2019-2020學年新教材高中數學 第4章 指數函數與對數函數 單元質量測評 新人教A版必修第一冊

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1、第四章　單元質量測評 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題，共60分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．函數f(x)＝的定義域為(　　) A． B．(2，＋∞) C．∪(2，＋∞) D．∪[2，＋∞) 答案　C 解析　要使函數f(x)有意義，需使(log2x)2－1>0，即(log2x)2>1，∴l(xiāng)og2x>1或log2x<－1.解得x>2或0

2、　) A． B．∪(1，＋∞) C． D．∪(1，＋∞) 答案　D 解析　集合M表示函數y＝2x的值域，為(0，＋∞)；集合P表示函數y＝log(2x－1)的定義域，則解得x>且x≠1，即為∪(1，＋∞)．故選D． 3．函數f(x)＝的圖象(　　) A．關于原點對稱 B．關于直線y＝x對稱 C．關于x軸對稱 D．關于y軸對稱 答案　D 解析　易知f(x)的定義域為R，關于原點對稱． ∵f(－x)＝＝＝f(x)， ∴f(x)是偶函數，其圖象關于y軸對稱． 4．設函數f(x)＝x－ln x(x＞0)，則y＝f(x)(　　) A．在區(qū)間，(1，e)內均有零點 B．在區(qū)間，

3、(1，e)內均無零點 C．在區(qū)間內有零點，在區(qū)間(1，e)內無零點 D．在區(qū)間內無零點，在區(qū)間(1，e)內有零點 答案　D 解析　因為當x∈時，x>0，ln x<0，所以，f(x)＝x－ln x>0在上恒成立，所以f(x)在內無零點．因為f(1)f(e)＝＝＜0，所以f(x)在(1，e)內有零點． 5．已知函數f(x)是奇函數，當x>0時，f(x)＝ln x，則f的值為(　　) A． B．－ C．－ln 2 D．ln 2 答案　C 解析　設x<0，則－x>0，于是有f(－x)＝ln (－x)．因為f(x)是奇函數，所以f(－x)＝－f(x)＝ln (－x)，所以f(x)＝

4、－ln (－x)，x<0.所以f(x)＝則f＝f(－2)＝－ln 2. 6．已知0＜a＜1，則方程a|x|＝|logax|的實根個數為(　　) A．2 B．3 C．4 D．與a的值有關 答案　A 解析　設y1＝a|x|，y2＝|logax|，分別作出它們的圖象，如圖．由圖可知，有兩個交點，故方程a|x|＝|logax|有兩個實根，故選A． 7．函數y＝lg (4＋3x－x2)的單調遞增區(qū)間為(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由真數大于0得4＋3x－x2>0，即x2－3x－4<0，解得－1

5、＝lg u．因為u＝4＋3x－x2＝－2＋，且對稱軸x＝∈(－1,4)，所以函數u在內單調遞增，在內單調遞減．又因為y＝lg u是定義在(0，＋∞)上的增函數，所以y＝lg (4＋3x－x2)的單調遞增區(qū)間為. 8．已知f(x)是R上的奇函數，且當x>0時，f(x)＝x＋1，則f(x)的大致圖象是(　　) 答案　B 解析　當x>0時，指數函數y＝x單調遞減，將其圖象向上平移1個單位長度，可得函數f(x)＝x＋1(x>0)的圖象，而f(x)是R上的奇函數，所以只有選項B符合要求． 9．已知函數f(x)＝loga(a>0，且a≠1)的定義域和值域都是[0,1]，則a＝(　　) A．

6、B． C． D．2 答案　A 解析　令t＝，當x∈[0,1]時，t＝單調遞減， ∵當a>1時，y＝logat為增函數， ∴f(x)＝loga在[0,1]上單調遞減． ∴由題意可得此時方程組無解； ∵當0

7、2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年 答案　B 解析　根據題意，設第n年開始超過200萬元，則130×(1＋12%)n－2020>200，化簡為(n－2020)lg 1.12>lg 2－lg 1.3，則n－2020>≈3.8，n≥2024.故選B． 11．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3，則(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b 答案　C 解析　∵log23.4>log22＝1，log43.6b；c＝>1>b，而log23.4>log2>lo

8、g3，∴a>c，故a>c>B．故選C． 12．若f(x)＝是R上的單調遞增函數，則實數a的取值范圍為(　　) A．(1，＋∞) B．(4,8) C．[4,8) D．(1,8) 答案　C 解析　∵函數f(x)是R上的單調遞增函數， ∴解得4≤a<8. 故實數a的取值范圍為[4,8)． 第Ⅱ卷(非選擇題，共90分) 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上) 13．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間(2,4)上的實數根時，取中點x1＝3，則下一個有根區(qū)間是________． 答案　(2,3) 解析　設f(x)＝x3－2x－5，則f(2)＜

9、0，f(3)＞0，f(4)＞0，有f(2)f(3)＜0，則下一個有根區(qū)間是(2,3)． 14．已知125x＝12.5y＝1000，則＝________. 答案　 解析　因為125x＝12.5y＝1000，所以x＝log1251000，y＝log12.51000， ＝－＝log1000125－log100012.5＝log1000＝log100010＝. 15．細菌繁殖時，細菌數隨時間成倍增長．若實驗開始時有300個細菌，以后的細菌數如下表所示． 據此表可推測實驗開始前2 h的細菌數為________個． 答案　75 解析　由表中數據觀察可得細菌數y與時間x的函數關系式為y＝

10、300×2x(x∈Z)．當x＝－2時，y＝300×2－2＝＝75. 16．給出函數f(x)＝則f(log23)＝________. 答案　 解析　∵log23<2，∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log23＋1＋1)＝f(log23＋1＋1＋1)＝f(log224)． ∵log224>4，∴f(log224)＝log224＝. 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)計算下列各式的值： (1)－0＋－0.5＋ ； (2)lg 500＋lg －lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2. 解　(1)原

11、式＝＋1－1＋＋e－＝＋e. (2)原式＝lg 5＋lg 102＋lg 23－lg 5－lg 26＋50(lg 10)2＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52. 18．(本小題滿分12分)已知f(x)＝(logx)2－2logx＋4，x∈[2,4]． (1)設t＝logx，x∈[2,4]，求t的最大值與最小值； (2)求f(x)的值域． 解　(1)因為函數t＝logx在[2,4]上單調遞減，所以tmax＝log2＝－1，tmin＝log4＝－2. (2)令t＝logx，則g(t)＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，由(1)得t∈[－2，－1]，因此當t＝－2，

12、即x＝4時，f(x)max＝12；當t＝－1，即x＝2時，f(x)min＝7. 因此，函數f(x)的值域為[7,12]． 19．(本小題滿分12分)已知f(x)是定義在R上的奇函數，且x>0時，f(x)＝logx. (1)求x<0時，函數f(x)的解析式； (2)若f(x)≤1，求實數x的取值范圍． 解　(1)設x<0，則－x>0，從而f(－x)＝log (－x)． ∵f(x)是奇函數， ∴f(x)＝－f(－x)＝－log (－x)． 即x<0時，f(x)的解析式為f(x)＝－log (－x)． 當x>0時，由f(x)≤1得logx≤1，解得x≥； 當x＝0時，f(x)

13、≤1顯然成立； 當x<0時，由f(x)≤1得－log (－x)≤1， 解得－2≤x<0. 綜上可知，x的取值范圍為－2≤x≤0或x≥. 20．(本小題滿分12分)某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下，測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態(tài)，經搶修，排氣扇恢復正常．排氣4 min后，測得車庫內的一氧化碳濃度為64 ppm，繼續(xù)排氣4 min，又測得濃度為32 ppm，經檢測知該地下車庫一氧化碳濃度y(ppm)與排氣時間t(min)存在函數關系：y＝cmt(c，m為常數)． (1)求c，m的值； (2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5 ppm為正常，問至少排氣多少分鐘，這個地下車庫中的一氧

14、化碳含量才能達到正常狀態(tài)？ 解　(1)由題意，可得方程組 解得 所以至少排氣32 min，這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態(tài)． 21．(本小題滿分12分)某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線． (1)寫出服藥后y與t之間的函數關系式y(tǒng)＝f(t)； (2)進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25毫克時藥物對治療疾病有效．求服藥一次治療疾病的有效時間． 解　(1)當t∈[0,1]時，函數的解析式為y＝kt， 將M(1,4)代入得k＝4，∴y＝4t. 又當t

15、∈(1，＋∞)時，函數的解析式為y＝t－a， 將點(3,1)代入得a＝3. ∴y＝t－3. 綜上有y＝f(t)＝ (2)由f(t)≥0.25，解得≤t≤5. 所以服藥一次治療疾病的有效時間為 5－＝個小時． 22．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝lg . (1)求證：f(x)是奇函數； (2)求證：f(x)＋f(y)＝f； (3)若f＝1，f＝2，求f(a)，f(b)的值． 解　(1)證明：由函數f(x)＝lg ，可得＞0，即＜0，解得－1＜x＜1，故函數的定義域為(－1,1)，關于原點對稱．再根據f(－x)＝lg ＝－lg ＝－f(x)，可得f(x)是奇函數． (2)證明：f(x)＋f(y)＝lg ＋lg ＝lg ， 而f＝lg ＝lg ＝lg ， ∴f(x)＋f(y)＝f成立． (3)若f＝1，f＝2， 則由(2)可得f(a)＋f(b)＝1，f(a)－f(b)＝2， 解得f(a)＝，f(b)＝－. - 10 -