2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第五課 考點突破素養(yǎng)提升 新人教A版必修第一冊

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1、 第五課 考點突破·素養(yǎng)提升 素養(yǎng)一　數(shù)學(xué)運算 角度1　任意角、弧度制與三角函數(shù)的定義 【典例1】(1)已知α∈(π,2π)且5α與α終邊相同,則α= (　　) A.π　　　 B.π　　 　C.π　　 　D.π (2)α是第四象限角,P(,x)為其終邊上一點,且sin α=x,則cos α的值為 (　　) A. B. C. D.- 【解析】(1)選C.因為5α與α終邊相同, 所以5α=α+k·2π,k∈Z, 所以4α=k·2π,k∈Z,α=k·,k∈Z. (2)選A.由定義可得sin α==x,x<0, 解得x=-,所以cos α==. 【類題·通】

2、 1.終邊相同角的問題 (1)靈活應(yīng)用角度制或弧度制表示角. (2)注意同一表達式中角度與弧度不能混用. 2.已知角α終邊上任意一點的坐標(biāo)求三角函數(shù)值的方法: (1)先利用直線與單位圓相交,求出交點坐標(biāo),然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)值. (2)在α的終邊上任選一點P(x,y),設(shè)P到原點的距離為r(r>0),則sin α=, cos α=.當(dāng)已知α的終邊上一點求α的三角函數(shù)值時,用該方法更方便. 【加練·固】 1.在-360°～360°的范圍內(nèi),與-510°終邊相同的角是 (　　) A.330° B.210° C.-150° D.30° 【解析】選B、C

3、.因為-510°=-360°×2+210°,-510°=-360°-150°, 因此與-510°終邊相同的角是210°,-150°. 2.已知一扇形的圓心角是α,所在圓的半徑是R. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積. (2)若扇形的周長是30,當(dāng)α為多少弧度時,該扇形有最大面積? 【解析】(1)設(shè)弧長為l,弓形面積為S弓, 因為α=60°=,R=10(cm), 所以l=αR=(cm). S弓=S扇-S△=××10-2××10× sin ×10×cos =50(cm2). (2)因為l+2R=30,所以l=30-2R, 從而S=·l·R=

4、(30-2R)·R=-R2+15R=-+,所以當(dāng)半徑R= cm時, l=30-2×=15(cm),扇形面積的最大值是 cm2,這時α==2(rad).所以當(dāng)扇形的圓心角為2 rad,半徑為 cm時,面積最大,為 cm2. 角度2　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 【典例2】(1)已知sin α=,≤α≤π則tan α=________.? (2)已知角α的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負半軸重合,它的終邊過點P,則sin(α+π)=________.? 【解析】(1)由sin α=,且sin2α+cos2α=1得cos α=±,因為≤α≤π,可得cos α=-,所以tan α==-

5、2. 答案:-2 (2)由角α的終邊過點P,得sin α=-, 所以sin(α+π)=-sin α=. 答案: 【類題·通】 1.已知某角的弦函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時,先利用平方關(guān)系求另一弦函數(shù)值,再求切函數(shù)值,需要注意的是利用平方關(guān)系時,若沒有角度的限制,要注意分類討論. 2.已知角終邊上的點求角的三角函數(shù)值時,先根據(jù)條件求出定點到原點的距離,再根據(jù)三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值;利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)時,關(guān)鍵注意兩點:函數(shù)名和函數(shù)的符號. 【加練·固】 1.化簡得 (　　) A.sin 2+cos 2 B.cos 2-sin 2 C.sin 2-cos 2

6、 D.±cos 2-sin 2 【解析】選C. ==, 因為<2<π,所以sin 2-cos 2>0, 所以原式=sin 2-cos 2. 2.已知=-1,求下列各式的值: (1).(2)sin2α+sin αcos α+2. 【解析】由=-1,得tan α=. (1)===-. (2)sin2α+sin αcos α+2=sin2α+sin αcos α+2(cos2α+sin2α) == ==. 素養(yǎng)二　邏輯推理 角度1　任意角、弧度制與三角函數(shù)的定義 【典例3】(1)如圖,△ABC是正三角形,曲線CDEF叫做正三角形的漸開線,其中弧、弧、弧的圓心依次是A,B

7、,C,如果AB=1,那么曲線CDEF的長是________,曲線CDEF圍成圖形的面積是________.? (2)若-<α<0,則點P(tan α,cos α)位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】(1)因為∠DAC=∠DBE=∠ECF=120°=, 所以弧的長是×1=,S扇形ACD=××1=,弧的長是×2=, S扇形BDE=××2=, 弧的長是×3=2π, S扇形CEF=×2π×3=3π, 則曲線CDEF的長是++2π=4π;面積為:++3π=π. 答案:4π　π (2)選B.因為-<α<0,所以t

8、an α<0,cos α>0, 所以點P(tan α,cos α)位于第二象限. 【類題·通】 1.涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算,關(guān)鍵是先分析題目已知哪些量、求哪些量,然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程組求解. 2.角的三角函數(shù)值的符號由角的終邊所在位置確定,解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定角的終邊所在的象限,同時牢記各三角函數(shù)值在各象限的符號,記憶口訣:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 【加練·固】 1.如果點P(sin θ·cos θ,2cos θ)位于第三象限,則角θ位于第________象限. ? 【解析】因為點P(sin θ·cos θ,2cos θ)

9、位于第三象限,所以sin θ·cos θ<0,2cos θ<0,即所以角θ在第二象限. 答案:二 2.已知☉O的一條弧的長等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長,則從OA順時針旋轉(zhuǎn)到OE所形成的角α的弧度數(shù)是________.? 【解析】設(shè)☉O的半徑為r,其內(nèi)接正三角形為△ABC.如圖所示, D為AB邊中點,AO=r,∠OAD=30°, AD=r·cos 30°=r,所以邊長AB=2AD=r, 所以的弧長l=AB=r. 又因為α是負角,所以α=-=-=-. 答案:- 角度2　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式 【典例4】(1)化簡+,θ∈. (2)求證:=-tan α. 【解析】

10、(1)因為θ∈,所以原式= + =+ =+==. (2)左邊= = ===- =-tan α=右邊,即原等式成立. 【類題·通】 利用同角三角函數(shù)化簡時的注意點 (1)同角三角函數(shù)的關(guān)系式的前提是“同角”,因此sin2α+cos2β≠1,tan α≠. (2)利用平方關(guān)系時,往往要開方,因此要先根據(jù)角所在象限確定符號,即要就角所在象限進行分類討論. 【加練·固】 1.求證: (1)=1. (2)=. 【證明】(1)左邊= ==1=右邊. 所以原等式成立. (2)方法一:因為右邊= = = ===左邊, 所以原等式成立. 方法二:因為左邊==,右邊=== ==, 所以左邊=右邊,原等式成立. 2.已知=2. (1)求tan α. (2)求cos·cos(-π+α)的值. 【解析】(1)由=2,得=2, 解得tan α=3. (2)cos·cos(-π+α)=sin α·(-cos α) ====-. 9