1.1 集合及其運算

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1、集合,指的是具有某種特定性質(zhì)的對象的全體,通常用大寫英文字母A,B,X,Y等表示;集合中的每個對象稱為該集合的元素。一般說來,我們總用小寫字母a,b,x,y表示集合中的元素。集合與元素的關(guān)系:屬于或不屬于. 對于集合A,某一對象x如果是A的元素,則稱x屬于A,如果x不是A的元素,則稱x不屬于A。集合的表示方法: 1.列舉法; 2.描述法;|PxxA具有性質(zhì)例如,A是由具有性質(zhì)P的元素全體組成時,記為:其中P可以是一段文字,也可以是某個數(shù)學(xué)式子。).(,;)()(;xpExxxxpExpxEE所構(gòu)成的集合,即滿足的條件中所有使便表示合,則是一個事先給定了的集如果.)()(;)(所構(gòu)成的集合的大于

2、中那些使就是是一個常數(shù)時,是一個給定的實函數(shù)且例如當(dāng)xaxfEaxfxEaxf定理1 的充要條件是 且 . BA BAAB .,. 1BABABABABA的子集,記為是或包含于則說,的元素都屬于是兩個集合,如果屬于設(shè)集合的子集. 2的真子集是則說,還不等于的子集,但是,即,如果集合的真子集ABABABABAB定理2 若 , ,則 . BACB CA對于集合族 若對任意 ,A, AA 都有則稱該集合族是互不相交的或兩兩不交的.;,. 3BxAxxBAABBABABA且,因此或記為的交,和,則稱為拿來構(gòu)成一個新的集合它們所共有的元素是兩個給定的集合,將設(shè)集合的交運算.,;稱為指標(biāo)集其中或記為,它們

3、的總體稱為集合族,這樣得到許多集合,一個集合,都相應(yīng)地給定了是一集合,對于每一集合族:設(shè)AAA類似定義其交集,即 ,|AxxA有對每一, 3 , 2 , 1,110 ;nnxxAn則 nnA1.10 x例2 若 是全體實數(shù)構(gòu)成的集合, ,;xxA則 AnnnAnnnxnnxA1, 2 , 1,11; 則若練習(xí):11nnA答案:).1,1(),1,1(,11, 1. 1,100001000000nnnnxnnnnxnxNnxxxn即故使則有若即證明:設(shè).1)1,1(),1,1(1,111,1綜上可知命題成立故即恒有又對任意nnnnnnnnnnnnNnn.BxAxBAx或當(dāng)且僅當(dāng),;AxxA使存在

4、A一簇集合 ,可類似定義其并集,即 4. 并運算;BxAxxBA或例1 若 , 3 , 2 , 1,1111;nnxnxAn則 nnA1).1 , 1(例2 若 ,1;RxxA則 AR).,(例 3,11:11NnxxAnnn設(shè)nnA1nnA1( ( ) -2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 ) 1 , 2(0 , 1nnnAnxnxA1, 2 , 1,11; 則若練習(xí):) 1 , 0(1nnA答案:).1 , 0(),1 , 0() 1 ,1(,1nnnAnANn故有證明:對任意).1 , 0() 1 ,1() 1 ,1(,) 1 ,1(, 11,),1 , 0(10100000nn

5、AnxxnNnxnnn于是即使存在又對定理3 (1)交換律ABBAABBA;(2)結(jié)合律(3)分配律(4)冪等律;)()(CBACBA;)()(CBACBA)()()(CABACBAAAAAAA,定理4(1) .BAABA(2) 若 .),( ,BABA則(3) 若 .),( ,BABA則(4) ).()(BABA)((5) ).()(BABA.A),(CCA則特別地,若.),(BCBC則特別地,若證明 (2)由并集的定義,若 ,Ax 則存在 .,Ax使而 .,BxBA所以有從而 故 ,Bx .BA (5)若 ),(,)(BAxBA任取由交的定義,.BxAx且再由并的定義可知存在 .Bx使于是

6、 .BAx從而 ).(BAx所以 ).()(BABA再證 ).()(BABA略(6) ).()(BABA5差運算 由所有屬于A但不屬于B的元素組成的集合,稱為A減B的差集,記作A-B。即 .,;BxAxxBA注 .)(ABBA未必等于6. 余集若已知 則 稱為B 相對于A的余集,記為 BA BA.BCA特別地,若考慮的一切集合都是某一給定集合S的子集,集合A相對于S的余集稱為A的余集,簡記為 .cACA或定理5 (1).,SSCC(2) .,CCAASAA(3) .)(AACC(4) .,CCBABA則若cBABA注:ASACs余:(其中S為全集),簡記為Ac定理6 De Morgan 公式c

7、cAA )(ccAA )(證明 (1) 若 ,)(cA設(shè) ,)(cAx .AxSx且則,Ax,都有因而對.cAASx所以.cAx都成立,故由于對.)(ccAA 因此反之,當(dāng) 時,且ccAxA,cAx,有對.AxSx 且即.)(,cAxAxSx即且因而.)(ccAA所以.)(ccAA 因此域或代數(shù)對于一個給定的集合S,若F 是S的一族子集,它滿足下列條件1) ;F2);cFAFA 時,當(dāng)3),時,當(dāng)FBAFBA,則稱F是S的一些子集構(gòu)成的一個域或代數(shù).代數(shù)域或的一些子集構(gòu)成的一個稱為則中一串元素時,必有是,)當(dāng))改為把上述定義中的SFFAFAAAnn,331n21注. 1域是域一定域,但域不一定

8、2. 一串指的是可排序.;,. 310的全體子集所構(gòu)成由域最大的域最小的SFSF定理7若 A 是由S的子集構(gòu)成的集合,則唯一存在一個由S的子集構(gòu)成的最小 域 使),(AF).(AFA.F(A)(-) 1中也含有所以,中都含有空集域因為FAFF.AF(A).(A-SA)(FFF由定理知,即域,的子集構(gòu)成的的,由是包含證明:設(shè).-(A)域即可是故只需證明F.)(.-,)()2cccFAFBFBFBFFBFAFB,故,都有由于對任意所以域是而,都有則對任意如果.FA)(,B,F-,F(A),)31i1iin21FBFBFFBBBii是任意的,從而由于于是都有域則對于任意的中的每一個都屬于,若域。確實

9、是一個可見)(AF集合序列的極限1.序列的增減性,1n是一個集合序列設(shè)nA則稱該序列單增;若,n21AAA.,n21則稱該序列單減若AAA2.序列的并和交是任意一個集合序列,設(shè)1nnA的并;是集合序列稱nkknknAABk.k的交是集合序列稱nkknknAAC .1n1n單增單減,顯然,nnCB3.上極限和下極限.suplimlim11nnknknnnnnnnABAAAB記為的上極限,的交集稱為我們把.inflimlim11nnknknnnnnnnACAAAC記為的下極限,的并集稱為我們把.limnnnnAAA有極限,記為則稱,的上極限和下極限相等若例1 )(lim)(limn:n整數(shù)全體,有

10、理數(shù)全體,證明:是自然數(shù)是整數(shù),令ZAQAmnmAnnnn證:對一切自然數(shù) ,顯然有 ,所以nZAAQn1ZAAQnnnnlimlim因為對任一有理數(shù) 其中 均為整數(shù), 對任何 有 所以 這樣,/ pqqp, 0p., 2 , 1,)/()(/knApnqnpqkn.lim/1nnknknAApq.lim,limQAAQnnnn從而1n),(1knknknkAQAQ.limlim.1,n,lim11111ZAZAmmxnmnmxmmAAxAAxnnnnnnnnnnnnknknnn從而,是整數(shù),這樣由此得使和因此有整數(shù)使必又對任何定理8是一個集合序列,設(shè)1nnA,lim)1 (nnnAxNnNA

11、x使,存在對).( ,1nnnAxxA屬于無窮多個集合中有無窮多項包含即,lim)2(nxxnnAxNnNAx有,使對一切存在.1的項只有有限項中不含即xAnnnnnnAAlimlim)3(定理9. )(lim111nnnnnnnnAAAA單增(單減),則若集合序列證明., 1nn11AAAAAknkkkknknn并且有單增,易知對設(shè),lim11111nnkkkknknknnnAAAAA從而.lim,lim111nnnnnnnnknnnAAAAA于是,這樣上極限等于下極限單減如何證?.inflimsuplim, 3 , 2 , 1,-10FAAnFAFnnnnn也都屬于和則域,是一如果定理.s

12、uplim, FFn,F., 3 , 2 , 1,-1nFAAAAnFAFnnnkknkknkkn即所以,都有而且對任意故域,是一因為證明:,:nAxNnNx使是一個集合序列設(shè),21nAAA上、下極限集() : :limsuplimnnnnnnnAAx xAxAxA或?qū)儆跓o限多個集合存在無限多個 ,使1NNnnANB例:設(shè)A2n=0,1A2n+1=1,2;則上極限集為0,2下極限集() : :limliminfnnnnnnAAxxAxnxA或除去有限個集外,有當(dāng) 充分大時,有1NNnnA例:設(shè)A2n=0,1A2n+1=1,2;則上極限集為0,2,下極限集為111limlimnnnnnnnnAA

13、AA1,:NNnnnAAxNnNx使() :limsuplimnnnnnAAx xA或?qū)儆跓o限多個集合,:nAxNnNx有NB單調(diào)增集列極限分析1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA111nnNNnnnnNnnAAAA當(dāng)An為單調(diào)增加集列時11NNNNnnNNnnAAAA單調(diào)減集列極限分析1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA 11NNNNnnNNnnAAAA當(dāng)An為單調(diào)減小集列時111nnNNnnnnNnn

14、AAAA例3111)(:)(:)()(limkNNnknnnaxfxaxfxxfxf,則設(shè)knkkaxfNnNaxf111)(, 1,)(, 1有利用極限的保號性知,使得從而aaxfnaxfNnNkknk111)()(, 1, 1取極限,則兩邊關(guān)于有則,若111)(:kNNnknaxfxx,)()(lim,)(axfxfaxfxxnn即:反之若a a+1/k f(x) ,: ),(BbAabaBA,2, 1,:),(211niAxxxxAiinii,2, 1,:),(211niAxxxxAiinnii笛卡爾乘積集合的特征函數(shù)(示性函數(shù))設(shè)S是一非空集合,A是S的一個子集。., 0, 1)(AxAxxSA當(dāng)當(dāng)上的函數(shù)作.的特征函數(shù))為集合(稱AxA重要性質(zhì); 0)(; 1)() 1xAxSAAA等價于等價于);()();()()2xxBAxxBABABA等價于等價于);(min)();(max)()3xxxxANAANANN).(lim)();(lim)()4limlimxxxxnnnnnnAnAAnA40 結(jié)束語結(jié)束語

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