2020版高中數(shù)學(xué) 課時作業(yè)20 簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用 新人教A版必修5

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1、課時作業(yè)20　簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用 [基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為(　　) 甲 乙 原料限額 A(噸) 3 2 12 B(噸) 1 2 8 A.12萬元　　　　　　　　　B．16萬元 C．17萬元 D．18萬元 解析：設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x噸、y噸，每天所獲利潤為z萬元，則有 z＝3x＋4y，作出可行域如圖陰影部分

2、所示，由圖形可知，當(dāng)直線z＝3x＋4y經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)時，z取最大值，最大值為3×2＋4×3＝18. 答案：D 2．某公司有60萬元資金，計(jì)劃投資甲、乙兩個項(xiàng)目，按要求對項(xiàng)目甲的投資不小于對項(xiàng)目乙投資的倍，且對每個項(xiàng)目的投資不能低于5萬元．對項(xiàng)目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項(xiàng)目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規(guī)劃投資后，在這兩個項(xiàng)目上共可獲得的最大利潤為(　　) A．36萬元 B．31.2萬元 C．30.4萬元 D．24萬元 解析：設(shè)對項(xiàng)目甲投資x萬元，對項(xiàng)目乙投資y萬元， 則 目標(biāo)函數(shù)z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如圖所示，由直線斜率的

3、關(guān)系知目標(biāo)函數(shù)在A點(diǎn)取最大值，代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以選B. 答案：B 3．某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品．甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元．乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元．甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費(fèi)工時總和不得超過480小時，則甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為(　　) A．甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱 B．甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱 C．甲車間加工原料

4、18箱，乙車間加工原料50箱 D．甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱 解析：設(shè)甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，根據(jù)題意，得約束條件 目標(biāo)函數(shù)z＝280x＋200y，畫出可行域陰影部分中的整點(diǎn)如圖． 作直線7x＋5y＝0平移至過點(diǎn)M時z取得最大值，由 得最優(yōu)解M(15,55)． 所以當(dāng)x＝15，y＝55時，z取得最大值 答案：B 4．某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y需滿足約束條件則z＝10x＋10y的最大值是(　　) A．80 B．85 C．90 D．95 解析：該不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分．由于x，y∈N*，計(jì)算區(qū)域內(nèi)與最近

5、的點(diǎn)為(5,4)，故當(dāng)x＝5，y＝4時，z取得最大值為90. 答案：C 5．某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸．銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，銷售每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元．該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得的最大利潤是(　　) A．12萬元 B．20萬元 C．25萬元 D．27萬元 解析：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，獲得的利潤為z萬元，則z＝5x＋3y. 由題意得可行域如圖中陰影部分所示． 由圖可知，當(dāng)x，y在A點(diǎn)取值時，z取得最大值．由

6、解得即A(3,4)，所以zmax＝5×3＋3×4＝27.故該企業(yè)可獲得的最大利潤是27萬元． 答案：D 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元． 解析：設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品Ax件，產(chǎn)品By件，則 目標(biāo)

7、函數(shù)z＝2 100x＋900y. 作出可行域?yàn)閳D中的陰影部分(包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，圖中陰影四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)． 當(dāng)直線z＝2 100x＋900y經(jīng)過點(diǎn)(60,100)時，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 7．小明準(zhǔn)備用積攢的300元零用錢買一些科普書和文具，作為禮品送給山區(qū)的學(xué)生．已知科普書每本6元，文具每套10元，并且買的文具的數(shù)量不少于科普書的數(shù)量．那么最多可以買的科普書與文具的總數(shù)是________． 解析：設(shè)買科普書x本，文具y套，總數(shù)為z＝x

8、＋y. 由題意可得約束條件為 作出可行域如圖中陰影部分整點(diǎn)所示，將z＝x＋y化為y＝－x＋z，作出直線y＝－x并平移，使之經(jīng)過可行域，易知經(jīng)過點(diǎn)A時，縱截距最大，但因x，y均屬于正整數(shù)，故取得最大值時的最優(yōu)解應(yīng)為(18,19)，此時z最大為37. 答案：37 8．某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A，B兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件．已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元，現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件，B類產(chǎn)品140件，所需租賃費(fèi)最少為________元． 解析：設(shè)需租賃甲種設(shè)備x天，

9、乙種設(shè)備y天，租賃費(fèi)z元， 由題意得 z＝200x＋300y. 可行域?yàn)槿鐖D陰影部分內(nèi)(包括邊界)的整點(diǎn)． 作直線l0：2x＋3y＝0， 平移l0可知，當(dāng)直線過點(diǎn)A時，z有最小值． 又由得A點(diǎn)坐標(biāo)為(4,5)． 所以zmin＝4×200＋5×300＝2 300. 答案：2 300 三、解答題(每小題10分，共20分) 9．某養(yǎng)雞場有1萬只雞，用動物飼料和谷物飼料混合喂養(yǎng)．每天每只雞平均吃混合飼料0.5 kg，其中動物飼料不能少于谷物飼料的.動物飼料每千克0.9元，谷物飼料每千克0.28元，飼料公司每周僅保證供應(yīng)谷物飼料50 000 kg，問飼料怎樣混合才使成本最低．

10、解析：設(shè)每周需用谷物飼料x kg，動物飼料y kg，每周總的飼料費(fèi)用為z元，由題意得 而z＝0.28x＋0.9y.如圖所示，作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域， 作一組平行直線0.28x＋0.9y＝z，其中經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)最近的直線經(jīng)過直線x＋y＝35 000和直線y＝x的交點(diǎn)A，即x＝，y＝時，飼料費(fèi)用最低．所以，谷物飼料和動物飼料應(yīng)按5∶1的比例混合，此時成本最低． 10．某公司計(jì)劃在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機(jī)和智能洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況(如資金、勞動力)確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達(dá)到最大．已知對

11、這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表： 資金 單位產(chǎn)品所需資金(百元) 月資金供應(yīng)量(百元) 空調(diào)機(jī) 洗衣機(jī) 成本 30 20 300 勞動力(工資) 5 10 110 單位利潤 6 8 試問：怎樣確定兩種產(chǎn)品的月供應(yīng)量，才能使總利潤達(dá)到最大，最大利潤是多少？ 解析：設(shè)生產(chǎn)空調(diào)機(jī)x臺，洗衣機(jī)y臺，則30x＋20y≤300,5x＋10y≤110，x，y∈N， 即利潤z＝6x＋8y. 作出可行域如圖陰影部分所示的整點(diǎn)部分． 由圖可知當(dāng)直線6x＋8y＝z經(jīng)過可行域內(nèi)點(diǎn)A時，z取最大值，由， 得 此時zmax

12、＝6×4＋8×9＝96(百元)． 故生產(chǎn)空調(diào)機(jī)4臺，洗衣機(jī)9臺時，可獲最大利潤9 600元． [能力提升](20分鐘，40分) 11．配制A，B兩種藥劑都需要甲、乙兩種原料，用料要求如下表所示(單位：千克)： 原料 藥劑　 甲 乙 A 2 5 B 5 4 藥劑A，B至少各配一劑，且藥劑A，B每劑售價分別為100元、200元．現(xiàn)有原料甲20 kg，原料乙25 kg，那么可以獲得的最大銷售額為(　　) A．600元 B．700元 C．800元 D．900元 解析：設(shè)可配藥劑A，B分別為x劑、y劑，獲得的銷售額為z元，有，z＝100x＋200y，兩直線2x＋5y

13、＝20與5x＋4y＝25的交點(diǎn)為，取該點(diǎn)附近的整點(diǎn)(2,2)，(2,3)，(3,2)，代入檢驗(yàn)可知當(dāng)直線過點(diǎn)(2,3)時，z取得最大值，為800. 答案：C 12．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(－1,1)，若點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點(diǎn)，則·的取值范圍是________． 解析：滿足約束條件的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的PQS所在的平面區(qū)域．設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則·＝－x＋y，令z＝－x＋y，則y＝x＋z，移動直線y＝x可知，當(dāng)直線y＝x＋z過點(diǎn)S(1,1)時z最小，過點(diǎn)P(0,2)時z最大．所以zmin＝－1＋1＝0，zmax＝0＋2＝2. 所以·的取值范圍是[0,2]． 答案：

14、[0,2]． 13．某公司計(jì)劃在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘，假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？ 解析：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意得 目標(biāo)函數(shù)為z＝3 000x＋2 000y. 二元一次不等式組等價于 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖陰影部分． 作直線

15、l：3 000x＋2 000y＝0， 即3x＋2y＝0. 平移直線l，由圖可知，當(dāng)直線l過M點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值． 聯(lián)立 解得x＝100，y＝200. 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100,200)． 所以zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)． 因此，該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元． 14．要將兩種大小不同的鋼板截成A，B，C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示： 規(guī)格類型 鋼板類型　　　 A規(guī)格 B規(guī)格 C規(guī)格 第一種鋼板 2 1 1 第

16、二種鋼板 1 2 3 今需A，B，C三種規(guī)格的成品分別為15,18,27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？ 解析：設(shè)需要第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，鋼板總數(shù)z張， 則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y. 作出可行域如圖所示，作出直線x＋y＝0.作出一組平行直線x＋y＝t(其中t為參數(shù))． 經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)距離最近的直線，此直線經(jīng)過直線x＋3y＝27和直線2x＋y＝15的交點(diǎn)A，直線方程為x＋y＝. 由于和都不是整數(shù)，而最優(yōu)解(x，y)中，x，y必須都是整數(shù)，所以，可行域內(nèi)點(diǎn)不是最優(yōu)解． 經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))，且與原點(diǎn)距離最近的直線是x＋y＝12. 經(jīng)過的整點(diǎn)是B(3,9)和C(4,8)，它們是最優(yōu)解． 所以要截得所需三種規(guī)格的鋼板，且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種，第一種截法是截第一種鋼板3張、第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張．兩種方法都最少要截兩種鋼板共12張． - 9 -