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1、中檔題保分練(三)
1．(2018·駐馬店模擬)數列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2－.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝，求{bn}的前n項和Tn.
解析：(1)當n＝1時，a1＝2－＝；
當n≥2，nan＝2－－＝， 可得an＝，
又∵當n＝1時也成立，∴an＝.
(2)bn＝＝＝2，
∴Tn＝2
＝2＝－.
2．(2018·聊城模擬)甲乙兩個班進行物理測試，其中女生60人，男生50人，從全部110人中任取一人及格的概率為，并且男生和女生不及格人數相等．
(1)完成如下2×2列聯表
及格
不及格
合計
女
男
2、
合計
(2)根據表中數據，能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為物理成績及格與學生性別有關？
(3)從兩個班有放回的任取3人，記抽取的3人中不及格人數為X，求X的數學期望和方差．
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
解析：(1)
及格
不及格
合計
女
40
20
60
男
30
20
50
合計
70
40
110
(2)由K2＝＝≈0.524＜2.706，犯錯誤概率不超過0.1的前提下，沒有足夠的
3、證據說明物理成績及格與性別有關．
(3)由題意可知X～B，∴E(X)＝n·p＝，∴D(X)＝np(1－p)＝3××＝.
3．(2018·臨川一中模擬)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60?，AA1＝A1C＝AB，A1B＝A1D.
(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；
(2)設BD與AC交于O點，求二面角B-OB1-C平面角的正弦值．
解析：(1)證明：設AC，BD交于點O，連接A1O，∵底面ABCD為菱形，∴AC⊥BD，又∵A1B＝A1D，O是BD的中點，∴A1O⊥BD，AC∩A1O＝O，∴BD⊥平面ACC1A1，又∵BD?平面
4、BDD1B1，∴平面ACC1A1⊥平面BDD1B1.
(2)∵AA1＝A1C，O是AC的中點，∴OA1⊥AC，OA1，OA，OB兩兩垂直，以OA，OB，OA1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，
設AA1＝A1C＝AB＝2，由題得BD＝2，AC＝2，OA1＝1，則
A(，0,0)，C(－，0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0,1)，
設m＝(x，y，z)是平面OBB1的一個法向量，
＝(0,1,0)，＝＝(－，0,1) ，
?，可得m＝(1,0，)，
設n＝(x，y，z)是平面OB1C的一個法向量，
＝(－，0,0)，＝＋＝＋＝(0,1,0)＋(－，0,1)＝(－
5、，1,1)，
?，
可得n＝(0,1，－1)，
cos〈m，n〉＝＝＝－，
∴二面角B-OB1-C平面角的正弦值為＝.
4．請在下面兩題中任選一題作答
(選修4－4：坐標系與參數方程)已知直線l的參數方程：(t為參數)和圓C的極坐標方程：ρ＝2sin(θ＋)(θ為參數)．
(1)將直線l的參數方程和圓C的極坐標方程化為直角坐標方程；
(2)判斷直線l和圓C的位置關系．
解析：(1)消去參數t，得直線l的直角坐標方程為y＝2x＋1；
ρ＝2sin(θ＋)，即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，
兩邊同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，
消去參數θ，得圓C的
6、直角坐標方程為：
(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)圓心C到直線l的距離
d＝＝<，
所以直線l和圓C相交．
(選修4－5：不等式選講)已知f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
(1)解不等式：f(x)≤x＋3；
(2)不等式|m|·f(x)≥|m＋2|－|3m－2|對任意m∈R恒成立，求x的范圍．
解析：(1)①?2≤x≤6，
②?1＜x＜2，
③?0≤x≤1，
由①②③可得x∈[0,6]．
(2)①當m＝0時，0≥0，∴x∈R；
②當m≠0時，即f(x)≥－對m恒成立，
－≤＝4，當且僅當≥3，即0＜m≤時取等號，
∴f(x)＝|x－1|＋|x－2|≥4，解得x∈∪.
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