥BC于點(diǎn)H，F(xiàn)I⊥AC于點(diǎn)I．因?yàn)椤螧=60°，且AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，所以∠2十∠3=60°，∠EFA=∠2＋∠3=60°，所以∠GEF=60°＋∠1．由角平分線的性質(zhì)可得FG=FI=FH．又因?yàn)椤螲DF=∠B＋∠1，所以∠GEF=∠HDF．因此由∠EGF=∠DHF，∠GEF=∠HDF，F(xiàn)G=FH可證AEGF≌△DHF，所以FE=FD 5