2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 小題專練作業(yè)(十二)直線與圓 理

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1、小題專練·作業(yè)(十二) 直線與圓 1.“a=-1”是“直線ax+(2a-1)y+1=0和直線3x+ay+3=0垂直”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 解析 當(dāng)a=-1時(shí),直線ax+(2a-1)y+1=0的斜率是-,直線3x+ay+3=0的斜率是3,-×3=-1,所以兩直線垂直。當(dāng)a=0時(shí),直線ax+(2a-1)y+1=0和直線3x+ay+3=0垂直。所以“a=-1”是“直線ax+(2a-1)y+1=0和直線3x+ay+3=0垂直”的充分不必要條件。故選A。 答案 A 2.若直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2),且在x軸上的

2、截距的取值范圍是(-3,3),則其斜率的取值范圍是(  ) A.-11或k< C.或k<-1 解析 設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程為y-2=k(x-1),則直線l在x軸上的截距為1-,由題意可知-3<1-<3,解得k>或k<-1。故選D。 答案 D 3.(2018·貴陽監(jiān)測(cè)考試)經(jīng)過三點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圓與y軸交于M,N兩點(diǎn),則|MN|=(  ) A.2 B.2 C.3 D.4 解析 根據(jù)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征可知圓心在直線x=1上,設(shè)圓心為P(1,m),則半徑r=|m-2|,所以(m-2)2=22

3、+m2,解得m=0,所以圓心為P(1,0),所以圓的方程為(x-1)2+y2=4,當(dāng)x=0時(shí),y=±,所以|MN|=2。故選A。 答案 A 4.(2018·佛山順德調(diào)研)已知圓O1的方程為x2+y2=1,圓O2的方程為(x+a)2+y2=4,如果這兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),那么a的所有取值構(gòu)成的集合是(  ) A.{1,-1,3,-3} B.{5,-5,3,-3} C.{1,-1} D.{3,-3} 解析 圓心距d=|a|=2+1=3或d=|a|=2-1=1,所以a=1,-1,3,-3。故選A。 答案 A 5.過點(diǎn)P(1,2)的直線與圓x2+y2=1相切,且與直線ax+y

4、-1=0垂直,則實(shí)數(shù)a的值為(  ) A.0 B.- C.0或 D. 解析 圓x2+y2=1的圓心為(0,0),半徑為1,顯然點(diǎn)P(1,2)在圓的外部。過點(diǎn)P能作2條圓的切線。當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)切線的斜率為k,則切線方程為y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,根據(jù)圓心到直線kx-y+2-k=0的距離等于半徑1,可得=1,解得k=。故與切線垂直的直線ax+y-1=0的斜率為-,所以a=。當(dāng)k不存在時(shí),可得a=0,也滿足題意。故選C。 答案 C 6.(2018·湖南十四校聯(lián)考)已知直線x-2y+a=0與圓O:x2+y2=2相交于A,B兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),且△AOB為等

5、腰直角三角形,則實(shí)數(shù)a的值為(  ) A.或- B.或- C. D. 解析 因?yàn)橹本€x-2y+a=0與圓O:x2+y2=2相交于A,B兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),且△AOB為等腰直角三角形,所以O(shè)到直線AB的距離為1,由點(diǎn)到直線距離公式可得=1,所以a=±。故選B。 答案 B 7.(2017·安徽太和模擬)已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),若圓(x-3)2+y2=r2(r>0)上存在點(diǎn)P(不同于點(diǎn)A,B)使得PA⊥PB,則實(shí)數(shù)r的取值范圍是(  ) A.(1,5) B.[1,5] C.(1,3] D.[3,5] 解析 根據(jù)直徑對(duì)的圓周角為90°,結(jié)合題意可得以AB為

6、直徑的圓和圓(x-3)2+y2=r2(r>0)有交點(diǎn),檢驗(yàn)兩圓相切時(shí),點(diǎn)P與A或B重合,不滿足條件,故兩圓相交。而以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=4,圓心距為3,所以|r-2|<3<|r+2|,解得10,解得-

7、3=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=________。 解析 根據(jù)題意,圓的方程可化為x2+(y+1)2=4,所以圓的圓心為(0,-1),且半徑是2,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以求得圓心到直線的距離d==,結(jié)合圓中的特殊三角形,可知|AB|=2=2。 答案 2 10.(2018·湖南湘東五校聯(lián)考)圓心在拋物線y=x2(x<0)上,且和該拋物線的準(zhǔn)線及y軸都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。 解析 依題意設(shè)圓的方程為(x-a)2+2=r2(a<0),又該圓與拋物線的準(zhǔn)線及y軸均相切,所以+a2=r=-a?故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+2=1。 答案 (x+1)2+2=1 11.已

8、知A(0,2),點(diǎn)P在直線x+y+2=0上,點(diǎn)Q在圓C:x2+y2-4x-2y=0上,則|PA|+|PQ|的最小值是________。 解析 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=5,作圓C關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱的圓C′,如圖所示,易得C′(-3,-4),連接AC′,交直線于點(diǎn)P,交圓C′于點(diǎn)Q′,連接PC,交圓C于點(diǎn)Q,此時(shí)|PA|+|PQ|取得最小值,根據(jù)對(duì)稱性,最小值為|PA|+|PQ′|=|AC′|-|C′Q′|=-=2。 答案 2 12.(2018·合肥二模)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,鎮(zhèn)政府決定為A,B,C三個(gè)自然村建造一座垃圾處理站,集中處理A,B,C三個(gè)自

9、然村的垃圾,受當(dāng)?shù)貤l件限制,垃圾處理站M只能建在與A村相距5 km,且與C村相距 km的地方。已知B村在A村的正東方向,相距3 km,C村在B村的正北方向,相距3 km,則垃圾處理站M與B村相距________km。 解析 依題意易知△ABC是以角B為直角的直角三角形,不妨以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),以AB,BC為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,則M點(diǎn)為以A點(diǎn)為圓心和以C點(diǎn)為圓心的兩圓交點(diǎn),方程分別為(x+3)2+y2=25,x2+(y-3)2=31,聯(lián)立方程組解得或則|MB|=2或|MB|= =7,故垃圾處理站M與B村相距2或7 km。 答案 2或7 13.(2018·湖北四地七校聯(lián)考)若圓O1:x

10、2+y2=5與圓O2:(x+m)2+y2=20相交于A,B兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直,則線段AB的長(zhǎng)度是(  ) A.3 B.4 C.2 D.8 解析 連接O1A、O2A,由于⊙O1與⊙O2在點(diǎn)A處的切線互相垂直,因此O1A⊥O2A,所以O(shè)1O=O1A2+O2A2,即m2=5+20=25,設(shè)AB交x軸于點(diǎn)C。在Rt△O1AO2中,sin∠AO2O1=,所以在Rt△ACO2中,AC=AO2·sin∠AO2O1=2×=2,所以AB=2AC=4。故選B。 答案 B 14.已知圓O的半徑為1,A,B,C,D為該圓上四個(gè)點(diǎn),且+=,則△ABC的面積最大值為(  ) A.2

11、 B.1 C. D. 解析 因?yàn)椋?,所以四邊形ABDC為平行四邊形。又因?yàn)锳,B,D,C四點(diǎn)都在圓上,所以AD,BC必為圓的直徑,∠ACD=∠BAC=90°,即四邊形ABDC為矩形,AD=2,|AC|2+|AB|2=|AD|2=4,S△ABC=·|AB|·|AC|≤=1,當(dāng)且僅當(dāng)|AC|=|AB|時(shí)取等號(hào),故選B。 答案 B 15.(2018·重慶模擬)當(dāng)正實(shí)數(shù)m變化時(shí),斜率不為0的定直線始終與圓(x-2m)2+(y+m)2=m2相切,則直線的方程為________。 解析 設(shè)l:y=kx+b,則=m,即(3k2+4k)m2+2b(2k+1)m+b2=0,因?yàn)樵摰仁綄?duì)任意m

12、>0成立,故3k2+4k=0,2b(2k+1)=0,b2=0,即k=-,b=0,則直線的方程為y=-x。 答案 y=-x 16.(2018·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D。若·=0,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為________。 解析 因?yàn)椤ぃ?,所以AB⊥CD,又點(diǎn)C為AB的中點(diǎn),所以∠BAD=45°。設(shè)直線l的傾斜角為θ,直線AB的斜率為k,則tanθ=2,k=tan=-3。又B(5,0),所以直線AB的方程為y=-3(x-5),又A為直線l:y=2x上的第一象限內(nèi)的點(diǎn),聯(lián)立直線AB與直線l的方程,得解得所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3。 答案 3 6

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