2020屆高考數(shù)學二輪復習 專題5 數(shù)列 第3講 數(shù)列的綜合問題練習 理

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1、第3講 數(shù)列的綜合問題 專題復習檢測 A卷 1．等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，a10＝2，則log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝(　　) A．2　 B．4　　 C．5　 D．10 【答案】C 【解析】∵{an}為等比數(shù)列，∴a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝2.∴l(xiāng)og2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2(a1a2…a10)＝log225＝5.故選C． 2．(2018年四川成都模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝9，－＝－4，則Sn取最大值時的n的值為(　　) A．2　 B．3　　　 C．4　 D．5 【答案】D

2、 【解析】設等差數(shù)列{an}的公差為d.∵＝a1＋d，∴是首項為a1，公差為的等差數(shù)列．∵a1＝9，－＝－4，∴－4＝4×，解得d＝－2.∴Sn＝9n－×2＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25.∴當n＝5時，Sn取得最大值． 3．已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．數(shù)列{an}滿足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，則數(shù)列{an}的通項公式an＝(　　) A．(n－1)2n　 B．(n－1)3n C．n·2n　 D．n·3n 【答案】C 【解析】由題意知a1＝f(2)＝2，an＋1＝f(2n＋1)＝2f

3、(2n)＋2nf(2)＝2an＋2n＋1，則＝＋1，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．所以＝n，則an＝n·2n. 4．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n(λ－n)－6，若數(shù)列{an}單調(diào)遞減，則λ的取值范圍是(　　) A．(－∞，2)　 B．(－∞，3) C．(－∞，4)　 D．(－∞，5) 【答案】A 【解析】∵Sn＝3n(λ－n)－6，∴Sn－1＝3n－1(λ－n＋1)－6，n＞1.兩式相減，得an＝3n－1(2λ－2n－1)(n＞1，n∈N*)為單調(diào)遞減數(shù)列，∴an＞an＋1，且a1＞a2.∴3n－1(2λ－2n－1)＞3n(2λ－2n－3)且λ＜2，化為λ＜n＋2(n＞

4、1)且λ＜2，∴λ＜2，∴λ的取值范圍是(－∞，2)．故選A． 5．某房地產(chǎn)開發(fā)公司用800萬元購得一塊土地，該土地可以建造每層1 000平方米的樓房，已知第一層每平方米的建筑費用為600元，樓房每升高一層，每平方米的建筑費用增加40元．若把樓房建成n層后，每平方米的平均綜合費用最低(綜合費用是建筑費用與購地費用之和)，則n的值為(　　) A．19　 B．20　　　 C．21　 D．22 【答案】B 【解析】易知每層的建筑費用構成等差數(shù)列，設為{an}，則n層的建筑總費用為Sn＝600×103＋(600＋40)×103＋…＋[600＋40(n－1)]×103＝(2n2＋58n)×10

5、4，所以每平方米的平均綜合費用為＝10≥10＝1 380元，當且僅當2n＝，即n＝20時等號成立． 6．在等比數(shù)列{an}中，an∈R，a3，a11是方程3x2－25x＋27＝0的兩根，則a7＝________. 【答案】3　 【解析】由題意，得∴a3＞0，a11＞0，且a＝a3a11＝9，∴a7＝3. 7．(2018年江西南昌模擬)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．若a1a6a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，則tan的值是________． 【答案】－ 【解析】由a1a6a11＝3，得a＝()3.由b1＋b6＋b11＝7π，得3b6＝7π.∴a6＝，b6＝

6、. ∴tan ＝tan ＝tan ＝ tan＝tan＝－tan ＝－. 8．(2019年湖南長沙模擬)設數(shù)列{an}的前n項和是Sn，若點An在函數(shù)f(x)＝－x＋c的圖象上運動，其中c是與x無關的常數(shù)，且a1＝3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記bn＝aan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最小值． 【解析】(1)由題意得＝－n＋c，即Sn＝－n2＋cn. 因為a1＝3，所以c＝4，故Sn＝－n2＋4n. 所以an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5(n≥2)． 又a1＝3滿足上式，所以an＝－2n＋5. (2)由(1)知bn＝aan＝－2an＋5＝－2(－2n＋5)＋

7、5＝4n－5， 所以Tn＝＝2n2－3n. 所以Tn的最小值是T1＝－1. B卷 9．(2019年安徽合肥模擬)如圖所示是畢達哥拉斯樹(Pythagoras Tree)的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，…，如此繼續(xù)，若共得到1 023個正方形，設初始正方形的邊長為，則最小正方形的邊長為(　　) A．　 B．　　 C．　 D． 【答案】A 【解析】設1＋2＋4＋…＋2n－1＝1 023，即＝1 023，解得n＝10.正方形邊長構成數(shù)列，2，3，…，其中第10項為10＝.故選A． 10．(2019年浙江湖州模擬)設{an}是各項為正數(shù)的

8、無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai，ai＋1的矩形的面積(i＝1,2，…)，則{An}為等比數(shù)列的充要條件是(　　) A．{an}是等比數(shù)列 B．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數(shù)列 C．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列 D．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列，且公比相同 【答案】D 【解析】∵Ai＝aiai＋1，若{An}為等比數(shù)列，則＝＝為常數(shù)，即＝，＝，…，∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比數(shù)列，且公比相等．反之，若奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)

9、列，且公比相等，設為q，則＝＝q，從而{An}為等比數(shù)列． 11．設數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝10，點Pn(n，an)對任意的n∈N*，都有向量PnPn＋1＝(1,2)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝________. 【答案】n2 【解析】由題意，可知Pn＋1(n＋1，an＋1)，所以PnPn＋1＝(1，an＋1－an)＝(1,2)．所以an＋1－an＝2.所以數(shù)列{an}是以2為公差的等差數(shù)列．又a2＋a4＝10，所以a1＝1，an＝2n－1，Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. 12．(2019年天津模擬)設函數(shù)fn(x)＝x－(3n－1)x2(其中n∈N*)，區(qū)間In＝{x

10、|fn(x)＞0}． (1)定義區(qū)間(α，β)的長度為β－α，求區(qū)間In的長度； (2)把區(qū)間In的長度記作數(shù)列{an}，令bn＝an·an＋1， ①求數(shù)列{bn}的前n項和Tn； ②是否存在正整數(shù)m，n(1＜m＜n)，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請說明理由． 【解析】(1)由fn(x)＞0，得x－(3n－1)x2＞0， 解得0＜x＜，即In＝. 所以區(qū)間的長度為－0＝. (2)由(1)知an＝. ①∵bn＝an·an＋1＝， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ ＝. ②由①知T1＝，Tm＝，Tn＝. 假設存在正整數(shù)m，n(1＜m＜n)，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列，則T＝T1Tn，化簡得＝. ∴(－3m2＋6m＋2)n＝5m2.(*) 當m＝2時，(*)式可化為2n＝20，∴n＝10. 當m≥3時，－3m2＋6m＋2＝－3(m－1)2＋5≤－7＜0. 又∵5m2＞0，∴(*)式可化為n＝＜0，此時n無正整數(shù)解． 綜上，存在正整數(shù)m＝2，n＝10滿足條件． - 5 -