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1、第59講 直線的方程
1．若xsin＋ycos－1＝0的傾斜角α是(C)
A. B.
C. D.
因?yàn)閗＝tan α＝－tan＝tan(π－)＝tan，
所以α＝.
2．(2018·綿陽南山中學(xué)月考)若A(－2，－3)，B(－3，－2)，直線l過點(diǎn)P(1,1)且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是(C)
A．k≤或k≥ B．k≤－或k≥－
C.≤k≤ D．－≤k≤－
因?yàn)锳(－2，－3)，B(－3，－2)，P(1,1)，
所以kAP＝＝，kBP＝＝，
所以≤k≤.
3．點(diǎn)P(x，y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)為頂點(diǎn)的△ABC的
2、內(nèi)部運(yùn)動(不包括邊界)，則的取值范圍是(D)
A．[，1] B．(，1)
C．[，1] D．(，1)
的幾何意義表示△ABC內(nèi)的點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)D(1,2)連線的斜率，
可求得kBD＝1，kDA＝，數(shù)形結(jié)合可得：
kDA
3、y－7＝0，求得a＝－2.故點(diǎn)P(－2,1)，Q(4，－3)，所以kPQ＝－，
由點(diǎn)斜式得直線l的方程為2x＋3y＋1＝0.
5．若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值等于 .
(方法1)依題意＝，所以a－2＝，
所以a＝.所以＋＝＋＝＝.
(方法2)過B、C的直線方程為＋＝1，又直線過點(diǎn)(2,2)，所以＋＝1，
所以＋＝.
6．已知函數(shù)f(x)＝x－4ln x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為 3x＋y－4＝0
由f′(x)＝1－，則k＝f′(1)＝－3，又f(1)＝1，
故切線方程為y－1＝－3(x－1)，即3
4、x＋y－4＝0.
7．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，求：
(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)直線MN的方程．
(1)設(shè)C(x0，y0)，則AC中點(diǎn)M(，)，BC中點(diǎn)N(，)．
因?yàn)镸在y軸上，所以＝0，所以x0＝－5，
因?yàn)镹在x軸上，所以＝0，所以y0＝－3.
即頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－5，－3)．
(2)因?yàn)镸(0，－)，N(1,0)，
所以直線MN的方程為＋＝1，
即5x－2y－5＝0.
8．(2018·武漢二月調(diào)研)已知直線l與曲線y＝x3－6x2＋13x－9相交，交點(diǎn)依次為A，B，C，且|AB|＝
5、|BC|＝，則直線l的方程為(B)
A．y＝－2x＋3 B．y＝2x－3
C．y＝3x－5 D．y＝－3x＋2
驗(yàn)證法：因?yàn)閥′＝3x2－12x＋13，y″＝6x－12，
令y″＝0，得x＝2，代入y＝x3－6x2＋13x－9得y＝1.
所以曲線的中心為(2，1)，
由|AB|＝|BC|＝，可知B(2，1)，
所以直線l必過B，由此可排除A，D.
由|AB|＝，若k＝2，則A為(3，3)代入y＝f(x)滿足，故選B.
9．已知兩直線a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交點(diǎn)為P(2，3)，則過兩點(diǎn)Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)(a1≠a2)的直線
6、方程為__2x＋3y＋1＝0__．
(方法1)P(2，3)在已知直線上，得
解得2(a1－a2)＋3(b1－b2)＝0，即＝－，
所以所求直線為y－b1＝－(x－a1)，
即2x＋3y－(2a1＋3b1)＝0，即2x＋3y＋1＝0.
(方法2)由
知Q1，Q2在直線2x＋3y＋1＝0，
而Q1，Q2兩點(diǎn)確定一條直線，
故所求方程為2x＋3y＋1＝0.
10．設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時，該直線在x軸和y軸上的截距都為零，
所以2－a＝0即a＝2時，直線方程為3x＋y＝0.
當(dāng)a≠2時，a＋1顯然不為0.
因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距存在且相等，
所以＝a－2即a＋1＝1，所以a＝0，
直線方程為x＋y＋2＝0.
故所求直線方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2，
欲使l不經(jīng)過第二象限，當(dāng)且僅當(dāng)：
或解得a≤－1，
故所求a的取值范圍為(－∞，－1]．
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