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1、小題專練·作業(yè)(十六) 導數(shù)的簡單應(yīng)用
1.曲線y=sinx+ex在點(0,1)處的切線方程是( )
A.x-3y+3=0 B.x-2y+2=0
C.2x-y+1=0 D.3x-y+1=0
解析 y′=cosx+ex,故曲線在點(0,1)處的切線斜率k=2,切線方程為y=2x+1,即2x-y+1=0。故選C。
答案 C
2.已知函數(shù)f (x)=+1,g(x)=alnx,若函數(shù)f (x)與g(x)的圖象在x=處的切線平行,則實數(shù)a的值為( )
A. B.
C.1 D.4
解析 由題意知,當x=時兩個函數(shù)的導數(shù)值相等。因為f ′(x)=,g′(x)=,所以1=
2、4a,即a=。故選A。
答案 A
3.(2018·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)設(shè)函數(shù)f (x)=xex+1,則( )
A.x=1為f (x)的極大值點
B.x=1為f (x)的極小值點
C.x=-1為f (x)的極大值點
D.x=-1為f (x)的極小值點
解析 由題意得,f ′(x)=(x+1)ex,令f ′(x)=0,得x=-1,當x∈(-∞,-1)時,f ′(x)<0,當x∈(-1,+∞)時,f ′(x)>0,則f (x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,所以x=-1為f (x)的極小值點。故選D。
答案 D
4.若一個四棱錐的底面為正方形,頂點在底面的射影為
3、正方形的中心,且該四棱錐的體積為9,當其外接球的體積最小時,它的高為( )
A.3 B.2
C.2 D.3
解析 設(shè)底面正方形的邊長為a,四棱錐的高為h,其外接球的半徑為R,因為a2h=9,所以a2=,又因為R2=2+(h-R)2,所以R=+。令f (h)=+,h>0,所以f ′(h)=-+,可知f (h)在(0,3)上單調(diào)遞減,在(3,+∞)上單調(diào)遞增,所以f (h)min=f (3),即當h=3時,R最小,從而其外接球的體積最小。故選A。
答案 A
5.(2018·南昌調(diào)研)已知函數(shù)f (x)是定義在R上的偶函數(shù),設(shè)函數(shù)f (x)的導函數(shù)為f ′(x),若對任意x>0都
4、有2f (x)+xf ′(x)>0成立,則( )
A.4f (-2)<9f (3) B.4f (-2)>9f (3)
C.2f (3)>3f (-2) D.3f (-3)<2f (-2)
解析 根據(jù)題意,令g(x)=x2f (x),其導數(shù)g′(x)=2xf (x)+x2f ′(x),又對任意x>0都有2f (x)+xf ′(x)>0成立,則當x>0時,有g(shù)′(x)=x(2f (x)+xf ′(x))>0恒成立,即函數(shù)g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),又由函數(shù)f (x)是定義在R上的偶函數(shù),則f (-x)=f (x),則有g(shù)(-x)=(-x)2f (-x)=x2f (x)=g(x
5、),即函數(shù)g(x)也為偶函數(shù),則有g(shù)(-2)=g(2),且g(2)0可得f (x)在(1,+
6、∞)上遞增,f ′(x)<0得f (x)在(-∞,1)上遞減,所以f (x)在x=1取得極小值,無極大值,不符合題意;當a<0時,令f ′(x)=0,得x=1或ln(-a),只有當ln(-a)>1,a<-e時,由f ′(x)>0可得f (x)在(-∞,1),(ln(-a),+∞)上遞增,f ′(x)<0,得f (x)在(1,ln(-a))上遞減,f (x)在x=1取得極大值,所以函數(shù)f (x)=e2x+(a-e)ex-aex+b(a,b∈R)(其中e為自然對數(shù)底數(shù))在x=1取得極大值,則a的取值范圍是a<-e。故選D。
答案 D
7.(2018·陜西質(zhì)量檢測)若直線2x-y+c=0是拋物線
7、x2=4y的一條切線,則c=________。
解析 由x2=4y,可得y′=,由于直線2x-y+c=0的斜率k=2,因此令=2,得x=4,代入x2=4y得y=4,所以切點為(4,4),代入切線方程可得8-4+c=0,故c=-4。
答案?。?
8.(2018·湖北重點高中協(xié)作體聯(lián)考)x=-1為函數(shù)f (x)=x3-ax2的一個極值點,則函數(shù)f (x)的極小值為________。
解析 因為f (x)=x3-ax2,所以f ′(x)=2x2-2ax。因為x=-1為函數(shù)f (x)=x3-ax2的一個極值點,所以f ′(-1)=2+2a=0,解得a=-1。當a=-1時,f ′(x)=2x2+
8、2x=2x(x+1)。所以當x<-1或x>0時,f ′(x)>0,f (x)單調(diào)遞增,當-1
9、10.(2018·山西二模)當x>1時,不等式(x-1)ex+1>ax2恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________。
解析 當x>1時,不等式(x-1)ex+1>ax2恒成立,所以不等式a<在(1,+∞)恒成立,設(shè)f (x)=,f ′(x)=,因為x2ex-2(x-1)ex-2=ex(x2-2x+2)-2=ex[(x-1)2+1]-2>0恒成立,所以f ′(x)>0在(1,+∞)恒成立,所以f (x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以f (x)min>f (1)=1,所以a≤1。
答案 (-∞,1]
11.(2018·西安八校聯(lián)考)曲線y=x3上一點B處的切線l交x軸于點A,△OAB(
10、O為原點)是以∠A為頂角的等腰三角形,則切線l的傾斜角為( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
解析 解法一:因為y=x3,所以y′=3x2。設(shè)點B(x0,x)(x0≠0),則kl=3x,所以切線l的方程為y-x=3x(x-x0)。取y=0,則x=x0,所以點A。易知線段OB的垂直平分線方程為y-=-,根據(jù)線段OB的垂直平分線過點A可得-=-,解得x=,所以kl=3x=,故切線l的傾斜角為60°。故選C。
解法二:因為y=x3,所以y′=3x2。設(shè)點B(x0,x)(x0≠0),則kl=3x,所以切線l的方程為y-x=3x(x-x0)。取y=0,則x=x0,所以點
11、A。由|OA|=|AB|,得=+x,又x0≠0,所以x=,所以kl=3x=,故切線l的傾斜角為60°。故選C。
答案 C
12.(2018·陜西質(zhì)檢)若函數(shù)f (x)=ax-x2-lnx存在極值,且這些極值的和不小于4+ln2,則a的取值范圍為( )
A.[2,+∞) B.[2,+∞)
C.[2,+∞) D.[4,+∞)
解析 f ′(x)=a-2x-=-,因為f (x)存在極值,所以f ′(x)=0在(0,+∞)上有根,即2x2-ax+1=0在(0,+∞)上有根。記方程2x2-ax+1=0的兩根為x1,x2,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2=,x1+x2=,易知a>0,方程有兩
12、不等正根,由Δ>0,得a>2,所以f (x1)+f (x2)=(ax1-x-lnx1)+(ax2-x-lnx2)=a(x1+x2)-(x+x)-(lnx1+lnx2)=-+ln2≥4+ln2,所以a≥2。綜上,a的取值范圍為[2,+∞)。故選C。
答案 C
13.(2018·四川德陽模擬)方程f (x)=f ′(x)的實數(shù)根x0叫做函數(shù)f (x)的“新駐點”,如果函數(shù)g(x)=lnx的“新駐點”為a,那么a滿足( )
A.a(chǎn)=1 B.0
13、函數(shù)。又h(1)=-1<0,h(2)=ln 2-=ln2-ln>0,所以h(x)在(1,2)上有唯一零點,所以10得01,此時函數(shù)g(x)為減函數(shù),即當x=1
14、時,g(x)取得極大值同時也是最大值g(1)=,則的最大值為=,則由≥,得2ek≥k+1,即k(2e-1)≥1,則k≥。
答案
15.(2018·東北三校一模)已知函數(shù)f (x)=xlnx+x2,x0是函數(shù)f (x)的極值點,給出以下幾個命題:
①0;③f (x0)+x0<0;④f (x0)+x0>0。
其中正確的命題是________。(填出所有正確命題的序號)
解析 由已知得f ′(x)=lnx+x+1(x>0),不妨令g(x)=lnx+x+1(x>0),由g′(x)=+1,當x∈(0,+∞)時,有g(shù)′(x)>0總成立,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g=>0,而x0是函數(shù)f (x)的極值點,所以f ′(x0)=g(x0)=0,即g>g(x0),所以0