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1、第一課
考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升
素養(yǎng)一 數(shù)學(xué)抽象
角度 集合的基本概念
【典例1】已知集合={a2,a+3b,0},則2|a|+b=________.?
【解析】因?yàn)榧?{a2,a+3b,0},所以b=0,a2=4,解得a=±2,
當(dāng)a=-2,b=0時(shí),{-2,0,4}={4,-2,0},成立,
此時(shí)2|a|+b=4.
當(dāng)a=2,b=0時(shí),{2,0,4}={4,2,0},成立,
此時(shí)2|a|+b=4.
答案:4
【典例2】已知A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求實(shí)數(shù)a的值.
【解析】由題設(shè)條件可知:1∈A,若a+2=1,即a=-1時(shí),(a+1)2=
2、0,a2+3a+3=1=a+2,
不滿足集合中元素的互異性,舍去;
若(a+1)2=1,即a=0或a=-2,
當(dāng)a=0時(shí),a+2=2,(a+1)2=1,a2+3a+3=3,
滿足條件;
當(dāng)a=-2時(shí),a+2=0,(a+1)2=1,a2+3a+3=1,
不滿足集合中元素的互異性,舍去;
若a2+3a+3=1,即a=-1或a=-2,均不滿足條件,
理由同上.綜上可知,實(shí)數(shù)a的值只能是a=0.
【素養(yǎng)·探】
將本例條件改為“集合A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},2∈B,B?A”,求實(shí)數(shù)a,x的值.
【解析】因?yàn)閍,x∈R,集合A={2,4,x2-5
3、x+9},
B={3,x2+ax+a},2∈B,B?A,所以
解得x=2,a=-或x=3,a=-,
經(jīng)檢驗(yàn)x=2,a=-或x=3,a=-都符合題意,
故所求a,x的值分別為-,2或-,3.
【類題·通】
1.集合元素的互異性在解題中的兩個(gè)應(yīng)用
(1)切入:利用集合元素的互異性尋找解題的切入點(diǎn).
(2)檢驗(yàn):解題完畢,利用互異性驗(yàn)證答案的正確性.
2.描述法表示集合的關(guān)鍵及注意點(diǎn)
(1)關(guān)鍵:清楚集合的類型及元素的特征性質(zhì).
(2)注意點(diǎn):當(dāng)特征性質(zhì)的表示形式相同時(shí),要清楚代表元素的不同會(huì)導(dǎo)致集合含義的不同,所以研究描述法時(shí)要關(guān)注集合中代表元素的屬性.
【加練·固】
4、 設(shè)集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,則集合A用列舉法表示為_(kāi)_______. ?
【解析】因?yàn)?∈A,所以16-12+a=0,所以a=-4,所以A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.
答案:{-1,4}
素養(yǎng)二 數(shù)學(xué)運(yùn)算
角度 集合的基本運(yùn)算
【典例3】(2018·北京高考)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},則A∩B=
( )
A.{0,1} B.{-1,0,1}
C.{-2,0,1,2} D.{-1,0,1,2}
【解析】選A.集合A={x|-2
5、,已知集合M={-3},N={x|x2+x-6=0}.
(1)求(IM)∩N.
(2)記集合A=(IM)∩N,已知集合B={x|a-1≤x≤a+5},a∈R,若A∩B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)镸={-3},則IM={x|x≠-3},又因?yàn)镹={2,-3},從而有(IM)∩N={2}.
(2)因?yàn)锳∩B=A,所以A?B,又因?yàn)锳={2},所以a-1≤2≤a+5,解得-3≤a≤3,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3≤a≤3.
【類題·通】
1.集合基本運(yùn)算的方法
(1)定義法或Venn圖法:集合是用列舉法給出的,運(yùn)算時(shí)可直接借助定義求解,或把元素在Venn圖中表示出來(lái),借助
6、Venn圖觀察求解.
(2)數(shù)軸法:集合是用不等式(組)給出的,運(yùn)算時(shí)可先將不等式在數(shù)軸中表示出來(lái),然后借助數(shù)軸求解.
2.集合與不等式結(jié)合的運(yùn)算包含的類型及解決辦法
(1)不含字母參數(shù):直接將集合中的不等式解出,在數(shù)軸上求解.
(2)含有字母參數(shù):若字母的取值影響到不等式的解,要先對(duì)字母分類討論,再求解不等式,然后在數(shù)軸上求解.
【加練·固】
1.設(shè)集合U={x|x是小于20的質(zhì)數(shù)},A,B?U,(?UA)∩B={3,5},(?UB)∩A= {11,13},(?UA)∩(?UB)={7,17},則集合A,B分別為 ( )
A.A={1,2,11,13,19},B={1,2,3
7、,5,19}
B.A={2,11,13,19},B={2,3,5,19}
C.A={3,11,13,19},B={2,3,5,19}
D.A={2,11,13,17,19},B={2,3,5,7,19}
【解析】選B.由題意畫(huà)出Venn圖如下,
所以A∩B={2,19},
所以A={2,11,13,19}.B={2,3,5,19}.
2.若集合A={x|-3≤x≤4}和B={x|2m-1≤x≤m+1}.
(1)當(dāng)m=-3時(shí),求集合(?RA)∩B.
(2)當(dāng)A∩B=B時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】(1)當(dāng)m=-3時(shí),集合?RA={x|x<-3或x>4},B={x|-7
8、≤x≤-2}.
所以(?RA)∩B={x|-7≤x<-3}.
(2)因?yàn)锳∩B=B,所以B?A,
當(dāng)2m-1>m+1,即m>2時(shí),B=?,滿足B?A,
當(dāng)2m-1≤m+1,即m≤2時(shí),B≠?,
若B?A,則
解得-1≤m≤3,又m≤2,所以-1≤m≤2,
綜上所述,m的取值范圍是m≥-1.
素養(yǎng)三 邏輯推理
角度1 判斷集合間的關(guān)系
【典例5】集合M={x|x=3k-2,k∈Z},P={y|y=3n+1,n∈Z},S={z|z=6m+1,m∈Z}之間的關(guān)系是 ( )
A.SPM B.S=PM
C.SP=M D.P=MS
【解析】選C.運(yùn)用整數(shù)的性質(zhì)求解.
9、集合M,P表示的是被3整除余1的整數(shù)集,集合S表示的是被6整除余1的整數(shù)集.
【類題·通】
1.集合間關(guān)系的判斷方法
(1)定義法:根據(jù)定義直接判斷元素與集合間的關(guān)系,得出集合間的關(guān)系.
(2)圖示法:利用數(shù)軸或Venn圖表示出相應(yīng)的集合,根據(jù)圖示直觀地判斷.
2.求解集合間關(guān)系問(wèn)題的兩個(gè)注意事項(xiàng)
(1)解含有參數(shù)的不等式(或方程)時(shí),要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,分類時(shí)遵循“不重不漏”的原則,且對(duì)每類情況都要給出問(wèn)題的解答.
(2)對(duì)于兩集合A,B,當(dāng)A?B時(shí),不要忽略A=?.
【加練·固】
已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0},B={x∈N|0
10、B的集合C的個(gè)數(shù)為 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】選D.A={x∈R|x2-3x+2=0}
={1,2},B={x∈N|03},
(1)是否存在實(shí)數(shù)m,使得x∈A是x∈B成立的充分條件?
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使得x∈A是x∈B成立的必要條件?
【解析】(1)欲使x∈A是x∈B成立的充分條件
11、,
則只要?{x|x<-1或x>3},則只要-≤-1即m≥2,
故存在實(shí)數(shù)m≥2時(shí)使x∈A是x∈B成立的充分條件.
(2)欲使x∈A是x∈B成立的必要條件,
則只要?{x|x<-1或x>3},則這是不可能的,故不存在實(shí)數(shù)m,使x∈A是x∈B成立的必要條件.
【類題·通】
充分條件與必要條件的判斷方法
(1)定義法
(2)集合法:寫(xiě)出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合之間的包含關(guān)系加以判斷.用集合法判斷時(shí),要盡可能用圖示、數(shù)軸等幾何方法,圖形形象、直觀,能簡(jiǎn)化解題過(guò)程,降低思維難度.
【加練·固】
求證:關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)
12、實(shí)根的充要條件是m≥2.
【證明】設(shè)p:m≥2,q:關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根.
(1)充分性(p?q):
因?yàn)閙≥2,所以Δ=m2-4≥0,方程x2+mx+1=0有實(shí)根.設(shè)x2+mx+1=0的兩個(gè)實(shí)根為x1,x2,
由根與系數(shù)的關(guān)系知x1x2>0,所以x1,x2同號(hào).
又因?yàn)閤1+x2=-m≤-2,所以x1,x2同為負(fù)根.
(2)必要性(q?p):因?yàn)閤2+mx+1=0的兩個(gè)實(shí)根x1,x2均為負(fù)根,且x1x2=1,
所以m-2=-(x1+x2)-2=--2
=-=-≥0,所以m≥2.
由(1)(2)可得,關(guān)于x的方程x2+mx+1=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是
13、m≥2.
角度3 全稱量詞命題和存在量詞命題及其否定
【典例7】判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,判斷真假,并寫(xiě)出它們的否定:
(1)空集是任何一個(gè)非空集合的真子集.
(2)?x∈R,4x2>2x-1+3x2.
(3)?x∈{-2,-1,0,1,2},︱x-2︱<2.
(4)?a,b∈R,方程ax+b=0恰有一解.
【解析】(1)該命題是全稱量詞命題,是真命題.該命題的否定:存在一個(gè)非空集合,空集不是該集合的真子集.
(2)該命題是全稱量詞命題,是假命題.因?yàn)?
4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,
所以當(dāng)x=1時(shí),4x2=2x-1+3x
14、2.
該命題的否定:?x∈R,4x2≤2x-1+3x2.
(3)該命題是存在量詞命題,是真命題.
因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí),︱x-2︱=1<2.
該命題的否定:?x∈{-2,-1,0,1,2},︱x-2︱≥2.
(4)該命題是全稱量詞命題,是假命題.當(dāng)a≠0時(shí),方程ax+b=0才恰有一解.該命題的否定:?a,b∈R,方程ax+b=0無(wú)解或至少有兩解.
【類題·通】
全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷
主要方法是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞;另外,有些全稱量詞命題并不含有全稱量詞,這時(shí)我們就要根據(jù)命題涉及的意義去判斷.
【加練·固】
判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并寫(xiě)出它們的否定:
(1)?x∈{3,5,7},3x+1是偶數(shù).
(2)對(duì)任意x∈R,都有|x-2|+|x-4|>3.
(3)二次函數(shù)的圖象是拋物線.
(4)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),有些一元二次方程無(wú)解.
【解析】(1)該命題是全稱量詞命題.
該命題的否定:?x∈{3,5,7},3x+1不是偶數(shù).
(2)該命題是全稱量詞命題.
該命題的否定:?x∈R,|x-2|+|x-4|≤3.
(3)該命題是全稱量詞命題.
該命題的否定:有的二次函數(shù)的圖象不是拋物線.
(4)該命題是存在量詞命題.該命題的否定:在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),所有的一元二次方程都有解.
7
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