5、答案 A
解析 ∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，
當x＝－1時，y＝－1,0,1；當x＝0時，y＝－1,0,1；當x＝1時，y＝－1,0,1，∴A中元素共有9個，故選A.
1.研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當集合用描述法表示時，注意弄清其元素表示的意義是什么，如第1題中，集合M中的元素是y，所求集合為函數(shù)的值域，集合N中元素為x，所求集合為函數(shù)的定義域；第2題中，集合中的元素是x，所求集合為不等式解集；第3題中，集合中的元素是(x，y)，所求集合為函數(shù)圖象上的點集．
2.在集合化簡時，要注意正確求解代表元素的取值范圍，再
6、借助數(shù)軸圖或函數(shù)圖進行運算解決.
熱點3 以集合為載體的創(chuàng)新題
以考查探究能力和創(chuàng)新能力為目的，使用已有的數(shù)學知識去分析和解決問題．
(2019·沈陽模擬)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定義集合A，B之間的運算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，則A*B中的所有元素數(shù)字之和為( )
A.15 B．16
C．20 D．21
答案 D
解析 由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因為A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,
7、1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素數(shù)字之和為21.
解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點：
(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程之中．
(2)用好集合的性質(zhì)．解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素．本題中x1∈A，x2∈B，忽視任何一個條件，都會導致失誤丟分！
熱點4 四種命題及其之間的關(guān)系
1.由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論．
2.兩個命題互為逆否命題，它們有相
8、同的真假性，當一個命題判斷不易時，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假．
原命題：設(shè)a，b，c∈R，若“a>b”，則“ac2>bc2”，以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題共有( )
A.0個 B．1個
C．2個 D．4個
答案 C
解析 若c＝0，則原命題不成立，由等價命題同真假知其逆否命題也為假；逆命題：設(shè)a，b，c∈R，若“ac2>bc2”，則“a>b”．由ac2>bc2知c2>0，由不等式的基本性質(zhì)得a>b，所以逆命題為真，由等價命題同真假知否命題也為真，所以真命題共有2個．故選C.
寫一個命題的其他三種命題形式時，若命題有大前提，需保留大前提不變，只改變條件和
9、結(jié)論．判斷命題真假時，要注意原命題與逆否命題同真假，故四個命題中真、假命題必有偶數(shù)個．本題中“設(shè)a，b，c∈R”是大前提，在原命題的判斷中易忽略c＝0的特殊情況而得出真命題，從而錯選D.
熱點5 充分、必要條件的判斷
判斷充分、必要條件的三種方法：
(1)利用定義判斷．
(2)利用集合間的包含關(guān)系判斷．
1．(2017·北京高考)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負數(shù)λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 若?λ＜0，使m＝λn，即兩向量反向，夾角是π，那么m·n
10、＝|m||n|cosπ＝－|m||n|＜0，反過來，若m·n＜0，那么兩向量的夾角為，并不一定反向，即不一定存在負數(shù)λ，使得m＝λn，所以是充分不必要條件，故選A.
答案 [9，＋∞)
1．第1題誤區(qū)有兩個方面：①由“存在負數(shù)λ，使得m＝λn”不能得出向量反向，由“m·n＜0”，不能得出θ∈；②由向量m與n反向能得出m·n<0，而認為m·n<0也能得出m與n反向．
2．對于條件或結(jié)論是否定形式的命題一般運用等價法，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．但第2題中由NM，易誤解為得m>9.
熱點6 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱命題與特稱命題
1．含有邏輯
11、聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷步驟
2．全(特)稱命題的否定及真假的判斷方法
(1)含有全稱量詞的全稱命題的否定是將全稱量詞改為存在量詞，并把結(jié)論否定；含有存在量詞的特稱命題的否定是將存在量詞改為全稱量詞，并把結(jié)論否定．
(2)有些全稱(或特稱)命題省略了全稱(或存在)量詞，否定時要先理解其含義，再進行否定．
1．下列命題中的假命題是( )
A．?x∈R,2x－1>0
B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x0∈R，lg x0<1
D．?x0∈R，tanx0＝2
答案 B
解析 當x∈N*時，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，當且僅當x＝1時取等號，故B不正確；易知A
12、，C，D正確，故選B.
A．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
B．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
C．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
D．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
答案 C
判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個x＝x0，使p(x0)成立．
真題自檢感悟
1.(2018·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，則?RA＝(
13、 )
A.{x|－12} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
答案 B
解析 解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以可以求得?RA＝{x|－1≤x≤2}，故選B.
2.(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝( )
A.{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
答案 C
解析 ∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1
14、,3}．故選C.
3.(2017·天津高考)設(shè)θ∈R，則“＜”是“sinθ＜”的( )
A.充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C.充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 ∵＜，∴－＜θ－＜，即0＜θ＜.顯然0＜θ＜時，sinθ＜成立．但sinθ＜時，由周期函數(shù)的性質(zhì)知0＜θ＜不一定成立．故0＜θ＜是sinθ＜的充分而不必要條件．故選A.
4.(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)有下面四個命題：
p1：若復(fù)數(shù)z滿足∈R，則z∈R；
p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R；
p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝2；
p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則∈R.
其中的真命題
15、為( )
A.p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
答案 B
解析 設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．
對于p1，若∈R，即＝∈R，則b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題．
對于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0.
當a＝0，b≠0時，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2為假命題．
對于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即
16、a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2.因為a1b2＋a2b1＝＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題．
對于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0?＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命題．故選B.
5.(2019·北京高考)設(shè)點A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“|＋|>||”的( )
A.充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C.充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 C
解析 因為點A，B，C不共線，由向量加法的三角形法則，可知＝－，所以|＋|>||等價于|＋|>|－|，因模為正，故不等號兩邊平方得2＋2＋2||||cosθ>2＋2－2||·||
17、cosθ(θ為與的夾角)，整理得4||||·cosθ>0，故cosθ>0，即θ為銳角．又以上推理過程可逆，所以“與的夾角為銳角”是“|＋|>||”的充分必要條件．故選C.
專題作業(yè)
一、選擇題
1.(2018·天津高考)設(shè)全集為R，集合A＝{x|0
18、nθ＝1，則p是q的( )
A.充分不必要條件 B．必要不充分條件
C.充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 D
解析 由cosθ＝，得θ＝±＋2kπ，k∈Z，則tanθ＝±1，故pq，p是q的不充分條件；由tanθ＝1，得θ＝＋kπ，k∈Z，則cosθ＝±，故qp，p是q的不必要條件；所以p是q的既不充分也不必要條件．故選D.
3.(2019·海南聯(lián)考)已知集合A＝{x|3x2＋x－2≤0}，B＝{x|log2(2x－1)≤0}，則A∩B等于( )
答案 D
解析 由題意得A＝，B＝，
∴A∩B＝，故選D.
4.(2019·鄭州質(zhì)測)下列命題是真命題的是( )
19、
A.?φ∈R，函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函數(shù)
B.?α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋cosβ
C.向量a＝(2,1)，b＝(－1,0)，則a在b方向上的投影為2
D.“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要條件
答案 B
解析 當φ＝＋kπ，k∈Z時，函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函數(shù)，所以A是假命題；若α＝，β＝－，則cos(α＋β)＝cosα＋cosβ，所以B是真命題；|a|cos〈a，b〉＝＝＝－2，即a在b方向上的投影為－2，所以C是假命題；“|x|≤1?－1≤x≤1”是“x≤1”的充分不必要條件，所以D是假命題，故選B.
5.(201
20、8·天津高考)設(shè)x∈R，則“<”是“x3<1”的( )
A.充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C.充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 絕對值不等式
21、與n平行，所以“m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件．故選A.
7.已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要條件，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A.[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C.[1，＋∞) D．(－∞，－1]
答案 B
解析 由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要條件，所以k>2，即實數(shù)k的取值范圍是(2，＋∞)，故選B.
8.命題“?x∈[1,2)，x2－a≤0”成立的一個充分不必要條件可以是( )
A.a≥1 B．a(chǎn)>1
C．a(chǎn)≥4 D．a(chǎn)>4
答案 D
解析 命題成立的充要條件是?x∈[1,
22、2)，a≥x2恒成立，即a≥4.∴命題成立的一個充分不必要條件可以是a>4.故選D.
9.下列命題中，真命題是( )
A.?x0∈R，ex0≤0
B.?x∈R,2x>x2
C.a＋b＝0的充要條件是＝－1
D.“a>1，b>1”是“ab>1”的充分條件
答案 D
解析 因為y＝ex0>0，x0∈R恒成立，所以A不正確；因為當x＝－5時，2－5<(－5)2，所以B不正確；“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要條件，所以C不正確；當a>1，b>1時，顯然ab>1，故D正確.
10.已知命題p：“?x∈[0,1]，a≥ex”，命題q：“?x0∈R，x＋4x0＋a＝0”．若命題p和q
23、都成立，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(4，＋∞) B．[1,4]
C.[e,4] D．(－∞，－1)
答案 C
解析 對于p成立，a≥(ex)max，∴a≥e.對于q成立，知x＋4x0＋a＝0有解，則Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.綜上可知e≤a≤4.故選C.
11.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則A⊕B中元素的個數(shù)為( )
A.77 B．49
C．45 D．30
答案 C
解析 當x1＝0時，y
24、1∈{－1,0,1}，而x2，y2∈{－2，－1,0,1,2}，此時x1＋x2∈{－2，－1,0,1,2}，y1＋y2∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，則A⊕B中元素的個數(shù)為5×7＝35.
當x1＝±1時，y1＝0，而x2，y2∈{－2，－1,0,1,2}，此時x1＋x2∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，y1＋y2∈{－2，－1,0,1,2}．由于當x1＋x2∈{－2，－1,0,1,2}，y1＋y2∈{－2，－1，0,1,2}時，A⊕B中的元素與x1＝0時有重復(fù)的元素，此時不重復(fù)的元素個數(shù)為2×5＝10，所以A⊕B中元素的個數(shù)為35＋10＝45.故選C.
12.給出下列四個命題
25、：
①“若x0為y＝f(x)的極值點，則f′(x0)＝0”的逆命題為真命題；
②“平面向量a，b的夾角是鈍角”的充分不必要條件是“a·b<0”；
④命題“?x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“?x∈R，x2＋x＋1≥0”．
其中不正確命題的編號是( )
A.②④ B．①③④
C.①②④ D．①②③
答案 D
解析 對于①，“若x0為y＝f(x)的極值點，則f′(x0)＝0”的逆命題為“若f′(x0)＝0，則x0為y＝f(x)的極值點”，不正確，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，由f′(x0)＝0，可得x0＝0，但x0＝0不是極值點，故①錯；對于②，“平面向量a，b的夾
26、角是鈍角”等價于“a·b<0，且a·b不共線”，則“平面向量a，b的夾角是鈍角”的必要不充分條件是“a·b<0”，故②錯；對于③，若命題p：<0，則
：≥0或x＝1，故③錯；對于④，命題“?x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“?x∈R，x2＋x＋1≥0”，故④正確．故選D.
二、填空題
13.已知全集U＝R，集合A，B滿足A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋17}，∵B≠?，∴m＋1<2m－1，得m>2；∵(?UA)∩B＝?，∴B?A，∴m＋1≥
27、－2 且2m－1≤7，得m≤4且m≥－3，∴m∈(2,4].
14.若“?x∈，tanx≤m”是真命題，則實數(shù)m的最小值為________．
答案 1
解析 若“?x∈，tanx≤m”是真命題，則m≥tan＝1，于是實數(shù)m的最小值為1.
15.(2019·山東濟南一中月考)已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要條件是
2020屆高考數(shù)學大二輪復(fù)習 沖刺創(chuàng)新專題 題型1 選填題 練熟練穩(wěn) 少丟分 第2講 集合與常用邏輯用語練習 文
