《2021年高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)4.5.3《函數(shù)模型的應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案（含答案）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021年高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)4.5.3《函數(shù)模型的應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案（含答案）（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第五章 函數(shù)的應(yīng)用（二）4.5.3 函數(shù)模型的應(yīng)用1.會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題2.能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題3.了解擬合函數(shù)模型并解決實(shí)際問(wèn)題4.通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)模型的作用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)據(jù)分析的能力重點(diǎn)：利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題 難點(diǎn): 利用給定的函數(shù)模型或建立確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，并對(duì)給定的函數(shù)模型進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析評(píng)價(jià)1常見(jiàn)函數(shù)模型常用函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型ykxb(k，b為常數(shù)，k0)(2)二次函數(shù)模擬yax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)(3)指數(shù)函數(shù)模型ybaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型
2、ymlogaxn(m，a，n為常數(shù)，m0，a0且a1)(5)冪函數(shù)模型yaxnb(a，b為常數(shù)，a0)2.建立函數(shù)模型解決問(wèn)題的基本過(guò)程我們知道 ， 函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型 ， 不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà) 面臨一個(gè)實(shí)際問(wèn)題 ， 該如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)刻畫(huà)它呢？典例解析例3.人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題 認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律 ， 可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù) 早在 1978 年 ， 英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯 （ T.R.Malthas ，1766 1834） 就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型y=y0ert ，其中 t 表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間 ，y0 表示 t 時(shí)
3、的人口數(shù) ， r 表示人口的年平均增長(zhǎng)率 下表 是 19501959 年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料 （1） 如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率 （ 精確到 0.0001），用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型 ， 并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符 ；（2） 如果按上表 的增長(zhǎng)趨勢(shì) ， 那么大約在哪一年我國(guó)的人口數(shù)達(dá)到 13 億？ 事實(shí)上 ， 我國(guó) 1989年的人口數(shù)為 11.27億 ， 直到 2005年才突破13 億 對(duì)由函數(shù)模型所得的結(jié)果與實(shí)際情況不符 ， 你有何看法 ？ 因?yàn)槿丝诨鶖?shù)較大 ， 人口增長(zhǎng)過(guò)快 ， 與我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平產(chǎn)生了較大矛盾 ， 所
4、以我國(guó)從 世紀(jì) 年代逐步實(shí)施了計(jì)劃生育政策 因此這一階段的人口增長(zhǎng)條件并不符合馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型的條件 ， 自然就出現(xiàn)了依模型得到的結(jié)果與實(shí)際不符的情況 例4. 2010年 ,考古學(xué)家對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進(jìn)行碳 14年代學(xué)檢測(cè) ，檢測(cè)出碳 14的殘留量約為初始量的 55.2 ， 能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？例5.假設(shè)你有一筆資金用于投資 ， 現(xiàn)有三種投資方案供你選擇 ， 這三種方案的回報(bào)如下 ：方案一 ： 每天回報(bào)40元 ；方案二 ： 第一天回報(bào)10元 ， 以后每天比前一天多回報(bào)10元 ；方案三 ： 第一天回報(bào)0.4元 ， 以后每天的回報(bào)比前一天
5、翻一番 請(qǐng)問(wèn) ， 你會(huì)選擇哪種投資方案？ 問(wèn)題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？投資天數(shù)、回報(bào)金額 如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？ 假如某公司每天給你投資1萬(wàn)元，共投資30天。公司要求你給他的回報(bào)是：第一天給公司1分錢(qián)，第二天給公司2分錢(qián)，以后每天給的錢(qián)都是前一天的2倍，共30天，你認(rèn)為這樣的交易對(duì)你有利嗎？解答如下：公司30天內(nèi)為你的總投資為: 30萬(wàn)元你30天內(nèi)給公司的回報(bào)為:0.01+0.012+0.0122+0.01229=10737418.231074(萬(wàn)元)上述例子只是一種假想情況 ， 但從中可以看到 ， 不同的函數(shù)增長(zhǎng)模型 ， 增長(zhǎng)變化存在很大差異例6. 某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)
6、備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y (單位：萬(wàn)元)隨銷售利潤(rùn)x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%?，F(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x,其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？例6涉及了哪幾類函數(shù)模型？一次函數(shù)，對(duì)數(shù)型函數(shù)，指數(shù)函數(shù)。你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案的條件嗎?1 一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時(shí)間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是()A分段函數(shù)B二次函數(shù)C指數(shù)函數(shù) D對(duì)數(shù)函數(shù)2若鐳經(jīng)過(guò)100年后剩留原來(lái)質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為1
7、的鐳經(jīng)過(guò)x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是() Ay0.957 6 By(0.957 6)100 xCy x Dy10.042 43 若一根蠟燭長(zhǎng)20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為()4某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2 000萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬(wàn)元又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù)，K(Q)40QQ2，則總利潤(rùn)L(Q)的最大值是_萬(wàn)元. 5已知A，B兩地相距150 km，某人開(kāi)汽車以60 km/h的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1小時(shí)后再以50 km/h的速度返回A地(1)把汽車離開(kāi)A地的距離s表示為時(shí)
8、間t的函數(shù)(從A地出發(fā)時(shí)開(kāi)始)，并畫(huà)出函數(shù)的圖象；(2)把車速v(km/h)表示為時(shí)間t(h)的函數(shù)，并畫(huà)出函數(shù)的圖象參考答案：一、 知識(shí)梳理二、 學(xué)習(xí)過(guò)程例3. 分析 ： 用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立具體人口增長(zhǎng)模型 ， 就是要確定其中的初始量y0 和年平均增長(zhǎng)率 r解 ：（ 1） 設(shè)19511959 年我國(guó)各年的人口增長(zhǎng)率分別為 r1,r2，,r9 由 551961+r1=56300,可得 1951年的人口增長(zhǎng)率 r10.0200同理可得 ， r20.0210, r30.0229 , r40.0250, r50.0197 ， r60.0223，r70.0276,r80.0222,r90.01
9、54于是 ， 19511959 年期間 ， 我國(guó)人口的年平均增長(zhǎng)率為:r=(r1+r2+r9)90.0221,令 y0=55196， 則我國(guó)在 19501959年期間的人口增長(zhǎng)模型為y=55196e0.0221t，t N根據(jù)表 中的數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖 ， 并畫(huà)出函數(shù)y=55196e0.0221t （t N ） 的圖象 由圖 可以看出 ， 所得模型與 19501959 年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合 例4.分析 ： 因?yàn)樗劳錾餀C(jī)體內(nèi)碳 的初始量按確定的衰減率衰減 ， 屬于指數(shù)衰減 ， 所以應(yīng)選擇函數(shù)y=kax（ kR ， 且 k ； a ， 且 a ） 建立數(shù)學(xué)模型 解 ： 設(shè)樣本中碳 的初始量為k ，
10、 衰減率為 p（ p ）， 經(jīng)過(guò) x年后 ， 殘余量為y 根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義 ， 可選擇如下模型 ：y=k(1p)x（k R ， 且 k ； p ； x ） 由碳 的半衰期為 5730年 ， 得k(1p)5730=12k于是 1P=573012，所以 y=k(573012)x由樣本中碳14 的殘余量約為初始量的 55.2 可知 ，即 0.552k=k(573012)x 解得 x=log5730120.552由計(jì)算工具得 x4912因?yàn)?2010年之前的 4912年是公元前 2902年 ， 所以推斷此水壩大概是公元前 2902年建成的 例5.分析 ： 我們可以先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型
11、， 再通過(guò)比較它們的增長(zhǎng)情況 ， 為選擇投資方案提供依據(jù)解 ： 設(shè)第x天所得回報(bào)是y元 ， 則方案一可以用函數(shù) y 40(xN) 進(jìn)行描述 ； 方案二可以用函數(shù) y 10 x(xN)進(jìn)行描述 ；方案三可以用函數(shù)y=0.42x1(xN)進(jìn)行描述 三個(gè)模型中 ， 第一個(gè)是常數(shù)函數(shù) ， 后兩個(gè)都是增函數(shù) 要對(duì)三個(gè)方案作出選擇 ， 就要對(duì)它們的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析 我們先用信息技術(shù)計(jì)算一下三種方案所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況三種方案每天回報(bào)表方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù) ， 方案二 、 方案三的函數(shù)都是增函數(shù) ， 但方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長(zhǎng)情況很不相同 可以看到 ， 盡管方案一 、 方案二在第 天所得回報(bào)分別是方
12、案三的100倍和25倍 ， 但它們的增長(zhǎng)量固定不變 ， 而方案三是 “ 指數(shù)增長(zhǎng) ”，其 “ 增長(zhǎng)量 ” 是成倍增加的 ， 從第7天開(kāi)始 ， 方案三比其他兩個(gè)方案增長(zhǎng)得快得多 ， 這種增長(zhǎng)速度是方案一 、 方案二所無(wú)法企及的 從每天所得回報(bào)看 ，在第 天 ， 方案一最多 ；在第 天 ， 方案一和方案二一樣多 ， 方案三最少 ； 在第 天 ， 方案二最多 ； 第9天開(kāi)始 ， 方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多 ， 到第30天 ， 所得回報(bào)已超過(guò)2億元 下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù) 通過(guò)信息技術(shù)列表如下投資16天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；投資810天，應(yīng)選擇方案二；投資11天（含11
13、天）以上，應(yīng)選擇方案三。例6.分析 ： 本例提供了三個(gè)不同增長(zhǎng)方式的獎(jiǎng)勵(lì)模型 ， 按要求選擇其中一個(gè)函數(shù)作為刻畫(huà)獎(jiǎng)金總數(shù)與銷售利潤(rùn)的關(guān)系 由于公司總的利潤(rùn)目標(biāo)為 1000萬(wàn)元 ， 所以銷售人員的銷售利潤(rùn)一般不會(huì)超過(guò)公司總的利潤(rùn) 于是 ， 只需在區(qū)間 10 ，1000 上 ， 尋找并驗(yàn)證所選函數(shù)是否滿足兩條要求 ： 第一 ， 獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò) 萬(wàn)元 ， 即最大值不大于 ；第二 ， 獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的 ， 即 Y0.25X 不妨先畫(huà)出函數(shù)圖象 ，通過(guò)觀察函數(shù)圖象 ， 得到初步的結(jié)論 ， 再通過(guò)具體計(jì)算 ， 確認(rèn)結(jié)果 解 ： 借助信息技術(shù)畫(huà)出函數(shù) y ， y=0.25x, y=log7x+1, y=1.
14、002x 的圖象 觀察圖象發(fā)現(xiàn) ， 在區(qū)間 10， 1000 上 ， 模型 y=0.25x, y=1.002x的圖象都有一部分在直線 y 的上方 ， 只有模型 y=log7x+1的圖象始終在 y 的下方 ， 這說(shuō)明只有按模型 y=log7x+1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求 下面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述判斷 先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò) 萬(wàn)元 對(duì)于模型 y 0.25x， 它在區(qū)間 10，1000 上單調(diào)遞增 ， 而且當(dāng) x 時(shí) ， y ，因此 ， 當(dāng) x 時(shí) ， y ， 所以該模型不符合要求 ；對(duì)于模型, y=1.002x ， 由函數(shù)圖象 ， 并利用信息技術(shù) ， 可知在區(qū)間 （805 ，806 ） 內(nèi)有
15、一個(gè)點(diǎn)x0 滿足 1.002x0 ， 由于它在區(qū)間 10 ，1000 上單調(diào)遞增 ， 因此當(dāng) x x0時(shí) ， y ，所以該模型也不符合要求 ；對(duì)于模型 y=log7x+1， 它在區(qū)間 10 ，1000 上單調(diào)遞增 ， 而且當(dāng) x1000 時(shí) ，y=log71000+14.55 ， 所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò) 萬(wàn)元的要求 再計(jì)算按模型 y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí) ， 獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25 ， 即當(dāng) x 10 ，1000 時(shí) ， 是否有 y 0.25x， 即y=log7x+1 0.25x成立 令 f(x) y=log7x+1-0.25x， x 10 ，1000 , 利用信息技術(shù)畫(huà)出它的圖象由圖象可
16、知函數(shù) f(x)在區(qū)間10 ，1000 上單調(diào)遞減 ， 因此f(x) f(10)0.3167 ，即y=log7x+10.25x所以 ， 當(dāng) x 10 ，1000 時(shí) ， y 0.25x， 說(shuō)明按模型y=log7x+1 獎(jiǎng)勵(lì) ， 獎(jiǎng)金不會(huì)超過(guò)利潤(rùn)的 25綜上所述 ， 模型 y=log7x+1確實(shí)能符合公司要求 三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.【答案】A由圖可知，該圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是分段函數(shù)模型2【答案】A由題意可知y(95.76%)，即y0.9576.3.【答案】B由題意h205t(0t4)，其圖象為B.4【答案】2 500每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬(wàn)元，單位產(chǎn)品數(shù)Q時(shí)的總成本為2 00010Q萬(wàn)元K(Q)40QQ2，利潤(rùn)L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500，Q300時(shí)，利潤(rùn)L(Q)的最大值是2 500萬(wàn)元5 【答案】(1)汽車由A地到B地行駛t h所走的距離s60t(0t2.5)汽車在B地停留1小時(shí)，則汽車到A地的距離s150(2.5t3.5)由B地返回A地，則汽車到A地的距離s15050(t3.5)32550t(3.5t6.5)綜上，s它的圖象如圖(1)所示(1)(2)(2)速度v(km/h)與時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系式是v它的圖象如圖(2)所示
2021年高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)4.5.3《函數(shù)模型的應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案（含答案）
