2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 課后作業(yè)11 基本不等式 新人教A版必修第一冊(cè)

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1、課后作業(yè)(十一) 復(fù)習(xí)鞏固 一、選擇題 1．不等式a2＋1≥2a中等號(hào)成立的條件是(　　) A．a(chǎn)＝±1 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝－1 D．a(chǎn)＝0 [解析]　a2＋1－2a＝(a－1)2≥0， ∴a＝1時(shí)，等號(hào)成立． [答案]　B 2．對(duì)x∈R且x≠0都成立的不等式是(　　) A．x＋≥2 B．x＋≤－2 C.≥ D.≥2 [解析]　因?yàn)閤∈R且x≠0，所以當(dāng)x>0時(shí)，x＋≥2；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，所以x＋＝－≤－2，所以A、B都錯(cuò)誤；又因?yàn)閤2＋1≥2|x|，所以≤，所以C錯(cuò)誤，故選D. [答案]　D 3．若0

2、的是(　　) A. B．a(chǎn)2＋b2 C．2ab D．a(chǎn) [解析]　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝. ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab， ∵00，b>0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件 [解析]　當(dāng)a>0，b>0時(shí)，a＋b≥2，則當(dāng)a＋b≤4時(shí)有2≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立． 當(dāng)a＝1，b＝4時(shí)滿足ab≤4，但此時(shí)a＋b＝5>4

3、，必要性不成立，綜上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件． [答案]　A 5．已知x>0，y>0，x≠y，則下列四個(gè)式子中值最小的是(　　) A. B. C. D. [解析]　解法一：∵x＋y>2，∴<，排除D；∵＝＝>＝，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy<2(x2＋y2)，∴>，排除A. 解法二：取x＝1，y＝2.則＝；＝；＝；＝＝.其中最?。? [答案]　C 二、填空題 6．已知a>b>c，則與的大小關(guān)系是 ________. [解析]　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0. ∴＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c，即2b＝a＋c時(shí)取

4、等號(hào)． [答案]　≤ 7．若不等式≥2恒成立，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝________時(shí)取“＝”號(hào)． [解析]?。剑剑? 2＝2，其中當(dāng)且僅當(dāng)＝?x2＋1＝1?x2＝0?x＝0時(shí)成立． [答案]　0 8．若a>0，b>0，a＋b＝2，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a，b恒成立的是________(填序號(hào))． ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2. [解析]　令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2?ab≤1，①正確；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，③正確；＋＝＝≥2，⑤正確． [答案]　①③⑤ 三、解答題 9．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：

5、＋＋≥a＋b＋c. [證明]　因?yàn)閍，b，c都是正數(shù)，所以，，也都是正數(shù)． 所以＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b， 三式相加得2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)． 10．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證≥9. [證明]　證法一：因?yàn)閍>0，b>0，a＋b＝1， 所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋， 故＝ ＝5＋2≥5＋4＝9. 所以≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào))． 證法二：因?yàn)閍，b為正數(shù)，a＋b＝1. 所以＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋， ab≤2＝，于是≥4，≥8， 因此≥1＋8＝9 . 綜合運(yùn)用 11．已知a>0，b>0

6、，則，， ，中最小的是(　　) A. B. C. D. [解析]　因?yàn)閍>0，b>0，所以≤＝，≥， ＝ ≥ ＝(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b>0時(shí)，等號(hào)成立)．所以，， ，中最小的是，故選D. [答案]　D 12．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，則下列各式恒成立的是(　　) A.≥8 B.＋≥4 C.≥ D.≤ [解析]　∵當(dāng)a，b∈(0，＋∞)時(shí)，a＋b≥2，又a＋b＝1，∴2≤1，即≤.∴ab≤.∴≥4.故選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)C也不正確．對(duì)于選項(xiàng)D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，當(dāng)a，b∈(0，＋∞)時(shí)，由ab≤可得a2＋b2＝1－2ab≥.所

7、以≤2，故選項(xiàng)D不正確．對(duì)于選項(xiàng)B，∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．故選B. [答案]　B 13．已知不等式(x＋y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 [解析]　(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2.∵(x＋y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，∴(＋1)2≥9.∴a≥4. [答案]　B 14．給出下列結(jié)論： ①若a>0，則a2＋1>a. ①若a>0，b>0，則≥4. ③若a>0，b>0，則(a＋b)≥4. ④若a∈R且a≠0，則＋a≥6.

8、 其中恒成立的是________． [解析]　因?yàn)?a2＋1)－a＝2＋>0， 所以a2＋1>a，故①恒成立． 因?yàn)閍>0，所以a＋≥2，因?yàn)閎>0，所以b＋≥2， 所以當(dāng)a>0，b>0時(shí)，≥4，故②恒成立． 因?yàn)?a＋b)＝2＋＋， 又因?yàn)閍，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2， 所以(a＋b)≥4，故③恒成立． 因?yàn)閍∈R且a≠0，不符合基本不等式的條件，故＋a≥6是錯(cuò)誤的． [答案]?、佗冖? 15．設(shè)a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范圍． [解]　由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0. 因此，原不等式等價(jià)于＋≥m. 要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可． 因?yàn)椋剑?＋＋≥2＋2 ＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即2b＝a＋c時(shí)，等號(hào)成立． 所以m≤4，即m∈{m|m≤4}． 6